تعبیر هندسی مشتق

آخرین ویرایش: 24 دی 1402
دسته‌بندی: مشتق در ریاضی
امتیاز:

فرض کنیم تابع y=fx در x=a پیوسته باشد:

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو 

فرض کنیم خط d در نقاط زیر، منحنی y=fx را قطع کند:

Aa,fa , Bx,fx

ضریب زاویه خط d یعنی تانژانت زاویه ای که خط با جهت مثبت محور x ها تشکیل می‌دهد با توجه به شکل عبارت است از:

m=tanα=BHAH=fxfaxa

اگر x به سمت a میل کند یعنی xa نقطه B بی‌اندازه به نقطه A نزدیک می‌شود و در وضعیت حدی قاطع، d تبدیل به مماس در نقطه A می‌شود. 

m=limxafxfaxa=f'a

نکته

ضریب زاویه خط مماس بر منحنی y=fx در x=a برابر است با مشتق تابع به ازای طول نقطه تماس در x=a

تمرین

ضریب زاویه خط (یا شیب خط ) مماس بر نمودار توابع زیر را در نقطه داده شده به‌دست آورید.

fx=x2    ;    x=1

m=limxafxfaxam=limx1fxf1x1


m=limx1x212x+1m=limx1x21x+1


m=limx1x1x+1x+1m=limx1x1


m=11m=2


از لحاظ هندسی، یعنی خط مماس در نقطه ای به طول x=-1 با محور طول ها، زاویه ای می‌سازد که تانژانت این زاویه برابر با m=-2 است.


تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

fx=x2x    ;    x=12

m=limxafxfaxam=limx12fxf12x12


m=limx12x2x14x12m=limx12x2x+14x12


m=limx12x122x12m=limx12x12


m=1212m=0


از لحاظ هندسی، یعنی خط مماس در نقطه ای به طول x=12 با محور طول ها، زاویه ای می‌سازد که تانژانت این زاویه برابر با m=0 است.


تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

kx=1x    ;    x=a

m=limxakxkaxa        m=limxa1x1axa     


m=limxa  ax x.axa      m=limxaaxxaxa


m=limxaaxxaxa×a+xa+xm=limxaaxxaa+xxa


m=limxa1a+xx.a       m=limxa1a+aa.a      


m=12a.a                            m=12aa                               

fx=13x21    ;    x=3

m=limx3fxf3x3m=limx313x2113×91x3


m=limx313x212x3m=limx313x23x3


m=limx313x29x3m=limx313x3x+3x3


m=limx313x+3m=133+3m=2

xt=t4    ;    t=a

m=limtaxtxatam=limtat4a4ta


m=limtat2a2t2+a2tam=limtatat+at2+a2ta


m=limtat+at2+a2m=a+aa2+a2


m=2a2a2m=4a3

yu=u1+u    ;    u=a

m=limuayuyauam=limuau1+ua1+aua


m=limua u1+aa1+u1+u1+auam=limuau+auaauua1+u1+a


m=limuauaua1+u1+am=limua11+u1+a


m=11+a1+am=11+a2

fx=3x24x    ;    x=1

m=limx1fxf1x1m=limx13x24x7x+1


m=limx13x24x7x+1m=limx1x+13x7x+1


m=limx13x7m=317m=10


یادآوری) برای تجزیه کسر، عبارت صورت را بر x+1 تقسیم می‌کنیم:


    3x24x7              x+1      3x23x          ¯           3x7  7x7±7x±7    ¯          03x24x7=x+13x7

fx=x+1x1    ;    x=a

m=limxagxgaxa


m=limxax+1x1a+1a1xa


m=limxa x+1a1x1a+1x1a1xa


m=limxa xax+a1xa+xa1x1a1xa


m=limxaxax+a1xax+a+1xax1a1


m=limxa2x+2axax1a1


m=limxa2xaxax1a1


m=limxa2x1a1


m=2a1a1


m=2a12

yx=4x2    ;    x=1

m=limx1yxy1x1m=limx14x23x+1

m=limx14x23x+1×4x2+34x2+3

m=limx14x23x+14x2+3


m=limx11x2x+14x2+3m=limx11x1+xx+14x2+3


m=limx11x4x2+3m=11412+3


m=223m=13

yx=11+x2    ;    x=1

m=limx1yxy1x1m=limx111+x211+12x1


m=limx1 21+x21+x22x1m=limx11x221+x2x1


m=limx11x1+x21+x2x1m=limx11+x21+x2


m=1+121+12m=24m=12

fx=sinx    ;    x=0

m=limx0fxf0x0m=limx0sinxsin0x


m=limx0sinxxm=1


به نمودار زیر توجه کنید:



برای یافتن α داریم:


یادآوری)


شیب هر خط (ضریب زاویه) برابر است با تانژانت زاویه‌ ای که خط با قسمت مثبت محور x ها می‌سازد.


m=tanα1=tanαα=45°

fx=tanx    ;    x=0

m=limx0fxf0x0m=limx0tanxtan0x


m=limx0tanxxm=1


به نمودار زیر توجه کنید:



برای یافتن α داریم:


یادآوری)
 شیب هر خط (ضریب زاویه) برابر است با تانژانت زاویه‌ ای که خط با قسمت مثبت محور x ها می‌سازد.


m=tanαm=tanαα=45°

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعبیر هندسی مشتق

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید