معادلات یک مجهولی درجه اول

آخرین ویرایش: 14 بهمن 1402
دسته‌بندی: عبارات درجه اول
امتیاز:

مقدمه

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

2x-3=x-1

به تساوی فوق که در طرفین آن، عبارت‌ های جبری قرار می‌گیرد، معادله می‌گوییم.

منظور از حل معادلۀ فوق، یافتن مقداری برای متغیر x است که به‌ازای آن، طرفین تساوی باهم برابر باشند.

اگر فرض کنیم x=2 باشد، داریم:

22-3=2-1

1=1

x=2 را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

نکته

 معادله، یک گزاره ریاضی است که تساویِ دو عبارت را بیان می‌کند .

تمرین

با حدس زدن، ریشه های معادلات زیر را بیابید.

2x4=0

حدس می‌زنیم x=2 ریشه معادله فوق باشد:

224=0 4-4=0      0=0            


x=2 را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

3y+4=-1

حدس می‌زنیم y=53 ریشه معادله فوق باشد:

353+4=-1   -5+4=-1           -1=-1                  


y=53 را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

a-34=2

حدس می‌زنیم a=11 ریشه معادله فوق باشد:

11-34=284=22=2


a=11 را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

حل معادلات یک مجهولی درجه اول

صورت کلی هر معادله در‌جه اول به فرم زیر است:

ax+b=0

  • a ضریب x 
  •  x متغیر درجه اول است.a0
  • b عدد آزاد است. (مقدار ثابت)

عبارات درجه اول - پیمان گردلو

برای حل معادله ax+b=0 به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

ax+b=0

ax=b

aax=ba

x=ba

تمرین

معادلات درجه اول زیر را حل می‌کنیم:

32x7=81

طرفین تساوی را بر عدد سه تقسیم می‌کنیم:

332x7=8132x7=27


جمله مجهول را در سمت چپ نگه داشته و عدد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

2x=27+72x=34


طرفین تساوی را بر ضریب x یعنی عدد 2 تقسیم می‌کنیم:

22x=342x=17

164y=0

4y=1644y=164y=4

100=504d

+4d=501004d=5044d=504d=12/5

72e=194e

2e+4e=1972e=1222e=122e=6

3(x+5)=2(6x)2x

3x+15=122x2x3x+15=124x


3x+4x=12-15 


7x=-27


x=-277

m23+1=2m7

21(m23+1)=21(2m7)

21(m23)+21(1)=21(2m7)

7(m2)+21=(2m)(3)

7m14+21=6m

7m+7=6m

m=7

4x7(2x)=3x+2

4x14+7x=3x+2


11x14=3x+2


11x-3x=2+14


8x=16


x=2

42z3=345z6

12(42z3)=12(345z6)


12(42z3)=12(34)12(5z6)


4(42z)=3(3)2(5z)


168z=910z


2z=7


z=72

2(w+3)10=6(323w)

2w+610=19218w


2w4=19218w


20w=196

w=19620

23x13x2=2x1

6x23x+6=2x16x3x2x=1+26x=5

x21+x+1x4=0

x1x+1+x+1x4=0

x+1x1+x4=0


x+12x5=0x+1=0x=12x5=02x=5x=52

125c5=110

5×125c5=5×110125c=125c=1212

5c=25255c= 2525c=2510

c=2510c=52

2xx13=4x+23

6xx13=4x+236xx1=4x+2

6xx+1=4x+26xx4x=21x=1

x13x24=x8

4x13x212=x8

4x13x2=12x8

4x43x+6=12x96

4x3x12x=966+4

11x=98x=9811x=9811

نکته

اگر x=a جواب معادله درجه اول ax+b=0 باشد، این جواب در معادله صدق می‌کند. 

تمرین

نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در معادلاتشان صدق می‌کند.

3(y+1)=4y5 ; y=8

3(8+1)=?4(8)527=27    OK

3(y+1)=4y5 ; y=-2

3(2+1)=?4(2)5313  NOT OK

2x5=3(1x)+22 ; x=6

2(6)5=?3(16)+227=7  OK

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

mx32m1x=5

اگر x=-1 یک جواب معادله باشد، m را بیابید.

mx32m1x=5


m132m11=5    ;    x=1


m+2m1=5m=6

دریافت مثال

حل معادلات گویای درجه اول

برای ورود به بحث، به تمرین زیر، توجه کنید: 

معادلاتی که در آنها عبارات گویا وجود داشته باشند، معادلات شامل عبارت های گویا می‌نامند، مانند:

3x74x+2=3x144x13=0    ;    x12,134

برای حل این معادلات:

  • همه عبارات جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم.

3x74x+23x144x13=0                   

  • با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده، به معادله‌ای نظیر معادلهPxQx=0 می‌رسیم.

3x74x133x144x+24x+24x13=0

  • از قبل می‌دانیم کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد، در نتیجه معادله Px=0 را با شرط Qx0 حل می‌کنیم.

3x74x133x144x+2=0

12x239x28x+9112x2+6x56x28=0

12x239x28x+9112x26x+56x+28=0

39x28x6x+56x+91+28=0

17x+119=0

17x=119

x=11917

x=11917

x=7

  • جواب‌های به‌دست آمده از این معادله، نباید مخرج کسر را صفر کند، بنابراین بین جواب‌های به‌دست آمده، آنهایی را قبول می‌کنیم که مخرج هیچ یک از کسرها را صفر نکند.

D=7

تمرین

معادلات زیر را حل کنید:

2zz+3=3z10+2

روش اول)


همه عبارات جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم.

2zz+3-3z10-2=0


با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده، به معادله‌ زیر می‌رسیم:

2zz-10z+3z-10-3z+3z+3z-10-2z+3z-10z+3z-10=0


2zz-10-3z+3-2z+3z-10z+3z-10=0


از قبل می‌دانیم کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد:

2zz-10-3z+3-2z+3z-10=0


2z2-20z-3z-9-2z2-7z-30=0


2z2-20z-3z-9-2z2+14z+60=0


-9z+51=0


-9z=-51


z=173


روش دوم)


2zz+3=3z10+2

(z+3)(z10)(2zz+3)=(3z10+2)(z+3)(z10)


2z(z10)=3(z+3)+2(z+3)(z10)


2z220z=3z+9+2(z27z30)


2z220z=3z+9+2z214z60


20z=11z51


51=9z


z=173


همان‌طور که مشاهده می‌کنید z=173 جواب معادله فوق است و در معادله صدق می‌کند:


2(173)173+3=?317310+2343263=?3133+2343(326)=?3(313)+21713=1713   OK

2x+2=xx2+5x+6

2x+2=x(x+2)(x+3)


(x+2)(x+3)(2x+2)=x(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)


2(x+3)=x


2x+6=x


3x=6


x=2

2x+1=42xx+1

(2x+1)(x+1)=(42xx+1)(x+1)


2=4(x+1)2x


2=4x+42x


2=2x+4


2=2x


x=-1

4tt225=15t

4t(t5)(t+5)=1(t5)


4t(t5)(t+5)=1t5


(t5)(t+5)4t(t5)(t+5)=(1t5)(t5)(t+5)


4t=(t+5)


4t=t5


5t=5


t=1

xx3=x+1x4

xx4=x+1x3x24x=x23x+x34x+2x=3

2x=3x=32x=32

15x+2 xx+2=2

15x+2=2×xx+2x+25x+2=2xx+2

x+25=2xx3=2xx=3

2x+4x+2=1

2x+4=1×x+22x+4=x+22xx=24x=2


x=-2 مخرج کسر را صفر می‌کند و جواب قابل قبول نیست، این معادله جواب ندارد. 

5x3x3+6x+2=53

5x3(x1)+6x+2=53


3(x1)(x+2)5x3(x1)+6x+2=(53)[3(x1)(x+2)]


5x(x+2)+3(x1)(6)=5(x1)(x+2)


5x2+10x+18(x1)=5(x2+x2)


5x2+10x+18x18=5x2+5x10


28x18=5x10


23x=8


x=823

3y+4y1=2+7y1

طرفین تساوی فوق را در y-1 ضرب می‌کنیم:


(y1)(3y+4y1)=(2+7y1)(y1)


3y+4=2(y1)+7


3y+4=2y+5


y=1


جواب y=1 در معادله صادق نیست، بنابراین معادله فوق جواب ندارد.

xx3=x+1x4

xx4=x+1x3x24x=x23x+x34x+2x=3

2x=3x=32x=32

3x74x+23x144x13=0

3x74x133x144x+24x+24x13=0


كسری مساوی صفر است كه صورتش صفر باشد:


3x74x133x144x+2=0


12x239x28x+9112x2+6x56x28=0


12x239x28x+9112x26x+56x+28=0


39x28x6x+56x+91+28=0


17x+119=017x=119

x=11917x=11917x=7

x1x2+xx+2x2+2x4x24=0

x+2x1+xx2x2+2x4x24=0


x+2x1+xx2x2+2x4=0


x2+x2+x22xx22x+4=0


x23x+2=0x2x1=0x2=0x=2x1=0x=1

5x232x+4=3x1x24

5x232x+23x1x24=0

2x+2×53x223x12x2x+2=0


10x+23x223x1=0

10x+203x+66x+2=0

x+28=0x=28

33x+43+x=8x+39x2

33x+43+x8x+39x2=0

33+x+43x8x+33x3+x=0

33+x+43x8x+3=0

9+3x+124x8x3=0

9x+18=09x=18x=2

2x79x56=x98

2x79x56x98=0

82x712x59x972=0

82x712x59x9=0

16x5612x+609x+81=0

5x+85=0


5x=85x=855x=17

x 1xx+ 1x=35

3x+1x=5x1x3x+3x=5x5x3x2+3x=5x25x

3x2+3=5x255x23x2=3+5

2x2=8x2=4x=±2

x+12x3x2+74x29=22x+3x164x

x+12x3x2+72x32x+322x+3+x122x3=0


x+12x3x2+72x32x+322x+3x122x3=0


22x+3x+12x2+72×22x32x+3x122x32x+3=0


22x+3x+12x2+742x32x+3x1=0


22x2+2x+3x+32x2148x+122x22x+3x3=0


22x2+5x+32x2148x+122x2+2x3x+3=0


4x2+10x+62x2148x+122x2+2x3x+3=0


4x22x22x2+10x8x+2x3x+614+12+3=0


x+7=0x=7

3x+5+2x225=35x

3x+5+2x5x+5=3x5

3x+5+2x5x+5+3x5=0

3x5+2+3x+5x5x+5=0


3x5+2+3x+5=03x15+2+3x+15=06x+2=0

6x=2x=26x=13

x+2x+1+2x1x+4x1=0

x+2x1+2xx+1+4x+1x+1x1=0


x+2x1+x+1x2+4=0

x+1x+2+x+2x1=0


x+2x+1+x1=02xx+2=02x=0x=0x+2=0x=2

t1t+42t4=76

t1t+42t476=0


6t4t12×6t+47t+4t46t+4t4=0


6t25t+412t+47t216=0


6t230t+2412t487t2+112=0


t242t+88=0t2+42t88=0

t2t+44=0t2=0t=2t+44=0t=44

32x=x+2x23x

32xx+2xx3=03x32x+22xx3=0


3x92x4=0x13=0x=13

5x4xx2=x4x2

5x4xx2x4x2=05x24xx4xx2=0


5x104x2+4x=0x2+9x14=0

x29x+14=0x2x7=0x2=0x=2x7=0x=7


جواب x=2 قابل قبول نیست، زیرا به‌ازای آن مخرج کسر صفر می‌شود.

