حل معادله در حالات خاص

آخرین ویرایش: 25 دی 1402
دسته‌بندی: معادلات درجه سوم
امتیاز:

فرم كلی هر معادله درجه سوم به‌صورت زیر است كه در آن d  ,  c  ,  b  ,  a اعداد حقیقی است:

ax3+bx2+cx+d=0

در معادله فوق a0 است زیرا در غیر این‌صورت معادله درجه سوم به معادله درجه دوم تبدیل می‌شود.

روش‌هایی كلی برای حل معادله درجه سوم وجود دارد كه به‌علت مفصل بودن فرمول‌های آن عملا از آنها استفاده نمی‌شود.

حل معادله درجه سوم را در حالت‌های خاص زیر بررسی می‌كنیم: 

حالت خاص اول

قضیه

اگر در معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 مجموع ضرایب صفر باشد، آن‌گاه معادله بر x-1 بخش پذیر است. 

اثبات

اگر معادله درجه سوم را بر x-1 تقسیم کنیم به یک معادله از درجه دوم می‌رسیم که ریشه‌هایش قابل محاسبه است. 

مجموعه ضرایب معادله صفر است:

a+b+c+d=0d=abc

ax3+bx2+cx+d=0

ax3+bx2+cx+abc=0

ax3a+bx2b+cxc=0

ax31+bx21+cx1=0

ax1x2+x+1+bx1x+1+cx1=0

x1ax2+x+1+bx+1+c=0

x1ax2+a+bx+a+b+c=0

نکته

بدون عمل تقسیم، معادله درجه دوم را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:

ax2+a+bx+a+b+c=0

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x36x2+11x6=0

مجموع ضرایب صفر است: 

1+6+11+6=0


یعنی معادله بر x-1 بخش پذیر است. معادله را بر x-1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

x36x2+11x6     x1         x3±x2¯                      x25x+65x2+11x                                       ±5x25x¯6x66x±6         ¯           0


x36x2+11x6=0x1x25x+6=0

x1=0x=1x25x+6=0x2x3=0x=2  ,  x=3

x34x2+5x2=0

مجموع ضرایب صفر است: 

1+4+5+2=0


یعنی معادله بر x-1 بخش پذیر است. معادله را بر x-1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:


x34x2+5x2            x1                          ¯                           x23x+2           0



x34x2+5x2=0x1x23x+2=0

x1=0x=1x23x+2=0x=1  ,  x=2

حالت خاص دوم

قضیه

اگر در معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 داشته باشیم:

a+c=b+d

آن‌گاه معادله بر x+1 بخش پذیر است. 

اثبات

اگر معادله درجه سوم را بر x+1 تقسیم کنیم به یک معادله از درجه دوم می‌رسیم که ریشه‌هایش قابل محاسبه است. 

a+c=b+dd=a+cb

ax3+bx2+cx+d=0

ax3+bx2+cx+a+cb=0

ax3+a+bx2b+cx+c=0

ax3+1+bx21+cx+1=0

ax+1x2x+1+bx1x+1+cx+1=0

x+1ax2x+1+bx1+c=0

x+1ax2+bax+ab+c=0

نکته

بدون عمل تقسیم، معادله درجه دوم را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:

ax2+bax+ab+c=0

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x36x2+5x+12=0

a+c=b+d1+5=6+12


یعنی معادله بر x+1 بخش پذیر است. معادله را بر x+1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

x36x2+5x+12                x+1       x3x2¯                            x27x+127x2+5x±7x2±7x¯12x+1212x12¯         0



x36x2+5x+12=0x+1x27x+12=0

x+1=0x=1x27x+12=0x3x4=0x=3  ,  x=4

x33x2+2x+6=0

1+2=(3)+(6)


یعنی معادله بر x+1 بخش پذیر است. معادله را بر x+1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

x33x2+2x+6           x+1                                 ¯                      x24x+6            0



x33x2+2x+6=0(x+1)(x24x+6)=0x+1=0x=1               x24x+6=0


معادله x24x+6=0 ریشه حقیقی ندارد. 

حالت خاص سوم

بعضی از معادلات درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 از راه فاکتورگیری و دسته‌بندی قابل حل می‌باشند.

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x33x24x+12=0

(x33x2)4(x3)=0x2(x3)4(x3)=0(x3)(x24)=0

x3=0x=3x24=0x2=4x=±2

x32x2+2x4=0

x32x2+2x4=0x2x2+2x2=0x2x2+2=0x2=0x=2x2+2=0


معادله x2+2=0 ریشه حقیقی ندارد. 

x3+4x2=5

x3+4x25=0


x3x2+5x25=0


x2x1+5x21=0


x2x1+5x1x+1=0


x1x2+5x+1=0


x1x2+5x+5=0


x=1x=5±25202=5±52

4n3+6n2+4n+1=0

روش اول - طرفین تساوی را در عدد دو ضرب می‌کنیم:


8n3+12n2+8n+2=0


2n3+2n2×3+2n×4+2=0    ;    2n=x


x3+3x2+4x+2=0


x3+x2+2x2+2x+2x+2=0


x3+x2+2x2+2x+2x+2=0


x2x+1+2xx+1+2x+1=0


x+1x2+2x+2=0


x+1=0x=12n=x2n=1n=12x2+2x+2=0x2+2x+1+1=0x+12+1=0x+12=1


معادله اخیر ریشه حقیقی ندارد.


روش دوم - 

4n3+6n2+4n+1=0


n4+4n3+6n2+4n+1=0+n4


n+14=n4n+14n4=0


n+122n22=0


n+12n2n+12+n2=0


n+12n2=02n+1=0n=12n+12+n2=02n2+2n+1=0  ;  Δ<0


معادله اخیر ریشه حقیقی ندارد.

x3x24=0

x38x24=0


x2x2+2x2+4x2x+2=0


x2x2+2x+4x+2=0


x2x2+x+2=0


x2=0x=2x2+x+2=0    ;    Δ<0


معادله اخیر ریشه حقیقی ندارد. 

تمرین

دستگاه های زیر را حل کنید.

x+y+z=3x3+y3+z3=15x5+y5+z5=83

اتحاد اولر را در زیر یادآوری می‌کنیم:

x3+y3+z33xyz=x+y+zx2+y2+z2xyxzyz


x3+y3+z33xyz=x+y+zx+y+z22xy+xz+yzxy+xz+yz


فرض کنیم:

xyz=Pxy+xz+yz=Tx+y+z=S=3


153P=3322TT


153P=393T

153P=279T

5P=93T

P=3T4    ;    x2+y2+z2=92T


x3+y3+z3x2+y2+z2=x5+x3y2+x3z2+x2y3+y5+z2y3+x2z3+y2z3+z5


x3+y3+z3x2+y2+z2=x5+y5+z5+x2y2x+y+x2z2x+z+y2z2y+z


1592T=83+x2y23z+x2z23y+y2z23x


13530T83=3x2y2+x2z2+y2z2xyzxy+xz+yz


یادآوری)

xy+xz+yz2=x2y2+x2z2+y2z2+2x2yz+2y2xz+2z2xy


xy+xz+yz2=x2y2+x2z2+y2z2+2xyzx+y+z


x2y2+x2z2+y2z2=xy+xz+yz22xyzx+y+z


x2y2+x2z2+y2z2=T22P3


x2y2+x2z2+y2z2=T26P


5230T=3T26PPT


5230T=3T26PPT


5230T=3T218PPT    ;    P=3T4


5230T=3T2183T4T3T4


5230T=3T254T+723T2+4T


20T=20T=1P=3T4=314=1

x+y+z=3xy+xz+yz=1xyz=1u33u2+u+1=0


u33u2+u+1=0


u3+u22u2+2uu+1=0


u3u22u2+2uu+1=0


u2u12uu1u1=0


u1u22u1=0


u1=0u=1u22u1=0u=1+2u=12


جواب دستگاه به‌صورت زیر است:

x,y,z=1,1+2,12

4x3+3x2y+y3=82x32x2y+xy2=1

if    y=kx


4x3+3x2kx+kx3=84x3+3kx3+k3x3=82x32x2kx+xkx2=12x32kx3+k2x3=1


طرفین تساوی فوق را بر هم تقسیم می‌کنیم: 


4x3+3kx3+k3x32x32kx3+k2x3=81


x34+3k+k3x322k+k2=8


k3+3k+4=1616k+8k2


k38k2+19k12=0


k3k2+7k2+7k+12k12=0


k2k17kk1+12k1=0


k1k27k+12=0


k1k3k4=0



if    k=1y=kxy=x


4x3+3x2y+y3=8


4x3+3x3+x3=8


8x3=8


x=1


y=1


if    k=3y=kxy=3x


4x3+3x2y+y3=8


4x3+3x23x+3x3=8


4x3+9x3+27x3=8


40x3=8


x3=15


x=153


y=353



if    k=4y=kxy=4x


4x3+3x2y+y3=8


4x3+3x24x+4x3=8


4x3+12x3+64x3=8


80x3=8


x3=110


x=1103


y=4103


1,1,153,353,1103,4103

تمرین

المپیاد ریاضی

if  sin3x+cos3x=22sin2x=?

یادآوری)


a3+b3=a+ba2ab+b2


sin3x+cos3x=22


sinx+cosxsin2xsinx×cosx+cos2x=22


sinx+cosx1sinx×cosx=22


if    sinx+cosx=y


sinx+cosx2=y2


sin2x+2sinx×cosx+cos2x=y2


1+2sinxcosx=y2


sinxcosx=y212


sin2x=2sinx×cosx=2y212=y21    ;    ΙΙ


sinx+cosx1sinx×cosx=22


y1y212=22


y2y21=2


y3y2=2


y33y+2=0


y32yy+2=0


yy22y2=0


yy2y+2y2=0


y2yy+21=0


y2y2+2y1=0


y=2y=2±2+42=2±62


sinx+cosx=y

یادآوری)


a2+b2asinx+bcosxa2+b22sinx+cosx2


y=2sin2x=y21=221=1

y=622sin2x=y21=62221=84341=13

y=262<2

تمرین

نامساوی زیر را ثابت کنید.

x4+4x+30

x4+x3x3+x2+x2+x+3x+30


x4+x3+x3x2+x2+x+3x+30


x3x+1x2x+1+xx+1+3x+10


x+1x3x2+x+30


x+1x3+x22x2+2x+3x+30


x+1x3+x2+2x22x+3x+30


x+1x2x+12xx+1+3x+10


x+1x+1x22x+30


x+12x12+20


طرف سمت چپ نامساوی همواره مثبت است بنابراین به یک نامساوی همیشه درست رسیدیم.


ثابت شد که نامساوی زیر همواره برقرار است:


x4+4x+30

حالت خاص چهارم

قضیه

اگر x=λ یکی از ریشه های معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشد، آن‌گاه معادله بر x-λ بخش پذیر است. 

اثبات

اگر x=λ یکی از ریشه های معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشد، آن‌گاه در معادله صادق است:

ax3+bx2+cx+d=0aλ3+bλ2+cλ+d=0

دو معادله فوق را نظیربه‌نظیر از هم کم می‌کنیم:

(ax3aλ3)+(bx2bλ2)+(cxcλ)+(dd)=0

a(x3λ3)+b(x2λ2)+c(xλ)=0

a(xλ)(x2+xλ+λ2)+b(xλ)(x+λ)+c(xλ)=0

(xλ)a(x2+xλ+λ2)+b(x+λ)+c=0

(xλ)ax2+(aλ+b)x+aλ2+bλ+c=0

تمرین

اگر x=2 یکی از ریشه های معادله زیر باشد، باشد، معادله را حل کنید.

x3+mx22x+4=0

اگر x=2 ریشه معادله درجه سوم فوق باشد، در معادله صادق است:

if   x=2(2)3+m222(2)+4=08+4m4+4=04m=8m=2


if   x3+mx22x+4=0m=2x32x22x+4=0


معادله را بر x-2 تقسیم کرده تا تجزیه شود:

    x32x22x+4            x2         x3±2x2             ¯                x22    2x+4   ±2x4¯         0



x32x22x+4=0(x2)(x22)=0

x2=0x=2x22=0x2=2x=±2

حالت خاص پنجم

قضیه

اگر ریشه های حقیقی معادله ax3+bx2+cx+d=0 عضو  باشند، عدد ثابت معادله یعنی d بر هر یک از ریشه های معادله بخش پذیر است. a=1      

به‌عبارت دیگر، ریشه های معادله عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد ثابت d هستند.

اثبات

اگر x3  ,  x2  ,  x1 ریشه های حقیقی معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشند، بعدا خواهیم دید که:  

x1.x2.x3=da

چون x3  ,  x2  ,  x1 عضو  و a=1 است پس داریم:

if    a=1x1x2x3=d

یعنی عدد d بر هر یک از اعداد x3  ,  x2  ,  x1 بخش پذیر است، بنابراین x3  ,  x2  ,  x1 عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد d هستند.   

تمرین

اگر ریشه های معادلات زیر عضو  باشند، معادلات را حل کنید. 

x35x24x+20=0

عدد ثابت معادله 20 است و مجموعه مقسوم علیه های جبری آن عبارتند از:

±1,±2,±4,±5,±10,±20


با جایگذاری مشخص می‌شود که x=2 یکی از ریشه های معادله است.


برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر x-2 تقسیم می‌کنیم:

     x35x24x+20           x2                x3±2x2                        x23x10   3x24x¯   ±3x26x¯   10x+20   ±10x20¯               0                



x35x24x+20=0(x2)(x23x10)=0

x2=0x=2x23x10=0(x+2)(x5)=0x=2  ,  x=5

x33x24x+12=0

عدد ثابت معادله 12 است و مجموعه مقسوم علیه های جبری آن عبارتند از:

±1,±2,±3,±4,±6,±12


با جایگذاری مشخص می‌شود که x=2 یکی از ریشه های معادله است.


برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر x-2 تقسیم می‌کنیم:

x33x24x+12              x2                                 ¯                      x2x6          0



x33x24x+12=0(x2)(x2x6)=0

x2=0x=2x2x6=0(x3)(x+2)=0x=3,x=2

حالت خاص ششم

قضیه

اگر ریشه های حقیقی معادله ax3+bx2+cx+d=0 به‌صورت کسرهایی گویا به‌فرم pq باشد و p,q، آن‌گاه: 

p عدد d را می‌شمارد و q عدد a را می‌شمارد.  

به‌عبارت دیگر، عدد p عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد ثابت d و عدد q عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد a خواهد بود. 

اثبات

اگر x3  ,  x2  ,  x1 ریشه های حقیقی معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشند، بعدا خواهیم دید که:  

x1.x2.x3=da

اگر x3  ,  x2  ,  x1 به‌فرم کسرهایی نظیر p''q''  ,  p'q'  ,  pq باشند، آن‌گاه pp'p''qq'q''=da بنابراین d بر p  ,  p'  ,  p'' و a بر q''  ,  q'  ,  q بخش پذیر است.    

تمرین

اگر ریشه های معادله زیر به‌صورت کسرهایی گویا مانند pq باشد و p,q، آن‌گاه:  باشند، معادله را حل کنید. 

16x360x2+56x15=0

x1=pqp±1,±3,±5,±15q±1,±2,±4,±8,±16


با جایگذاری مشخص می‌شود که x=12 یکی از ریشه های معادله است.


برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر x-12 تقسیم می‌کنیم:

16x360x2+56x15            x12                                     ¯                           16x252x+30            0


16x360x2+56x15=0x1216x252x+30=0x=12  ,  x=52   ,  x=34

حالت خاص هفتم

با توجه به اتحاد زیر می‌توان بعضی از معادلات درجه سوم را حل کرد:

(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x33x2+3x4=0

(x33x2+3x1)3=0x-13-3=0x-13=3

(x1)33=33x1=33x=1+33

x33x2+3x9=0

(x33x2+3x1)8=0x33x2+3x1=8x-13=8

x-13=23x1=2x=3

x33x2+3x+26=0

(x33x2+3x1)+27=0x-13=27(x1)33=273x1=3x=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید