مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:

مساحت و مفهوم  انتگرال

چگونه می‌توان اندازه مساحت ناحیه‌ای از صفحه را به‌وسیله یک منحنی محصور شده است، به‌دست آورد؟

ناحیه R را در شکل زیر در نظر بگیرید:

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

ناحیه R به‌وسیله محور xها ، خطوط و منحنی زیر محصور شده است.

x=a,b

y=fx

تابع f در بازه a,b پیوسته است.

می‌خواهیم عددی مانند A را به عنوان اندازه مساحت ناحیه R به‌دست آوریم:   

برای این کار از یک فرایند حدی استفاده می‌کنیم:

بازه بسته a,b را به n قسمت و زیر بازه تقسیم می‌کنیم و طول این زیر بازه‌ها را مساوی و برابر با x در نظر می‌گیریم.   

بنابراین Δx=ban و نقاط انتهایی این زیر بازه‌ها را نشان می‌دهیم به‌طوری‌که:

x0=a

x1=a+Δx

x2=a+2Δx       

xi=a+iΔx       

xn1=a+n1Δx

xn=b

فرض کنید، زیر بازه iام را با xi1,xi نشان دهیم.

چون f بر بازه بسته a,b پیوسته است پس بر هر یک از بازه های موجود پیوسته است.

با توجه به قضیه اکسترمم در هر یک از این زیر بازه ها، عددی وجود دارد که f به ازای آن دارای مقدار min مطلق است. 

فرض کنید در زیر بازه iام این عدد برابر ci باشد.

بنابراین fci مقدار min مطلق f بر بازه زیر  باشد:

xi1,xi

n مستطیل در نظر می‌گیریم که هر یک دارای طول قاعده x واحد و ارتفاع fci واحد باشد.

فرض کنید مجموع مساحت های این n مستطیل Sn واحد مربع باشد:

Sn=fc1Δx+fc2Δx++fciΔx++fcnΔxSn=i=1nfciΔx

حال فرض کنید n افزایش یابد، در این‌صورت تعداد مستطیل ها زیاد می‌شود:

هر چقدر n افزایش یابد، مقدار Sn افزایش می‌یابد.

اگر f بر a,b پیوسته باشد، در این‌صورت وقتی n را به‌طور بی‌کران افزایش می‌دهیم.

مقدار Snی که از معادله زیر به‌دست می‌آید به یک حد میل می‌کند و همین حد است که آن را به‌عنوان تعریف اندازه مساحت ناحیه R در نظر می‌گیریم.

Sn=i=1nfciΔx

مساحت و فرایند حدی در انتگرال

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد و برای تمام xهای در بازه a,b داشته باشیم : 

fx0

 R ناحیه محدود به منحنی y=fx، محور xها ، خطوط x=a,b باشد.     

بازه بسته a,b را به n زیر بازه، هریک به‌طول Δx=ban تقسیم می‌کنیم و زیر بازه iام را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

xi1,xi

اگر fci مقدار min مطلق تابع بر زیر بازه iام باشد، اندازه مساحت R به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:      

A=limni=1nfciΔx

این به آن معناست است که برای هر ε>0، عددی مانند N وجود دارد به‌قسمی که: (n عددی مثبت و صحیح است)

i=1nfciΔxA<ε  ,  n>N

تذکر

می‌توان به‌جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی را در نظر گرفت:

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

در این حالت مقدار max مطلق تابع f را بر هر زیر بازه به‌عنوان ارتفاع مستطیل اختیار می‌کنیم، بنابراین اندازه مساحت ناحیه R را می‌توان با فرمول زیر تعریف کرد: 

A=limn+i=1nfdiΔx

که fdi مقدار max مطلق تابع f بر بازه xi1,xi است.   

تمرین

ناحيه‌ ای را که به منحنی y=x2 و محور xها و خطوط x=0,3 محصور شده است را در نظر بگیرید.

مساحت این ناحیه را با استفاده از مستطيل های محاطی حساب کنيد.

Δx=ban=30n=3n


x0=0x1=0+Δx


x2=0+2Δx        xi1=0+i1Δxxi=0+iΔx


تابع f بر بازه a,b صعودی است.


مقدار min مطلق تابع y=fx=x2 به زير بازه iام يعنی xi1  ,  xi برابر fxi1 است.




A=limn+i=1nfxi1Δx

fx=x2xi1=i1Δxfxi1=i1Δx2


i=1nfxi1Δx=i=1ni1Δx2×Δx


=i=1ni12Δ3x     ;    Δx=3n=i=1ni123n3

=27n3i=1ni12=27n3i=1ni22i+1


=27n3i=1ni22i=1ni+i=1n1

=27n3nn+12n+162nn+12+n

=92.2n23n+1n2


A=limni=1nfxi1Δx=limn92.2n23n+1n2=9

مساحت این ناحيه را با استفاده از مستطيل های محيطی حساب کنيد.

fx=x2    ;    0,3Δx=ban=30n=3n


x0=0  ,  x1=0+Δx  ,  x2=0+2Δx  ,   ....  ,  xi1=0i1Δ  ,  xi=0+iΔx




A=limn+i=1nfxiΔxfx=x2xi=iΔxfxi=iΔx2


i=1nfxiΔx=i=1niΔx2Δx


=3n3i=1ni2=3n3×nn+12n+16=27n3×nn+12n+16


A=limn+i=1nfxiΔx=limn27n3×nn+12n+16=A=limn27×2n36n3=9

تمرین

مساحت ناحیه محدود بین خطوط زیر و محور x ها را با در نظر گرفتن مستطيل های محاطی به‌دست آوريد.

y=2xx=1x=4

Δx=ban=41n=3n


x0=1   ,   x1=1+Δx   ,   x2=1+2Δx   ,....,   xi1=1+i1Δx,....


پیمان گردلو

مینیمم مطلق در بازه xi1,xi نقطه fxi1 می‌باشد.

A=limn+i=1nfxi1Δx

fx=2xxi1=1+i1Δxfxi1=21+i1Δx


i=1nfxi1Δx=i=1n21+i1ΔxΔx


=i=1n2Δx+2i1Δ2x=i=1n23n+2i13n2


=i=1n23n+i=1n2i13n2=6ni=1n1+18n2i=1ni1=6ni=1n1+18n2i=1nii=1n1


=6n×n+18n2nn+12n=6+18n2n2n2


=6+182n2nn2=6+9.n2nn2


A=limn+i=1nfxi1Δx=limn+6+9.n2nn2=6+9=15

تمرین

مساحت ناحيه R واقع بين نمودار تابع با ضابطه زی و محور x ها و خطوط x=-1,2 را بيابيد.

fx=x2+2x


روی فاصله -1,0 داریم:


fx0


مساحت منحنی در فاصله فوق است:


fx=x22x0


مجموع مساحت های محاطی، به‌صورت زير به‌دست می‌آيد:


Δx=ban=0+1n=1n    ;    xi=x0+iΔx=1+iΔx


fx=x22x    ;    xi=iΔx1fxi=iΔx122iΔx1fxi=i2Δx24iΔx+3


i=1nfxiΔx=i=1ni2Δx24iΔx+3.Δx

=i=1ni2Δx34iΔx2+3Δx


=i=1ni21n34i1n2+31n

=1n3i=1ni241n2i=1ni+3ni=1n1


=1n3n6n+12n+14n2n2n+1+3nn


A=limni=1nfxiΔx=limn1n3n6n+12n+14n2n2n+1+1n3n=43


برای محاسبه روی فاصله 0,2 به همان طريق محاسبه کنیم و B=43   می شود.


مساحت نهايی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:


S=A+B=43+43=83

تمرین

فرض کنيد سرعت يک جسم متحرک در لحظه t برابر تابع زیر باشد:

vt=2t

جسم در فاصله زمانی 0,1 چه مسافتی را می‌پيمايد؟

Δt=ban=10n=1n


t0=0  ,  t1=0+Δt   ,  t2=0+2Δt  ,  ....  ,  ti=0+iΔt,....


vt=2tti=iΔxvti=2iΔt


x=limni=1nvtiΔtx=limni=1n2iΔt.Δt

x=limn2Δt2i=1ni    ;    Δt=1n

x=limn2n21+2+...+n


x=limn2n2×nn+12x=1

دریافت مثال

مجموع پایین ریمان

اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار، از مستطیل های محاطی استفاده شود، مقدار به‌دست آمده را تقریب نقصان می‌نامیم.

این مقدار را مجموع‌ پایین ریمان نامیده و با Lnf نمایش می‌دهیم.

n=3

Δx=ba3

Lnf=fx0Δx+fx1Δx+fx2Δx=i=13fxi1Δx

S=limn+Lnf=limn+i=13fxi1Δx

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

مجموع بالای ریمان

اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار، از مستطیل های محیطی استفاده شود،‌ مقدار به‌دست آمده را تقریب اضافی می‌نامیم که این مقدار را مجموع بالای ریمان نامیده و با unf نشان می‌دهیم.

n=3

Δx=ba3

unf=fx1Δx+fx2Δx+fx3Δx=i=13fxiΔx

S=limn+unf=limn+i=13fxiΔx

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

تذکر

اگر limnLnflimnunf باشد، در این‌صورت مساحتی برای تابع نمی‌توان در نظر گرفت.

شرط لازم و کافی برای انتگرال پذیری تابع f در a,b آن است که تساوی فوق برابر باشند و مقادیرشان عددی حقیقی باشد. 

قضیه

اگر f تابعی نامنفی و یکنوا روی a,b باشد، آن‌گاه محدوده خطا برای تقریب‌های اضافی و نقصانی مجموع، برابر‌ است با: 

unflnf=fbfaban

اثبات

فرض کنیم f صعودی باشد (برای حالت نزولی نیز مانند آن است) و n یک افراز منظم a,b باشد، در این‌صورت: 

Δx=banx0=ax1=a+Δx

x2=a+2Δx        xi1=a+i1Δxxi=a+iΔx

unflnf=i=1nfxiΔxi=1nfxi1Δx

unflnf=i=1nfa+iΔxΔxi=1nfa+i1ΔxΔx

unflnf=i=1nfa+ibanbani=1nfa+i1banban

unflnf=bani=1nfa+ibanfa+i1ban

unflnf=banfbfa

از قاعده ادغام در سری ها استفاده شده است.

تمرین

مساحت بین نمودار تابع زیر در بازه گفته شده را به‌دست آورید.

fx=x+2    ;    x1,5

محاسبه مساحت با استفاده از مجموع مساحت های مستطيل های نقصانی 

Δx=ban=51n=4n


x0=1   ,   x1=1+Δx   ,  ....,  xi1=1+i1Δx   ,   xi=1+iΔx


fx=x+2xi1=1+i1Δxfxi1=xi1+2=1+i1Δx+2




lnf=i=1nfxi1Δxlnf=i=1n1+i1Δx+2Δx


lnf=i=1n1+i14n+24nlnf=4ni=1n3+i14n


lnf=4n3n+4ni=1ni1lnf=4n3n+4n.n1n2


lnf=4n3n+4n42lnf=4n5n2lnf=208n



یادآوری)


i=1ni1=i=1nii=1n1=nn+12n=n2+n2n2=n2n2=nn12


limn+lnf=limn+208n=20

محاسبه مساحت با استفاده از مجموع مساحت های مستطيل های اضافی 

xi=1+iΔx

fx=x+2xi=1+iΔxfxi=xi+2=1+iΔx+2=3+iΔx


پیمان گردلو

unf=i=1nfxiΔxunf=i=1n3+iΔxΔx


unf=i=1n3+i4n4nunf=4ni=1n3+i4n


unf=4n3n+4ni=1ni

unf=4n3n+4n.nn+12


unf=20+8n


limn+unf=limn+20+8n=20


در اين تمرین چون تابع f اکیدا یکنوا است، لذا ماکزیمم و مینیمم تابع در هر بازه به سادگی مشخص است.

تمرین

مجموع بالا و پايين ريمان تابع زیر در بازه 1,2 وقتی اين بازه به n بازه مساوی تقسيم می‌شود را محاسبه نمائيد.

fx=x2+5

Δx=ban=21n=1n


x0=1   ,   x1=1+Δx   ,   x2=1+2Δx  ,  ....  ,  xi1=1+i1Δx  ,  xi=1+iΔx


fx=x2+5fxi1=xi12+5

fxi1=1+i1Δx2+5

fxi1=1+i11n2+5


lnf=i=1nfxi1Δxlnf=i=1nfxi1×1n


lnf=i=1n1+i11n2+51n


lnf=i=1n1+2i11n+i121n2+51n


lnf=1ni=1n6+i=1n2i11n+i=1ni121n2


lnf=6ni=1n12n2i=1ni11n3i=1ni12


lnf=6n.n2n2i=1nii=1n11n3i=1ni22i=1ni+i=1n1


limnlnf=limnA=2.6¯


به‌همین ترتیب ثابت می‌شود:


limnunB=limnB=2.6¯


اين تساوی به‌معنای آن است که در تابع زیر:


fx=x2+5


وقتی تعداد مستطيل هايی که در محاسبه مجموع بالا و پايين مورد استفاده قرار گرفته‌اند، بي نهايت شود، اين دو مقدار به‌سمت عدد يکسانی ميل می‌کند.

تمرین

مساحت بين نمودار تابع زیر را در بازه -2,1 پيدا کنيد.

fx=4x2


تابع زیر در فاصله -2,1 در نظر بگيريد، تابع در اين بازه يکنوا نمی‌باشد.


fx=4x2


توابعی مانند اين تابع در بازه مورد نظر تابع يکنوا نمی‌باشد.


برای تعيين max يا min مطلق در بازه ها که برای تعيين ابعاد مستطيل ها به‌کار می‌رود به‌سادگی قابل محاسبه نمی‌باشد.


بنابراين در اين مثال بازه -2,1 را به دو زير بازه تقسيم می‌کنيم.


الف)
در بازه -2,0 تابع اکيدا صعودی است.


max مطلق در هر بازه در انتهای راست بازه و min مطلق در هر بازه در انتهای چپ آن بازه رخ می‌دهد.


Δx=ban=0+2n=2n


x0=2   ,   x1=2+Δx   ,   x2=2+2Δx   ,   xi1=2+i1Δxxi=2+iΔx


fx=4x2    ;    xi1=2+i1Δx

fxi1=4xi12


fxi1=42+i1Δx2


lnf=i=1nfxi1Δx

lnf=i=1n42+i1Δx2Δx


lnf=i=1n42+i12n22n


lnf=i=1n444i12n+i124n22n


lnf=i=1n4i12ni124n22n


lnf=2n8n4n2i=1n1+8n+8n2i=1ni4n2i=1ni2


lnf=2n8n4n2n+8n+8n2nn+124n2nn+12n+16


lnf=1634n43n2


limn+lnf=limn+1634n43n2=163


ب)
در بازه 0,1 تابع اکيدا نزولی است.


max مطلق در هر بازه در ابتدا بازه و min مطلق در هر بازه در انتهای آن بازه رخ می‌دهد.


Δx=ban=10n=1n


x0=0   ,   x1=0+Δx   ,   ....  ,  xi1=0+i1Δx   ,   xi=0+iΔx


lnf=i=1nfxiΔx=113


S=163+113=273=9

تمرین

تابع زیر در بازه 0,2 مفروض است.

fx=x3

مجموع بالا و مجموع پايين ريمان f را  در اين بازه پيدا کنيد.

تابع در بازه 0,2 اکيدا صعودی است:


Δx=ban=2n


x0=0   ,   x1=0+Δx   ,   x2=0+2Δx   ,   xi1=0+i1Δxxi=0+iΔx


lnf=i=1nfxi1Δxlnf=i=1ni1Δx3.Δx

lnf=2ni=1n8n3i13lnf=16n4i=1ni13


lnf=16n4n1n22lnf=4n12n2


unf=i=1nfxiΔx=i=1n8i3n3.2n=16n4i=1ni3=16n4nn+122=4n+12n2


واضح است که:


limnlnf=limnunf=4


بنابراين f در بازه 0,2 انتگرال پذير و داریم:


02x3dx=4


برای قسمت دوم می‌توانيم از قضيه استفاده کنيم:


unflnf=fbfaban=f2f020n=16n

کم ترين تعداد زير بازه ها را پيدا کنيد که اختلاف مجموع بالا و پايين کمتر يا مساوی 11000 باشد. (افراز را منظم فرض می کنيم) 

16n11000n16000

تمرین

تابع زیر در بازه 0,2 مفروض است.

fx=x2

کم ترين تعداد زير بازه ها را پيدا کنيد که اختلاف مجموع بالا و پايين کمتر يا مساوی 1100 باشد. (افراز را منظم فرض می کنيم) 

یادآوری)

unflnf=fbfaban

unflnf=f2f020n

unflnf=402n=8n

8n1100n800

تمرین

تابع با ضابطه زیر در بازه 0,4 مفروض است.

fx=2    x31    x=3

مجموع پايين ريمان f در اين بازه را بیابید.


الف)
عدد 3 يا به يک زير بازه تعلق دارد که در اين صورت min مطلق در آن 1 و در n-1 زير بازه ديگر 2 است.


lnf=i=1nfxi14nlnf=4ni=1nfxi1


lnf=4n1+4n2n1lnf=42n1n


اگر 3 به دو زير بازه تعلق داشته باشد، آن‌گاه min مطلق در دو زير بازه 1 است.


ب)
 اگر عدد 3 به دو زير بازه تعلق داشته باشد، min مطلق در هر دو زیر بازه 1 و در n-2 زير بازه ديگر 2 است.


lnf=i=1nfxi14nlnf=4ni=1nfxi1


lnf=4n1+4n1+4n2n2


lnf=42n1n

تمرین

در تابع با ضابطه زیر مجموع بالای ريمان در بازه 0,2 را به‌دست آوريد.

fx=x+x


در دو زير بازه شامل 0,2 ماکزیمم مطلق صفر است.


اگر 1 نقطه درونی زير بازه باشد، ماکزیمم مطلق صفر است.


اگر 1 مرز دو زير بازه باشد، در دو زير بازه ماکزیمم مطلق صفر است.


در ساير زير بازه ها ماکزیمم مطلق -1 است.


unf=n312n=2n3n=3n2n


unf=n412n=2n4n=4n2n

تمرین

تابع با ضابطه زیر در بازه 1,3 مفروض است.

fx=2    xQ0    xRQ

مجموع بالای ريمان f در اين بازه به‌دست آورید.

هر زير بازه شامل نامتناهی نقاط اصم و گويا است، پس ماکزیمم مطلق در هر زير بازه 2، مینیمم مطلق صفر است.


در نتیجه داریم:


unf=i=1nfxi2n=2ni=1nfxi=2n2n=4


lnf=0


چون lnfunf ، انتگرال پذير نمی‌باشد.

تمرین

تابع با ضابطه زیر در بازه 0,1 مفروض است. 

fx=x3    xQ0    xQ

limn+unf را بیابید. (مجموع بالای ريمان است)

Δx=ban=1n


x0=0   ,   x1=0+Δx   ,   x2=0+2Δx   ,   xi1=0+i1Δxxi=0+iΔx=in


unf=i=1nfxi1nunf=1ni=1nfin


unf=1ni=1ni3n3unf=1n4i=1ni3


unf=1n4nn+122unf=n2n+124n4


limnunf=limnn2n+124n4=14


توجه شود که inQ می‌باشد.

تمرین

تابع f روی بازه 0,1 تعريف شده و نامنفی و صعودی است.

اگر داشته باشیم:

f1=3   ,   f0=1

مقدار زیر را محاسبه کنید.

unflnf

unflnf=fbfaban


unflnf=f1f010n


unflnf=311n


unflnf=2n

تمرین

اگر داشته باشیم:

fx=x3+x    ;    x0,2

حد زیر را بیابید.

limn+unflnf

unflnf=fbfaban

unflnf=f2f0=20n


unflnf=1002nunflnf=20n


limn+unflnf=limn+20n=20+=0

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید