پیوستگی در یک نقطه

آخرین ویرایش: 24 دی 1402
دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی
امتیاز:

مقدمه

برای ورود به بحث به تمرین های زیر توجه کنید.

تمرین

دو تابع زیر را نظر می‌گیریم:

fx=x+1

gx=x+1x21x=2

نمودار این دو تابع را رسم می‌کنیم: 

حد این دو تابع را در نقطه x=2 محاسبه می‌کنیم:

limx2fx=limx2x+1=2+1=3limx2gx=limx2x+1=2+1=3


حد این دو تابع در نقطه‌ x=2 با هم مساوی هستند زیرا هر دو تابع در همسایگی این نقطه‌ ضابطه‌ یکسانی دارند.   

مقدار دو تابع را در نقطه x=2 بدست می‌آوریم: 

f2=2+1=3g2=1

آیا مقدار تابع f در نقطه x=2 با حد تابع f در همسایگی این نقطه برابر هستند؟  

f2=2+1=3limx2fx=3f2=limx2fx=3


مقدار تابع f در نقطه x=2 با حد تابع f در همسایگی این نقطه برابر هستند.


در تابع f، تساوی حد و مقدار تابع در x=2 موجب پیدایش پیوستگی در کُل شکل شده است. 

آیا مقدار تابع g در نقطه x=2 با حد تابع g در همسایگی این نقطه برابر هستند؟  

g2=1limx2gx=2+1=3g2limx2gx


مقدار تابع g در نقطه x=2 با حد تابع g در همسایگی این نقطه برابر نیستند.


در تابع g، تفاوت حد و مقدار تابع در x=2 موجب ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل شده است. 

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

f-2=?

f-2 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=-2 تعریف نشده است.

limx2fx=?

limx2fx موجود و متناهی نمی‌باشد زیرا حد راست و حد چپ در نقطه x=-2 برابر نیستند. 

آیا تساوی limx2fx=f2 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx2fxf2


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است. 

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

f1=?

f1 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=1 تعریف نشده است.

limx1fx=?

limx1fx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx1fx=f1 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx1fxf1


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

f0=?

f0=L یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=0 تعریف شده است. 

limx0fx=?

limx0fx=L' موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx0fx=f0 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx0fxf0


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

f1=?

f1=2 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=1 تعریف شده است. 

limx1fx=?

limx1fx=2 موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx1fx=f1 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

limx1fx=f1=2


پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف نشده است.

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limxafxfa


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limxafxfa


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:


limxafx=fa=L


پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تعریف پیوستگی در یک نقطه

تابع y=fx را در نقطه x=a پیوسته گویند، هر گاه: 

  1. fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 
  2. limxafx=L موجود و متناهی ‌باشد.
  3. حد تابع با مقدار تابع برابر باشد.

limxafx=fa

تذکر

اگر یکی یا بیشتر، از این سه شرط در x=a برقرار نباشد، تابع y=fx  را در نقطه x=a  ناپیوسته (گسسته یا منفصل) نامیده می‌شود.  


با توجه به تعریف پیوستگی یعنی limxafx=fa می‌توانیم آن را با استفاده از تعریف حد به صورت زیر معرفی کنیم:  

β>0    α>0    ;    0<xa<αfxfa<β

تمرین

با رسم توابع زیر، نشان دهید که در هر عدد حقیقی a پیوسته اند.

y=cosxy=xy=x2

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

تمرین

با رسم توابع زیر، نشان دهید که در بعضی از نقاط، ناپیوسته هستند.

y=xy=xx

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

تمرین

پیوستگی هر یک از توابع زیر را در نقطه x=x0 بررسی کنید.

fx=2x25x+1    ;    x=2

1    f2=22252+1=1


مقدار تابع در x=2 موجود و متناهی است.


2    limx2fx=limx22x25x+1=22252+1=1


3    limx2fx=f2


تابع f در x=2 پیوسته است.

fx=1x    ;    x=0

1   f0=?


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی نیست.


شرط اول در پیوستگی برقرار نیست، بنابراین تابع پیوسته نیست.


اما برای اطلاعات بیشتر، حل را ادامه می‌دهیم:


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+1x=10+=+


L2=limx0fx=limx01x=10=


3    L1L2f0


تابع f در x=0 پیوسته نیست. 


بر اساس نمودار، تابع در نقطه x=0 پیوسته نیست.


fx=x    ;    x=1

1    f1=1=1


مقدار تابع در x=-1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+x=1+=1


L2=limx1fx=limx1x=1=-2


3    f1=L1L2


تابع f در x=-1 پیوسته نیست. 


بر اساس نمودار، تابع در نقطه x=-1 پیوسته نیست.



تابع y=x در نقاط به طول صحيح همواره ناپيوسته است.

fx=x    ;    x=1.7

1    f1.7=1.7=1


مقدار تابع در x=1.7 موجود و متناهی است.


2    limx1.7fx=?


L1=limx1.7+fx=1.7+=1.8=1


L2=limx1.7fx=1.7=1.6=1


3    L1=L2=f1.7


تابع f در x=1.7 پیوسته است.


تابع y=x در نقاط به طول غير صحيح  همواره پيوسته است.

fx=x+4x    ;    x=3

1    f3=3+43=3+1=3+1=4


مقدار تابع در x=3 موجود و متناهی است.


2    limx3fx=?


L1=limx3+fx=3++43+=3+43.1=3+0.9=3+0=3


L2=limx3fx=3+43=2+42.9=2+1.1=2+1=3


3) L1=L2f3


تابع f در x=3 پیوسته نیست. 

fx=1x2    ;    x=0

1    f0=102=1=1


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=10+2=10+=10.1=0.9=0


L2=limx0fx=102=10+=10.1=0.9=0


3    L1=L2f0


تابع f در x=0 پیوسته نیست. 

fx=x24    ;    x=2

1    f2=224=0


مقدار تابع در x=-2 موجود و متناهی است.


2    limx2fx=?


limx2fx=limx2x24=?


Df:x240x24x2x2x2Df=,22,+


همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مقدار -2+ در دامنه نیست یعنی حد راست تابع در این نقطه وجود  ندارد، بنابراین تابع در این نقطه حد ندارد.


3    limx2fxf2


تابع f در x=-2 پیوسته نیست. 

fx=x+22x3    ;    x=3

1    f3=3+2233=53


مقدار تابع در x=3 موجود و متناهی است.


2    limx3fx=limx3x+22x3=3+2233=53


3    limx3fx=f3


تابع f در x=3 پیوسته است.

fx=2x2+xx2    ;    x=2

1    f2=222+222=824=64=32


مقدار تابع در x=-2 موجود و متناهی است.


2   limx2fx=limx22x2+xx2=222+222=32


3    limx2fx=f2


تابع f در x=-2 پیوسته است.

fx=x21x2+1      ,      x=1

1    f1=12112+1=111+1=02=0


مقدار تابع در x=-1 موجود و متناهی است.


2limx1fx=limx1x21x2+1=12112+1=0


3limx1fx=f1


تابع f در x=-1 پیوسته است.

fx=x1x31    ;    x=1

1    f1=11131=00


مقدار تابع نامعين است.


شرط اول در پیوستگی برقرار نیست، بنابراین تابع پیوسته نیست.


اما برای اطلاعات بیشتر، حل را ادامه می‌دهیم:


2    limx1fx=?


برای محاسبه این حد، از مفاهیم هم ارزی یا قاعده هوپیتال استفاده شده است، برای اطلاعات بیشتر به‌قسمت حد مراجعه کنید.


limx1fx=limx1x1x31=00Hlimx113x2=13


3    limx1fxf1


تابع f در x=1 پیوسته نیست.

fx=11+x      ;     x=0

1 f0=11+0=1


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+11++x=limx0+11+x=11+0=1


L2=limx0fx=limx011+x=limx011-x=110=1


3L1=L2=f0


تابع f در x=0 پیوسته است. 

fx=xsin1x+sinxx2+3x    ;    x=0

1   f0=0sin10+sin00=0+00


مقدار تابع تعريف نشده است، یعنی شرط اول برقرار نیست.


تابع f در x=0 پیوسته نیست.

تمرین

پیوستگی هریک از توابع چندضابطه ای زیر را در نقطه x=x0 بررسی کنید.

fx=x2+xx0x2xx>0

1  f0=0


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx


L1=limx0+fx=limx0+x2x=020=0


L2=limx0fx=limx0x2+x=02+0=0

3    L1=L2=f0


تابع f در x=0 پیوسته است.


براساس نمودار، تابع در نقطه‌ x=0 همواره پیوسته است.


x2+x=x2+x+1414=x+12214


x2x=x2x+1414=x12214


fx=1xx1x+1x1

1   f1=11=1


مقدار تابع در x=-1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+x+1=1+1=0


L2=limx1fx=limx11x=11=1


3    L1L2=f1


تابع f در x=-1 پیوسته نیست.


براساس نمودار، تابع در نقطه‌ x=-1 همواره پیوسته نیست.


 

fx=1x>00x=01x<0

1    f0=0


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+1=1


L2=limx0fx=limx01=1


3    f0L1L2


تابع f در x=0 پیوسته نیست.


براساس نمودار، تابع در نقطه‌ x=0 همواره پیوسته نیست.


fx=1xZ0xZ

1    fn=0    ;    x=nZ


مقدار تابع در x=nZ موجود و متناهی است.


2   limxnZfx=1


3   limxnZfxfn


تابع f در x=nZ پیوسته نیست.


براساس نمودار، تابع در نقاط به طول صحیح،  پیوسته نیست.


fx=xx02x=0

1    f0=2


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=limx0x=limx00=0


3    limx0fxf0


تابع f در x=0 پیوسته نیست.


براساس نمودار، تابع در نقطه‌ x=0 پیوسته نیست.


fx=3x2xx>322x+3x<32

1    f32=?


مقدار تابع در نقطه x=-32   تعریف نشده است، شرط اول برقرار نیست.


تابع f در x=-32 پیوسته نیست.

fx=x+1x1x>32x=35x13x<3

1    f3=2


مقدار تابع در x=3 موجود و متناهی است.


2   limx3fx=?


L1=limx3+fx=limx3+x+1x1=3+131=42=2


L2=limx3fx=limx35x13=5313=2


3    L1=L2=f3


تابع f در x=3 پیوسته است.

fx=2x01x=0

1    f0=1


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=limx02=2


3   limx0fxf0


تابع f در x=0 پیوسته نیست.

fx=x21x+1x11x=1

1    f1=1


مقدار تابع در x=-1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=limx1x21x+1=00Hlimx12x1=2


برای محاسبه حد فوق، از مفاهیم هم ارزی یا قاعده هوپیتال استفاده شده است، برای اطلاعات بیشتر به‌قسمت حد مراجعه کنید.


3    limx1fxf1


تابع f در x=-1 پیوسته نیست.


براساس نمودار، تابع در نقطه‌ x=-1 پیوسته نیست.


fx=4x2+1x02x12x<0

1   f0=402+1=1


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+4x2+1=402+1=1


L2=limx0fx=limx02x12=2012=1


3    L1=L2=f0


تابع f در x=0 پیوسته است.

fx=x2+xx2x    x01    x=0

1    f0=1


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x2+xx2x=limx0+x2++xx2+x=limx0+x2+xx2x=00Hlimx0+2x+12x1=20+1201=1


L2=limx0fx=limx0x2+xx2x=limx0x2+xx2x=x2xx2+x=00Hlimx02x12x+1=20120+1=1


3    L1=L2=f0


تابع f در x=0 پیوسته است.

fx=x1n1+2   1x1     x10     x=1

1    f1=0


مقدار تابع در x=1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+x1n1+2 1x1=11n1+2 11+1=01+2 10+=01+2+=0+=0


L2=limx1fx=limx1x1n1+2 1x1=11n1+2 111=01+2 10=01+2=01+12+=01+0=0


3    L1=L2=f1


تابع f در x=1 پیوسته است.

fx=2+10  1xx<02x0

1    f0=2


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+2=2


L2=limx0fx=limx02+10 1x=2+10 10=2+10=2+110+=2+0=2


3    L1=L2=f0


تابع f در x=0 پیوسته است.

fx=sinx+cosxxπ22sin2x1x<π2

1    fπ2=sinπ2+cosπ2=1+0=1


مقدار تابع در x=π2 موجود و متناهی است.


2   limxπ2fx=?


L1=limxπ2+fx=limxπ2+sinx+cosx=sinπ2+cosπ2=1


L2=limxπ2fx=limxπ22sin2x1=2sin2π21=2121=1


3   L1=L2=fπ2


تابع f در x=π2 پیوسته است.

fx=sinπxπx2    x21     x=2

1    f2=1


مقدار تابع در x=2 موجود و متناهی است.


2    limx2fx=limx2sinπxπx2=00Hlimx2+πcosπxπ=πcos2ππ=1


3    limx2fx=f2


تابع f در x=2 پیوسته است.


براساس نمودار، تابع در نقطه‌ x=2 پیوسته است.


fx=x+xx01x=0

1    f0=1


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=0++0+=0+0.1=0.1=1


L2=limx0fx=0+0=1+0.1=1+0.1=1+0=1


3   L1=L2f0

تابع f در x=0 پیوسته نیست.

fx=xsin12x2+1x00x=0

1    f0=0


مقدار تابع در x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=limx0xsin12x2+1=0sin1202+1=0sin11=0×sin1=0


3    limx0fx=f0


تابع f در x=0 پیوسته است.

fx=xsinxxπ21x=π2

1    fπ2=1


مقدار تابع در x=π2 موجود و متناهی است.


2    limxπ2fx=limxπ2xsinx=π2sinπ2=π20=1    ;    limxπ2sinx=0


3    limxπ2fx=fπ2


تابع f در x=π2 پیوسته است.

تمرین

مقدار پارامترهای خواسته شده را طوری بیابید که توابع زیر در نقاط x=x0 پیوسته باشد.

fx=axxx01x=0  a=?

1    f0=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+axx=limx0+axx=limx0+a=a


L2=limx0fx=limx0axx=limx0axx=limx0+a=a


3    L1L2f0


تابع f به‌ازای هیچ مقدار a پیوسته نیست.

fx=x2ax+1x1x2ax>1a=?

1    f1=12a1+1=2a


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+x2a=12a


L2=limx1fx=limx1x2ax+1=12a1+1=2a


3    L1=L2=f1


تابع‌ f در x=1 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


L1=L212a=2aa=1a=1

fx=xcosx  x0a  x=0    a=?

1   f0=a


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+xcosx=0+cos0+=0+0=1


L2=limx0xcosx=0cos0=00=1


3    L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a=1

fx=bsin2x1cos2x       x>0ax+1       x0a,b=?

1    f0=a0+1=a0+1=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+bsin2x1cos2x=00limx0+b×2x122x2=limx0+2bx12×2x=limx0+2bx22x=2b22=2b


L2=limx0fx=limx0ax+1=a0+1=a1+1=a+1


3    L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


2b=1b=12b=22a+1=1a=0

fx=x21x   x0a   x=0     a=?

1    f0=a


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=limx0x21x=limx0x2×1x=limx0x=limx00=0


3   L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a=0

fx=x2x21cosx    x0a    x=0   a=?

1    f0=a


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+0x21cosx=00limx0+x212x2=2


L2=limx0fx=limx0+0x21cosx=00limx0+x212x2=2


3   L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a=-2

fx=x11xx0ax=0   a=?

1    f0=a


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=limx0x11x=0110=0


3   limx0fx=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a=0

fx=a   x=0xx2+sinx   x0   a=?

1    f0=a


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=limx0xx2+sinx=00limx0xx2+x=00limx0xx=1


3    limx0fx=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a=1

fx=3x2sin2x2    x<0x2+2x+c13x2    x0     c=?

1   f0=02+20+c1302=c


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x2+2x+c13x2=02+20+c1302=c


L2=limx0fx=limx03x2sin2x2=×03x2.2x2=6


3   L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


c=6

fx=axx4   x>0b+x72   x=0x+4   x<0     a,b=?

1    f0=b+072=b+3.5=b4


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+ax+x4=a4


L2=limx0fx=limx0x+4=0+4=1+4=3


3    L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a4=3a=7b4=3b=7

fx=ax2+bxx<1xx=1asinx1+bx>1a,b=?

1    f1=1=1


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+asinx1+b=asin11+b=asin0+b=a0+b=b


L2=limx1fx=limx1ax2+bx=a12+b1=a+b


3    L1=L2=f1


تابع‌ f در x=1 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


b=1a+b=1a=0

fx=x+ax<0xcotx2x>0x1+bx=0  a,b=?

1    f0=01+b=1+b


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x.cotx2=0×limx0+xtanx2=00limx0+xx2=2


L2=limx0fx=limx0x+a=0+a=1+a


3    L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


1+a=2a=31+b=2b=1

fx=axx+2x>05x=0bx+1x<0   a,b=?

1   f0=5


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2   limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+axx+2=limx0+a+xx+2=a+2


L2=limx0fx=limx0bx+1=b0+1=b1+1=b+1


3    L1=L2=f0


تابع‌ f در x=0 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


a+2=5a=3b+1=5b=4

تمرین

مقدار a را طور بیابید که تابع زیر در نقطه x=1 پیوسته نباشد.

fx=2x+ax1x2+3xx<1

1   f1=21+a=2+a


مقدار تابع در نقطه x=1 موجود و متناهی است.


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+2x+a=21+a=2+a


L2=limx1fx=limx1x2+3x=12+31=4


3    L1L2f1


تابع‌ f در x=1 پیوسته نیست:


2+a4a6

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

fx=xxx01x=0

پيوستگی f رابررسی كنيد.

1   f0=1=1


مقدار تابع در نقطه x=0 موجود و متناهی است.


2    limx0f=?


L1=limx0+fx=limx0++xx=1=1


L2=limx0fx=limx0xx=1=1


3    L1=L2=f0=1


تابع‌ f در x=0 پیوسته است. 

تمرین

تابع f با ضابطه زیر مفروض است:

fx=ax+4x

به‌‌ازای چه مقدار a تابع در x=3 پيوسته است؟

1    f3=a3+43=3a+1


مقدار تابع در نقطه x=3 موجود و متناهی است.


2   limx3fx=?


L1=limx3+fx=limx3+ax+4x=a3++43+=3a+0=3a


L2=limx3fx=limx3ax+4x=a3+43=2a+1


3   L1=L2=f3


تابع‌ f در x=3 پیوسته است، بنابراین تساوی های فوق برقرار است، پس داریم:


3a+1=3a=2a+1


معادله 3a+1=3a به‌ازای هيچ مقدار a برقرار نمی‌باشد.


در نتيجه به‌‌ازای هيچ مقدار a تابع در x=3 پيوسته نمی‌باشد.

تمرین

تابع f با ضابطه زیر مفروض است:

fx=a24ax+3x+4x

به‌‌ازای چه مقدار a تابع در xR پيوسته است؟

می‌دانيم تابع f به معادله زیر در نقاط به طول صحيح حد ندارد و پـيوسته نيست اما در نقاط به طول غیر صحیح پیوسته است. 


fx=x


برای اين‌که تابع در دراین نقاط پـيوسته باشد، بايد کاری کنيم تا عامل x از مساله حذف شود.


پـس از فاکتورگيری از x، ضريب آن را مساوی صفر قرار می‌دهيم:


fx=a24ax+3x+4x


fx=xa24a+3+4x


a24a+3=0a=1a=3fx=4x


به‌ازای a=1,3 تابع fx=4x همواره در R پـيوسته است.

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

fx=1sin2π2x

اين تابع در چه نقاطی تعريف شده و آيا در اين نقاط پيوسته است؟

Df  :   sin2π2x=0


اعدادی جزء دامنه هستند كه به‌ازای آنها مخرج صفر نشود.


if   x=0sin20=0=0if   x=1sin2π2=1=1if   x=2sin2π=0=0if   x=3sin23π2=12=1=1


sin2π2x=      0      ;    x=2k       1      ;    x=2k+1fx=1   ;   x=2k+1


Df=,5,3,1,1,3,5,     ,    Rf=1


تمرین

تابع f به‌صورت زیر تعريف شده است:

fx=2x23x+1xZ0xZ

اين تابع در چه نقاطی پيوسته است؟

شرط آن‌كه تابع f پيوسته باشد آن است كه مقدار تابع با حد تابع برابر باشد.


1   fxz=0


مقدار تابع در نقاط به طول صحیح موجود و متناهی است.


2   limxazfx=limxa2x23x+1=2a23a+1


3   limxafx=fxz=0


2a23a+1=0a=1a=12

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=x22m1x+m+1x2+1

به‌ازای چه مقاديری از m تابع فوق در R پيوسته می‌باشد؟

x22m1x+m+1x2+10


x2+10x22m1x+m+10


شرط اين‌كه معادله درجه دوم، همواره مثبت باشد آن‌ است كه:


a>01>0


Δ02m1241m+10m23m00m3

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=xx   x=2kxx+k  x=2k+1

برای مقدار مشخص k تابع fx در x=n و x=-n پیوسته است. 

نشان دهید برای مقدار مشخص k تابع fx در n های فرد، پیوسته است.

حالت اول) فرض کنیم n زوج است:

x=2    ;    f2=22=22=4f2+=22+=23=5f2f2+


x=2    ;    f2=22=22=4f2+=22+=21=3f2f2+


تابع در n های زوج، پیوسته نیست.

حالت دوم) فرض کنیم n فرد است:

fx=xx   x=2kxx+k  x=2k+1


x=1    ;   f1=11+k=kf1+=11++k=kf1=11=11=2k=2


x=1    ;   f1=11+k=kf1+=11++k=kf1=11=2k=2


برای مقدار مشخص k تابع fx در n های فرد، پیوسته است.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=3x2+m1x+m4x3+m7x+a2    ;    xa2sinb3x+2    ;    x=a

اگر تابع fx در R پیوسته باشد.

مقدار b را به‌دست آورید.

تابع fx در R پیوسته است:

3x2+m1x+m40


3>0Δ0m1243m40m214m+490m720m=7


fx=3x2+71x+74x3+77x+a2    ;    xa2sinb3x+2    ;    x=a


fx=3x2+6x+3x3+a2    ;    xa2sinb3x+2    ;    x=a


fx=3x+1x3+a2    ;    xa2sinb3x+2    ;    x=a


از طرفی x=a بایستی عامل صفر کننده باشد، پس a=-1 بنابراین داریم:


fx=3x+1x3+1    ;    x12sinb3x+2    ;    x=1


 تابع fx در R پیوسته است، بنابراین مقدار تابع در x=-1 بایستی با حد تابع برابر باشد:


limx13x+1x3+1=limx13x+1x+1x2x+1=limx13x2x+1=3121+1=33


f1=2sinb31+2=2sinb3


2sinb3=33sinb=32

sinb=sinπ3b=2kπ+π3b=2kπ+ππ3b=π3

دریافت مثال

تذکر

اگر تابع چند ضابطه ای y=fx در R پیوسته باشد، بایستی علاوه بر پیوستگی ضابطه های آن در دامنه های D3,D2,D1 پیوستگی در نقاط شکست تابع برقرار باشد. 

تمرین

تابع زیر در R پیوسته است:

fx=x3+2       ;       x1ax+b       ;      1<x<15x               ;      x1

مقادیر a,b را پیدا کنید.

تابع f در R پیوسته است فقط كافی است پيوستگی را در نقاط شكست برقرار كنيم.


if  x=1      :   limx1+fx=f1=3limx1fx=a+ba+b=3


if  x=1   :   limx1fx=f1=5limx1+fx=a+ba+b=5


a+b=3a+b=5a=4b=1

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

پیوستگی در یک نقطه

25,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

  • علیرضا رحیمی
    20 بهمن 1402

    سلام
    من یکی از دبیران استان سیستان و بلوچستان هستم.
    سایت شما به دانش آموزان محروم منطقه ما خیلی اونقدر کمک کرده که با هزینه خیلی کم بتونند آینده خودشون رو بسازند.
    این اقدام شما بدون اجر نمی مونه و درود به شیر پاکی که خوردید. الهی که دست به هرچی میزنید طلا بشه.