تقارن در صفحه

کافی است $\left(x\right)$ را به $\left(-x\right)$ و $\left(y\right)$ را به $\left(-y\right)$ تبدیل کنیم یعنی $A^{\text{'}}\left(-2,-3\right)$. 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_A=-x_B\Rightarrow a+b=-3\\ y_A=-y_B\Rightarrow 2a-b=-3\end{array}〉\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}\right.\right.$

اگر  $\left(x\right)$ را به $\left(-x\right)$ و $\left(y\right)$ را به $\left(-y\right)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین مبدا مختصات مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

$\left(x\right)$ را به $\left(-x\right)$ و $\left(y\right)$ را به $\left(-y\right)$ تبدیل می‌کنیم، معادله نباید تغییر کند.

$-y=-x^3-\left(a+b-2\right){\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)+2a-b+3$

$\Rightarrow \Rightarrow y=x^3+\left(a+b-2\right)x^2+x-2a+b-3$

با مقایسه دو معادله زیر داریم:

$\left\{\begin{array}{l}y=x^3-\left(a+b-2\right)x^2+x+2a-b+3\\ y=x^3+\left(a+b-2\right)x^2+x-2a+b-3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\left(a+b-2\right)=a+b-2\\ 2a-b+3=-2a+b-3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b-2=0\\ 2a-b+3=0\end{array}\right.〉a=-\frac{1}{3},b=\frac{7}{3}$

$\left(x\right)$ را به $\left(-x\right)$ و $\left(y\right)$ را به $\left(-y\right)$ تبدیل می‌کنیم:

$-y={\left(-x\right)}^3-\left(-x\right)\Rightarrow -y=-x^3+x\Rightarrow y=x^3-x$

چون معادله به‌دست آمده همان معادله اولیه می‌باشد لذا مبدا مختصات، مرکز تقارن منحنی است.