مقدمه
مجموعه یک عضوی را در نظر بگیرید.
زیر مجموعه های مجموعه را بهصورت زیر مینویسیم:
زیر مجموعه های فوق را در یک مجموعه جدید نمایش میدهیم:
تمرین
مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
عضوهای را بنويسيد و تعيين كنيد گزاره های زير درست هستند يا نادرست؟
عضوهای عبارتند از:
گزاره فوق، نادرست است.
عنصر يكی از سه عنصر نیست و بايد مینوشت .
گزاره فوق، درست است.
یک زیر مجموعه است.
گزاره فوق، درست است.
یک زیر مجموعه است.
گزاره فوق، نادرست است.
عنصری از است نه يک زير مجموعه آن.
تعریف
مجموعه را در نظر میگیریم، به مجموعهای که شامل کلیه زیر مجموعههای باشد، مجموعه توانی گویند.
مجموعه توانی را با نشان میدهند، بنابراین:
مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
زیر مجموعههای را مینویسیم:
زیر مجموعه های صفر عضوی:
زیر مجموعه های یک عضوی:
زیر مجموعه های دو عضوی:
مجموعه توانی بهصورت زیر معرفی میشود:
تمرین
مجموعه توانی مجموعه های زیر را بنویسید.
برای نوشتن عضوهای زیر مجموعه میتوانید از جدول زیر استفاده کنید.
قضیه
هرگاه مجموعه دلخواه با عضو باشد، تعداد عضوهای مجموعه توانی برابر است با:
اثبات
فرض میکنیم بهازای هر مجموعه مجموعه تمام زیرمجموعههایی از باشد که دارای عضو باشند.
بهوضوح پیداست که مجموعه یک افراز از است، زیرا هر عضو از مجموعه به یکی و فقط یکی از اعضای مجموعه تعلق دارد در نتیجه:
یعنی هر ضریب در بسط است، پس داریم:
تمرین
تعداد عضوهای مجموعه توانی مجموعه های زیر را محاسبه کنید.
تمرین
اگر داشته باشیم:
تعداد عناصر زیر را مشخص کنید.
دو عضو دارد.
تمرین
مجموعه توانی مجموعه به تعداد عضو دارد. مجموعه چند عضو دارد؟
مجموعه توانی مجموعه به تعداد عضو دارد. مجموعه چند عضو دارد؟
تمرین
کدامیک از مجموعه اعداد زیر نمیتواند تعداد عضوهای یک مجموعه توانی باشند.
عدد را نمیتوانیم بهصورت یک عدد توان دار در پایه بنویسیم.
پس این عدد نمیتواند تعداد عضوهای یک مجموعه توانی را نشان دهد.
تمرین
مجموعه های توانی زیر را مشخص کنید و تعداد عضوهای آنها را بهدست آورید.
كه آن يک عضو هم خود تهی میباشد، يعنی:
تمرین
ثابت كنيد اگر داشته باشیم:
آنگاه داریم:
طبق تعريف مجموعه توانی داریم:
تمرین
نشان دهيد عضوِ عضو هر مجموعه، لزوما عضو آن مجموعه نيست.
فرض کنید:
تمرین
تعداد اعضای مجموعه ، سه واحد كمتر از اعضای مجموعه است.
اگر حاصل ضرب تعداد زير مجموعه های مجموعه در تعداد زير مجموعه های مجموعه برابر باشد:
تعداد اعضای هريک از دو مجموعه را بیابید.
تعداد اعضای مجموعه ، سه واحد كمتر از اعضای مجموعه است:
ضرب تعداد زير مجموعه های مجموعه در تعداد زير مجموعه های مجموعه برابر میباشد:
دستگاه زیر را حل میکنیم:
تعداد زیر مجموعه های هريک از دو مجموعه را بیابید.
تعداد زیر مجموعه های مجموعه :
تعداد زیر مجموعه های مجموعه :
تمرین
تعداد زيرمجموعه های يک مجموعه عضوی واحد از يک مجموعه عضوی بيشتر است.
عدد را بهدست آوريد.
تمرین
مجموع تعداد زير مجموعه های سه مجموعه عضوی و عضوی و عضوی برابر است.
تعداد زير مجموعه های هر مجموعه چقدر است؟
تمرین
تعداد زير مجموعه های يک مجموعه عضوی از تعداد زير مجموعه های يک مجموعه عضوی واحد بيشتر است.
عدد طبيعی را بهدست آوريد.
تمرین
تعداد زير مجموعه های يک مجموعه عضوی برابر است با حاصل ضرب تعداد زير مجموعه های دو مجموعه عضوی و عضوی.
تعداد را حساب كنيد.
تمرین
تعداد زير مجموعه های يک مجموعه عضوی از سه برابر تعداد زير مجموعه های يک مجموعه عضوی، واحد بيشتر است.
مقدار را بهدست آوريد.
نکته
مجموعه دارای عضو میباشد،
تعداد زیر مجموعه های مجموعه توانی مجموعه بهصورت زیر، محاسبه میشود:
تمرین
مجموعه را در نظر بگیرید:
مجموعه توانی آن را بهدست آورید.
تعداد زیر مجموعههای مجموعه توانی فوق را بهدست آورید.
زیر مجموعههای مجموعه توانی مجموعه را بنویسید.
1- زیرمجموعههای هیچ عضوی مجموعه توانی:
2- زیرمجموعههای یک عضوی مجموعه توانی:
3- زیرمجموعههای دو عضوی مجموعه توانی:
4- زیرمجموعههای سه عضوی مجموعه توانی:
5- زیرمجموعههای چهار عضوی مجموعه توانی:
دریافت مثال