سرفصل‌های این مبحث

سیگما

تعریف و خواص سیگما

آخرین ویرایش: 25 دی 1402
دسته‌بندی: سیگما
امتیاز:

تعریف سیگما

n عدد زیر را در نظر بگیرید:

a1  ,  a2  ,  a3  ,  ...  ,  an

این n عدد را به‌صورت زیر باهم جمع می‌کنیم: 

a1+a2++an

برای نشان دادن مجموع این n عدد، می‌توانیم از نماد زیر استفاده کنیم: 

k=1nak    ;    nN

به نماد  سیگما یا مجموع یابی Summation گفته می‌شود.

بنابراین داریم:

k=1nak=a1+a2++an

k=mnak=am+am+1+am+2++an1+an

در تساوی فوق m و n هر دو عددی صحیح هستند و mn است.

  • عدد m را حد پایین مجموع می‌گویند.
  • عدد n را حد بالای مجموع می‌گویند.
  • علامت k را اندیس مجموع‌گیری می‌گویند.

تمرین

سیگماهای زیر را بسط دهید.

k=1612k

k=1612k=121+122+123++126

i=15i2

i=15i2=12+22+32+42+52

i=223i+2

i=223i+2=32+2+31+2+30+2+31+2+32+2

j=1nj3

j=1nj3=13+23+33++n3

k=381k

k=381k=13+14+15+16+17+18

i=25Fi

i=25Fi=F2+F3+F4+F5

i=04ii+1

i=04ii+1=00+1+11+1+22+1+33+1+44+1

i=462ix2i+1

i=462ix2i+1=24x9+25x11+26x13=16x9+32x11+64x13

i=14f(xi)

i=14f(xi)=f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)

قضایای سیگما

قضیه

 k=1nak±bk=k=1nak±k=1nbk

اثبات

k=1nak±bk

=a1±b1+a2±b2++an±bn

=a1+a2++an±b1+b2+...+bn

=k=1nak±k=1nbk

قضیه

k=1nbak=bk=1nak    ;    bR

اثبات

k=1nbak

=ba1+ba2++ban

=ba1+a2++an

=bk=1nak

قضیه

 k=1nb=nb

اثبات

k=1nb

=b+b++bn

=nb

قضیه

k=1n+1ak=k=1nak+an+1

اثبات

k=1n+1ak

=a1+a2+...+an+an+1

=k=1nak+an+1

قضیه

 k=1nak+k=n+1mak=k=1mak:n<m    ;    m,n

اثبات

k=1nak=a1+a2+...+ank=n+1mak=an+1+an+2+...+am

k=1nak+k=n+1mak

=a1+a2++an+an+1+an+2++am

=k=1mak

قضیه

 i=mna=nm+1a

اثبات

یادآوری)

k=1nb=b+b+...+bn=b+b+...+bn1+1=n1+1b=nb

i=mna=a+a+a....+anm+1=nm+1a=nm+1a

قضیه

 i=mnai=i=mkai+i=k+1nai  :  mk<n    ;    n,k,mΖ

اثبات

i=mkai+i=k+1nai

=am+am+1+....+ak+ak+1+ak+2+....+an

=am+am+1+....+ak+ak+1+ak+2+....+an

=i=mnai

قضیه

 i=mnai=i=mknkai+ki=mnai=i=m+kn+kaik

اثبات

i=mknkai+k

=amk+k+amk+1+k+amk+2+k++ank1+k+ank+k

=am+am+1+am+2++an1+an

=i=mnai

خاصیت فوق به قاعده لغزان معروف است.

قضیه

 i=mnai+1ai=an+1am

اثبات

i=mnai+1ai

i=mnai+1i=mnai

=i=m+1n+1aii=mnai

=i=m+1nai+an+1i=m+1nai+am

=an+1am

خاصیت فوق به قاعده ادغام معروف است.

قضیه

 i=1naiai1=ana0

اثبات

i=1naiai1i=1naii=1nai1=i=1n1ai+ani=11n1ai+11=i=1n1ai+ani=0n1ai=i=1n1ai+ana0+i=1n1ai=ana0

قضیه

 i=1ni=nn+12

اثبات

i=1ni=1+2++n1+ni=1ni=n+n1+n2++2+1

دو طرف تساوی ها را با هم جمع می‌کنيم: 

2i=1ni=n+1+n+1++n+1

2i=1ni=nn+1

i=1ni=nn+12

قضیه

i=1ni2=nn+12n+16

اثبات

i13=i33i2+3i1

i3i13=3i23i+1

i=1ni3i13=i=1n3i23i+1

Fnf0=3i=1ni23i=1ni+i=1n1    ;    Fi=i3

n30=3i=1ni23nn+12+n

3i=1ni2=n3+32nn+1n

i=1ni2=n2n2+3n+16

i=1ni2nn+12n+16

قضیه

i=1ni3=n2n+124

اثبات

i14=i44i3+6i24i+1

i4i14=4i36i2+4i1

i=1ni4i14=i=1n4i36i2+4i1

FnF0=4i=1ni36i=1ni2+4i=1nii=1n1    ;    Fi=i4

n4=4i=1ni36nn+12n+16+4nn+12n

i=1ni3=n2n+124

تذکر

به نامساوی های زیر توجه کنید:

i=i0n(aibi)(i=i0nai)(i=i0nbi)

i=i0naibii=i0naii=i0nbi

تمرین

سیگما های زیر را محاسبه کنید.

k=11005

k=11005=100×5=500

k=1n+1k

یادآوری)

k=1n+1ak=k=1nak+an+1

k=1n+1k=k=1nk+n+1=nk+n+1=nk+1+1

k=1n+1kk+1

یادآوری)

k=1n+1ak=k=1nak+an+1

k=1n+1kk+1=k=1nkk+1+n+1n+2

k=1n+1k!

k=1n+1k!=k=1nk!+n+1!

i=1021a

i=mna=nm+1ai=1021a=2110+1a=12a

i=163i2

i=163i2=3i=16i2i=161

=3n2n+126    ;    n=6=6312=51

i=17i+12

i=17i+12=i=17i2+2i+1=i=17i2+2i=17i+i=171

=nn+12n+16+2n2n+1+77    ;    n=7

=245

i=25ii1

i=25ii1=21+32+43+54

i=362ii2

i=362ii2=23+28+215+224

i=1203ii2+2

i=1203ii2+2=i=1203i3+6i

=3i=120i3+6i=120i

=3n2n+124+6nn+12    ;    n=20

i=1100(32i)2

=i=1100912i+4i2=i=11009i=110012i+i=11004i2=i=1100912i=1100i+4i=1100i2


=9(100)12(100(101)2)+4(100(101)(201)6)


=1293700

k=1100kk+1!

kk+1!=k+11k+1!=k+1k+1!1k+1!=k+1k+1k!1k+1!=1k!1k+1!


kk+1!=1k!1k+1!


k=1100kk+1!=k=11001k!k=11001k+1!


k=1100kk+1!=11!+12!++1100!12!+13!++1101!


k=1100kk+1!=11101!


k=1100kk+1!=101!1101!

تمرین

با توجه به شرط های بیان شده، سیگماهای مورد نظر را محاسبه کنید.

if   x=1n4x+1=2nx=1nx=?

x=1n4x+1=2nx=1n4x+x=1n1=2n


4x=1nx+n=2n4x=1nx=nx=1nx=n4

if   k=1naxk+b=Lk=1nxk=?

k=1naxk+b=Lk=1naxk+k=1nb=L

ak=1nxk+nb=Lak=1nxk=Lnbk=1nxk=Lnba

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

k=1nxkxk1=xnx0

k=1nxkxk1=k=1nxkk=1nxk1

=x1+x2+...+xnx0+x1+...+xn1

=xnx0

k=1na+k1d=n22a+n1d

k=1na+k1d=k=1na+kdd=k=1nad+kd

=k=1nad+k=1nkd=nad+dk=1nk=nad+d1+2+...+n=nad+dnn+12

=n22ad+dn+1=n22a+n1d

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

12×3+13×5+14×7++11001×2001

این عبارت را با نماد سیگما نمایش دهید.

اگر مخرج هر کسر را در نظر بگيريم و عدد اول را به i و عدد دوم را به 2i-1 نشان دهيم، می‌توانيم عبارت فوق را برحسب سیگما به‌صورت زیر بنویسیم.

12×3+13×5++11001×2001=i=210011i2i1

تمرین

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید.

A=2×3+3×5+4×7+...+n+12n+1

یادآوری)

i=1ni=nn+12i=1ni2=nn+12n+16i=1ni3=nn+122


A=2×3+3×5+4×7+...+n+12n+1


A=i=1ni+12i+1A=i=1n2i2+3i+1A=2i=1ni2+3i=1ni+i=1n1


A=216nn+12n+1+312nn+1+n

تمرین

دنباله an  با رابطه بازگشتی زير تعريف شده است:

a1=a2=1an+2=an+1+an

حاصل عبارت های زير را بر حسب جمله هايی از دنباله محاسبه کنيد.

knak=a1+a2+...+an

an+2=an+1+anak+2=ak+1+akak=ak+2ak+1k=1nak=k=1nak+2ak+1


k=1nak=a3+a4+...+an+2a2+a3+...+an+1


k=1nak=an+2a2    ;    a2=1k=1nak=an+21

k=1na2k=a2+a4+...+a2n

an+2=an+1+an


a2n1+2=a2n1+1+a2n1    ;    n2n1


a2n+1=a2n+a2n1a2n=a2n+1a2n1a2k=a2k+1a2k1k=1na2k=k=1na2k+1a2k1


k=1na2k=a3a1+a5a3++a2n+1a2n1


k=1na2k=a2n+1a1k=1na2k=a2n+11

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعریف و خواص سیگما

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

  • 4oo4e
    18 مهر 1401

    عالی بود