2x+32x25x21=2x32x+2

2x+32x15x1x+12x32x+1=0


x+12x+352x12x32x1x+1=0


x+12x+310x12x3=0


2x2+3x+2x+3102x23x2x+3=0


2x2+5x+3102x2+5x3=0


10x10=010x=10x=1


x=1 مخرج کسر را صفر می‌کند و جواب قابل قبول نیست و این معادله جواب ندارد.

3x2x+2x+5x+3=5

3x2x+2x+5x+35=0


x+33x2+x2x+55xx+3xx+3=0


3x22x+9x6+2x2+5x5x215xxx+3=0


3x2+7x6+2x2+5x5x215x=0


3x6=03x=6x=2


x=-2 مخرج کسر را صفر نمی‌کند، پس جواب معادله است. 

1x+11x=1x11x2

1x+11x1x1+1x2=0


xx1x2x+1x1x2x+1xx2+x+1xx1xx1x+1x2=0


xx23x+2x21x2xx2x2+xx21=0


x33x2+2xx32x2x+2x3x22x+x3x=0


x33x2+2xx3+2x2+x2x3+x2+2x+x3x=0


4x2=04x=2x=12

x+1x1x1x+1=3x1x1x+1

x+1x1x1x+1=3x3xx1x+1


x+1x1x1x+13x+3xx1x+1=0


x+1x1+3xx1x1x+13x=0


x+1x+1+3xx1x1x13xx+1x1x+1x1=0


x+12+3x24x+1x13xx21=0


x2+2x+1+3x34x2+x3x2+4x13x3+3x=0


x2+2x+1+3x34x2+x3x2+4x13x3+3x=0


6x2+10x=0x6x+10=0


x=06x+10=06x=10x=106

2x+3x12x3x+1=10x21

2x+3x12x3x+110x1x+1=0


x+12x+3x12x310x1x+1=0


x+12x+3x12x310=0


2x2+3x+2x+32x23x2x+310=0


2x2+5x+32x25x+310=0


2x2+5x+32x2+5x310=0


10x10=010x=10x=1


x=1 مخرج کسر را صفر می‌کند، پس جواب معادله نیست و معادله جواب ندارد.

33x23x28=55x2x20

33x23x2855x2x20=035x2x2053x23x283x23x285x2x20=0


35x2x2053x23x28=0

15x23x6015x2+15x+140=0


12x+80=012x=80x=8012x=203

2x33x+3=12x29

2x33x+312x3x+3=02x+33x312x3x+3=0


2x+63x+912=0x+3=0

x=3x=3


جواب x=3 قابل قبول نیست، زیرا به‌ازای آن، مخرج کسر صفر می‌شود.

x+53x+15=13

3×x+5=1×3x+153x+15=3x+153x=3x


به‌ازای هر x  متعلق به اعداد حقیقی، تساوی فوق برقرار است، این معادله بی‌شمار (بی‌نهایت) جواب دارد. 

x2+4x+24x2+3x+5=x2+5x+7x2+2x+22

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، هدف از حل این تمرین، طرفین وسطین کردن نیست زیرا با یک معادله از درجه چهارم مواجه می‌شویم که حل کردن آن بسیار وقت گیر است.


از ترکیب نسبت در صورت استفاده می‌کنیم:

x2+4x+24+x2+3x+5x2+3x+5=x2+5x+7+x2+2x+22x2+2x+22

2x2+7x+29x2+3x+5=2x2+7x+29x2+2x+22


دلتا در عباراتِ صورت منفی است و این عبارات را از طرفین تساوی حذف می‌کنیم:

1x2+3x+5=1x2+2x+22

x2+3x+5=x2+2x+22

x=17

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

xax+axx=ax

به‌ازای چه مقدار a معادله دارای جواب x=2 است؟

اگر x=2 جواب معادله‌ فوق باشد، آن‌گاه در این معادله صادق است: 

xax+axx=ax2a2+a22=a22a2+a22a2=0

2a2+a2a2=02a2+22=02a21=0

2a2=12=a2a=4

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

4t22t=3t2+kt2+1268

به‌ازای چه مقدار k معادله دارای جواب t=-3 است؟

اگر t=-3 جواب معادله‌ فوق باشد، آن‌گاه در این معادله صادق است:

4t22t=3t2+kt2+126843223=332+k32+1268

78=27+k1006878=27+k32

8×27+k=32×7216+8k=224

8k=2242168k=8k=1

دریافت مثال

بحث در معادلات یک مجهولی درجه اول

هر معادله درجه اول یک مجهولی ax+b=0 پس از ساده شدن به صورت x=-ba در می‌آید که به بحث در حالات مختلف آن می‌پردازیم:

if   a0  ,  b0 ; x=ba

در این حالت معادله دارای یک جواب غیر صفر به صورت x=-ba می‌باشد.

if  a0  ,  b=0 ; x=0a=0

 در این حالت معادله دارای یک جواب  صفر می‌باشد.

if  a=0   ,  b0 ; x=b00×x=b

در این حالت معادله نشدنی، غیر ممکن و ممتنع است و جواب ندارد.

if  a=0   ,  b=0 ; x=000x=0

در این حالت معادله بی‌شمار جواب دارد و مبهم است.

تمرین

معادلات زير را حل كنيد.

2x1=2x+3

2x2=2x+32x2x=3+222x=50×x=5


اين معادله غيرممكن يا نشدنی يا ممتنع است و جواب ندارد، زیرا:

b0  ,  a=0

2x+12=x+12

2x+12=2x+122x+1=2x+12x2x=1122x=00×x=0


اين معادله مبهم است و هر عدد حقيقي در آن صدق می‌كند لذا معادله بی‌شمار جواب دارد.


b=0  ,  a=0

تمرین

معادله پارامتری زير را حل و بحث كنيد.

m2xm=x+1

m2xx=m+1xm21=m+1x=m+1m21


حالت اول)

m21=0m2=1m=±1if   m=1x=1+111=20x=200×x=2


به ازای m=1 معادله، غيرممكن است و جواب ندارد.


if   m=1x=1+1121=000×x=0


حالت دوم)

m210m21m±1x=m+1m21=m+1m+1m1=1m1


به‌ازای m±1 معادله يک ريشه به‌صورت زیر دارد:


x=1m1

xaxb=ab    ;    a,b0

bxaxab=abbxax=ababxba=abab

x=ababbax=abbaba

حالت اول)

ba=0b=a


if    b=ax=a×aaaaax=000×x=0


به‌ازای a=b معادله بی‌شمار جواب دارد و مبهم است.


حالت دوم)

if   bax=abbaba=abx=ab


به‌ازای   baمعادله يک جواب دارد و آن جواب عبارت است از:

x=ab

axab+bxba=x

a2xa+b2xbab=xa2xa+b2xb=abxa2xa3+b2xb3=abx

a2x+b2xabx=a3+b3


a2+b2abx=a+ba2+b2ab


x=a+ba2+b2aba2+b2ab


if   a,b0    ;    a2+b2ab0x=a+b


به‌ازای a,b0 معادله يک جواب به‌صورت زیر دارد:

x=a+b

m21x=m2+3m+2

x=m2+3m+2m21x=m+1m+2m1m+1


حالت اول)

if   m+10m1x=m+2m1


به‌ازای m1 معادله يک ريشه دارد.


حالت دوم)

m1m+1=0


Ι)   if    m+1=0m=1x=000×x=0


به‌ازای m=1  معادله بی شمار جواب دارد و مبهم است.

ΙΙ)   if     m1=0m=1x=1+11+2111+1x=2300×x=6


به‌ازای m=1 معادله جواب ندارد و غيرممكن است.

m2x=mx+22

m2x=mx+2m2m2xmx=2m1xm2m=2m1

x=2m1m2mx=2m1mm1


Ι)if    m1=0m=1x=00x×0=0


به‌ازای m=1  معادله بی شمار جواب دارد و مبهم است.


ΙΙ)if    m=0x=2100×x=2


به‌ازای m=0 معادله جواب ندارد و غيرممكن است.


ΙΙΙ)if     m0,1x=2m1mm1x=2m


به‌ازای m0,1 معادله يک ريشه به‌صورت فوق دارد.

a2x+4=ax+2+b

a2x+4=ax+2a+ba2xax=2a+b4xa2a=2a+b4

x=2a+b4a2ax=2a+b4aa1


Ι)  if    a=0x=b40x×0=b4


به‌ازای a=0 معادله جواب ندارد و غيرممكن است.


ΙΙ)if  a=1x=2+b41×0x=b20x×0=b2


به‌ازای a=1 معادله جواب ندارد و غيرممكن است.


ΙΙΙ)ifa0,1x=2a+b4aa1


به‌ازای a0,1 معادله يک جواب به‌صورت فوق دارد.

x+aax2aa=3

x+ax2aa=3x+ax+2aa=3xx+3a=3a

xx=3a3a11x=00×x=0


به‌ازای هر عدد حقيقی معادله بی شمار جواب دارد و مبهم است.

xax+b=xa+b2

x2+baxab=x2+a2+b22ax+2xb2ab


x2+bxaxab=x2+a2+b22ax+2bx2ab


x2x2+bx2bx+ax+2ax=a2+b22ab+ab


axbx=a2+b2abxab=a2+b2abx=a2+b2abab


Ι)if      ab0abx=a2+b2abab


به‌ازای ab معادله يک جواب دارد.


ΙΙ)if    a=b0x=a2+b2ab00×x=a2+b2ab0×x=a2+a2a20×x=a2


به‌ازای a=b0 معادله جواب ندارد و ممتنع است.


ΙΙΙ)if  a=b=0x=000×x=0


به‌ازای a=b=0 معادله بی شمار جواب دارد و مبهم است.

1xa1xb=abx2ab

xbxaxaxb=abx2ababxaxb=abx2ab

xaxb=x2ab


Ι)if       abxaxb=x2abx2a+bx+ab=x2aba+bx=2abx=2aba+b


به‌ازای ab معادله ريشه دارد.


ΙΙ)  if     a=bxaxa=x2a2x2a2=x2a20=0


به‌ازای a=b معادله بی شمار جواب دارد.

xab2+xba2=xab    ;    a,b0

xab2+xba2xab=0a2xa+b2xbabxa2b2=0a2xa+b2xbabx=0

a2xa3+b2xb3abx=0a2+b2abxa3b3=0a2+b2abx=a3+b3

x=a3+b3a2+b2abx=a+ba2ab+b2a2+b2ab


Ι)if  a,b0a2+b2ab0x=a+b  


x=a+b ريشه معادله است.

m3n3x=mn

mnm2+mn+n2x=mn

x=mnmnm2+mn+n2


Ι)  if      mn=0m=n0×x=0


به‌ازای m=n معادله بی شمار جواب دارد.


ΙΙ)  if     mn0mnx=1m2+mn+n2


به‌ازای mn معادله یک ریشه دارد.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

m2xm2=3mx2x1

به‌ازای چه مقدار m معادله بی شمار جواب دارد.

m2xm2=3mx2x1m2x3mx+2x=m21xm23m+2=m21

x=m21m23m+2x=m1m+1m2m1


m23m+2=0m=1,2m21=0m2=1m=±1m=1


به‌ازای m=1 (ريشه مشترک) معادله مبهم است يعنی:


x×0=0

به‌ازای چه مقدار m معادله جواب ندارد.

به‌ازای m=2 معادله به‌صورت زیر است و معادله نشدنی است.

0×x=3

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

2axb=bx+3

به‌ازای چه مقادير a,b معادله  مبهم است؟

2axbx=b+3x2ab=b+3


شرط مبهم بودن:


2ab=0b+3=0a=32b=3

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

x+m2+2=m2x3m

به ازای چه مقادير m معادله  بی شمار جواب دارد.

x+m2+2=m2x3mxm2x=3mm22m2xx=m2+3m+2

xm21=m2+3m+2x=m2+3m+2m21x=m+1m+2m1m+1


m+1=0m=1m+2=0m=2m1=0m=1m+1=0m=1m=1


به‌ازای m=1 صورت و مخرج كسر هر دو صفر و معادله بی شمار جواب خواهد داشت.

معادله را حل كنيد.

اگر m=1  باشد معادله جواب ندارد در حالی كه اگر m±1 باشد معادله جوابی به‌صورت زير دارد. 

x=m+2m1

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

m2xm=4x+2

به‌ازای چه مقادير m معادله  بی شمار جواب دارد.

m2xm=4x+2m2x4x=m+2

xm24=m+2xm2m+2=m+2x=m+2m2m+2


m2=0,m+2=0m=±2m+2=0m=2m=2

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

a2x+3=9x+a

به‌ازای چه مقدار a معادله  غير ممكن است. 

a2x+3=9x+aa2x9x=a3xa29=a3

x=a3a29x=a3a3a+3


a29=0a2=9a=±3a30a3a=3

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

abx+a1=0

به‌ازای چه مقدار a,b معادله بی شمار جواب دارد.

abx=1ax=1aab


ab=0a=b1a=0a=1a=b=1

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

m2x2m=3x10

معادله  را بر حسب m5  حل کنيد.

m2x2m=3x10m2x3x=2m10xm23=2m10xm5=2m10

x=2m10m5x=2m5m5    ;    m5x=2

دریافت مثال

معادلات با بیش از یک متغیر

در این قسمت ما قصد داریم موضوعی را بررسی کنیم که اغلب در کلاس‌های ریاضی، پوشش مناسب داده نمی‌شود.

آنچه ما در اینجا انجام خواهیم داد حل معادلاتی است که بیش از یک متغیر در آنها وجود دارد.

روندی که ما در این‌جا طی خواهیم کرد بسیار شبیه به حل معادلات خطی است،  یکی از دلایلی است که به امکان می‌دهد این موضوع را در این مرحله معرفی کنیم.

مهمترین موضوع آن است که بدانیم هر معادله را بر اساس چه متغیری می‌خواهیم حل کنیم.

تمرین

در معادلات زیر متغیری که با رنگ متفاوت نشان داده شده است را به‌دست آورید.

A=P(1+rt)

A=P+Prt


AP=Prt


APPt=r


r=APPt

V=m(1b5aRm)

V=mb5aR


Vb=m5abR


Vbm=5abR


R=Vbm5ab


R=Vbm5ab


R=(Vbm)5ab


R=Vb+m5ab


R=mVb5ab

V=m(1b5aRm)

Vbm=5abR


Vb+5abR=m


b(V+5aR)=m


b=mV+5aR

1a=1b+1c

1a(abc)=(1b+1c)(abc)


bc=ac+ab


bcac=ab


c(ba)=ab


c=abb-a

y=45x9

y(5x9)=4


5xy9y=4


5xy=9y+4


x=9y+45y

y=43x1+8x

y(1+8x)=43x


y+8xy=43x


8xy+3x=4y


x(8y+3)=4y


x=4y8y+3

E=3v(42r)

E=12v6vr


Er=12vr6v


Er12vr=6v


(E12v)r=6v


r=6vE12v

Q=6h7s+4(1h)

(Q)(7s)=7s(6h7s+4(1h))


7sQ=6h+28s(1h)


7sQ28s(1h)=6h


[7Q28(1h)]s=6h


s=6h7Q28(1h)

Q=6h7s+4(1h)

(Q)(7s)=7s(6h7s+4(1h))


7sQ=6h+28s(1h)


7sQ=6h+28s28sh


7sQ28s=6h28sh


7sQ28s=(628s)h


h=7sQ28s628s

A12t4p=4+3t5p

20p(A12t4p)=20p(4+3t5p)


20Ap5(12t)=4(4+3t)


20Ap5+10t=16+12t


20Ap21=2t


t=20Ap212

خرید پاسخ‌ها

معادلات یک مجهولی درجه اول

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید