سرفصل‌های این مبحث

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: قضیه فیثاغورس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مثلث قائم‌الزاویه $A B C$ که در آن $\hat{A} = 90^{\circ}$ است را درنظر بگیرید:

در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم می‌گویند.

اندازه ضلع مقابل به زاویه $A$ را با $B C = a$ نشان می‌دهند.
اندازه ضلع مقابل به زاویه $B$ را با $A C = b$ نشان می‌دهند.
اندازه ضلع مقابل به زاویه $C$ را با $A B = c$ نشان می‌دهند.

قضیه فیثاغورس

قضیه

در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

$\hat{A} = 90^{\circ}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

مربعی به‌ضلع $b + c$ به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

مثلث‌های زیر به‌واسطه دوضلع و زاویه بین‌شان مساویند:

$A \overset{△}{B} C = G \overset{△}{M} Q = F \overset{△}{P} Q = E \overset{△}{N} P = D \overset{△}{M} N \Rightarrow M N = N P = P Q = Q M = a$

چهارضلعی $M N P Q$ مربعی است به‌ضلع $a$ :

$S (D E F G) = {(b + c)}^{2} = b^{2} + 2 b c + c^{2}$

$S (D E F G) = 4 S (D \overset{△}{M} N) + S (M N P Q) = 4 \times \frac{b \times c}{2} + a^{2} = 2 b c + a^{2}$

$b^{2} + 2 b c + c^{2} = 2 b c + a^{2} \Rightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2}$

تمرین

در شکل های زیر مقدار $x$ را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} {(13)}^{2} = x^{2} + {(5)}^{2} \\ \Rightarrow 169 = x^{2} + 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 169 - 25 \\ \Rightarrow x^{2} = 144 \\ \Rightarrow x = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(25)}^{2} = {(7 x)}^{2} + {(24 x)}^{2} \\ \Rightarrow 625 = 49 x^{2} + 576 x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 625 = 625 x^{2} \\ \Rightarrow x^{2} = 1 \\ \Rightarrow x = 1 \end{array}$

تمرین

در مثلث قائم الزاویه شکل زیر، طول ميانه های نظير اضلاع زاويه قائم $6$ و $8$ می‌باشند.

طول وتر مثلث را حساب کنيد.

$B M = 6, C N = 8, A N = \frac{c}{2}, A M = \frac{b}{2}$

$A N^{2} + A C^{2} = C N^{2} \Rightarrow {(\frac{c}{2})}^{2} + b^{2} = 64 \Rightarrow \frac{c^{2}}{4} + b^{2} = 64$

$A M^{2} + A B^{2} = B M^{2} \Rightarrow {(\frac{b}{2})}^{2} + c^{2} = 36 \Rightarrow \frac{b^{2}}{4} + c^{2} = 36$

$\begin{array}{l} (\frac{c^{2}}{4} + b^{2}) + (\frac{b^{2}}{4} + c^{2}) = 100 \\ \Rightarrow \frac{b^{2} + c^{2}}{4} + (b^{2} + c^{2}) = 100 \\ \Rightarrow \frac{a^{2}}{4} + a^{2} = 100 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{5 a^{2}}{4} = 100 \\ \Rightarrow a^{2} = 80 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = \sqrt{80} \\ \Rightarrow a = 4 \sqrt{5} \end{array}$

تمرین

ثابت کنید اعداد زیر، اعداد فیثاغورسی هستند.

$3 k, 4 k, 5 k; (k \in N)$

$\begin{array}{l} {(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = 9 k^{2} + 16 k^{2} \\ \Rightarrow {(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = 25 k^{2} \\ \Rightarrow {(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = {(5 k)}^{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

عکس قضیه فیثاغورس

قضیه

اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\hat{A} = 90^{\circ}$

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که ضلع‌های زاویه قائم آن برابر $b$ و $c$ باشد، رسم می‌کنیم و نشان می‌دهیم آن مثلث با مثلث $A B C$ مساوی است.

$\begin{array}{l} A^{'} {B^{'}}^{2} + A^{'} {C^{'}}^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \Rightarrow c^{2} + b^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \end{array}$

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow c^{2} + b^{2} = B C^{2}$

$B C^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \Rightarrow B C = B^{'} C^{'}$

$\{\begin{cases} A B = A^{'} B^{'} \\ A C = A^{'} C^{'} \\ B C = B^{'} C^{'} \end{cases}$

دو مثلث‌ زیر به‌واسطه سه‌ضلع بین‌شان مساویند:

$A \overset{△}{B} C = A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'} \Rightarrow \hat{A} = {\hat{A}}^{'} = 90^{\circ}$

اعداد فیثاغورس

اگر سه‌عدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دو‌تای دیگر مساوی باشد، به‌عبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی می‌نامند.

به‌عنوان نمونه $5, 4, 3$ اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$

تمرین

اگر $a, b, c$ اعداد فيثاغورسی باشند، ثابت کنيد اعداد زیر، نيز اعداد فيثاغورسی هستند.

$m a, m b, m c$

فرض آن‌ است که:

$b^{2} + c^{2} = a^{2}$

می‌خواهیم ثابت کنیم:

${(m b)}^{2} + {(m c)}^{2} = {(m a)}^{2}$

$\begin{array}{l} {(m b)}^{2} + {(m c)}^{2} \\ = m^{2} b^{2} + m^{2} c^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = m^{2} (b^{2} + c^{2}) \\ = m^{2} a^{2} \\ = {(m a)}^{2} \end{array}$

نکته

اگر $m > n$ دو عدد طبیعی باشند، سه تایی زیر، اضلاع یک مثلم قائم الزاویه هستند:

$(2 m n, m^{2} - n^{2}, m^{2} + n^{2})$

سه تایی فوق در رابطه فیثاغورث صدق می‌کند و $m^{2} + n^{2}$ وتر آنها است.

به‌عنوان نمونه داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} m = 2 \\ n = 1 \end{cases}〉 (4, 3, 5) \end{array}$

$\{\begin{cases} m = 4 \\ n = 1 \end{cases}〉 (8, 15, 17)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

فاصله دو نقطه

قضیه

اگر $A = [\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} x_{2} \\ y_{2} \end{array}]$ دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه $A B$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

اثبات

$\begin{array}{l} M B = C D = O D - O C = x_{2} - x_{1} \end{array}$

$M A = E F = O F - O E = y_{1} - y_{2}$

$\begin{array}{l} A B^{2} = M B^{2} + M A^{2} \end{array}$

$\Rightarrow A B^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \end{array}$

$\Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{array}{l} 1 \\ - 7 \end{array}], B = [\begin{array}{l} - 11 \\ - 2 \end{array}]$

طول پاره خط $A B$ را به‌دست آوريد؟

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{{[1 - (- 11)]}^{2} + {[- 7 - (- 2)]}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = \sqrt{12^{2} + {(- 5)}^{2}} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{144 + 25} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = \sqrt{169} \\ \Rightarrow A B = 13 \end{array}$

تمرین

نقاط زیر سه رئوس يک مثلث می‌باشند.

$A = [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}], B = [\begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array}], C = [\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}]$

ثابت کنيد مثلث $A B C$ قائم الزاويه است.

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{{[2 - (- 1)]}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \end{array}$

$B C = \sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{20})}^{2} = {(\sqrt{10})}^{2} + {(\sqrt{10})}^{2} \\ \Rightarrow B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \\ \Rightarrow \hat{A} = 90^{\circ} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.

2- در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

3- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $30^{\circ}$ نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

4- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $45^{\circ}$ با $\frac{\sqrt{2}}{2}$ وتر مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائم‌الزاویه $45^{\circ}$ باشد، زاویه حاده دیگر نیز $45^{\circ}$ می‌شود، بنابراین مثلث قائم‌الزاویه به مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین تبدیل می‌شود:

$\begin{array}{l} A B = A C = x \end{array}$

$x^{2} + x^{2} = a^{2}$

$\Rightarrow 2 x^{2} = a^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{2} x = a$

$\Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}} a$

$\Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2} a$

5- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $60^{\circ}$ با $\frac{\sqrt{3}}{2}$ وتر مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$x^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2}$

$\Rightarrow x^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow x^{2} = \frac{3 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

6- سه‌عدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده می‌شوند.

7- قطر مربعی به‌ضلع $a$ برابر است با $a \sqrt{2}$ .

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$x^{2} = a^{2} + a^{2} \Rightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2} a$

8- قطر مستطیلی به ابعاد $a$ و $b$ برابر است با:

$d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

9- شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم‌الزاویه نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

10- شعاع دایره محاطی مثلث قائم‌الزاویه $A B C$ برابر است با:

$\frac{b c}{a + b + c}$

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

11- در مثلث قائم‌الزاویه به وتر $a$ و به‌اضلاع زاویه قائمه $b$ و $c$ داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$S = (P - b) (P - c) = P (P - a); P = \frac{a + b + c}{2}$

12- مجموع مساحت‌های هلالین با مساحت مثلث قائم‌الزاویه مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

13- در شکل‌های زیر داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$S_{1} = S_{2} + S_{3}$

14- اگر $b$ و $c$ اضلاع مجاور به زاویه قائمه و $h$ ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم‌الزاویه باشد، آن‌گاه:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

تمرین

قطر مستطیلی $7.5$ و عرض آن $4.5$ است.

طول مستطیل چقدر است؟

$\begin{array}{l} x^{2} + {(4.5)}^{2} = {(7.5)}^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + 20.5 = 56.25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 56.25 - 20.25 \\ \Rightarrow x^{2} = 36 \\ \Rightarrow x = 6 \end{array}$

تمرین

در ذوزنقه قائم الزاويه ای يکی از زاويه ها $135^{\circ}$ و قاعده کوچک و ساق قائم آن به‌ترتيب $10$ و $8$ سانتی متر است.

ساق مايل و قاعده بزرگ را حساب کنيد.

ارتفاع $B H$ را رسم می‌کنيم، چهارضلعی $A B H D$ مستطيل است.

$\begin{array}{l} A \hat{B} H = 90^{\circ} \Rightarrow H \hat{B} C = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ} \Rightarrow \hat{C} = 45^{\circ} \Rightarrow B H = H C = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} = 8^{2} + 8^{2} = 64 + 64 = 128 \Rightarrow x = \sqrt{128} \Rightarrow x = 8 \sqrt{2} \end{array}$

$D C = D H + H C = 10 + 8 = 18$

تمرین

اضلاع مثلثی $4, 6, 8$ می‌باشد.

مساحت مثلث را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} h^{2} = 4^{2} - x^{2} \\ h^{2} = 6^{2} - {(8 - x)}^{2} \end{cases}〉 16 - x^{2} = 36 - {(8 - x)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} 16 - x^{2} = 36 - {(8 - x)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 16 - x^{2} = 36 - [{(8)}^{2} - 2 (8) (x) + {(x)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 16 - x^{2} = 36 - 64 - x^{2} + 16 x \\ \Rightarrow - 16 x = - 44 \\ \Rightarrow x = \frac{11}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} h^{2} = 16 - x^{2} = 16 - {(\frac{11}{4})}^{2} = 16 - \frac{121}{16} = \frac{135}{16} \Rightarrow h^{2} = \frac{135}{16} \Rightarrow h = \frac{3 \sqrt{15}}{4} \end{array}$

$S = \frac{1}{2} (B C \times h) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{15}}{4} \times 8) = 3 \sqrt{15}$

تمرین

خط راستی دو دايره هم مرکز را قطع کرده و روی آنها وترهايی به طول $10$ و $26$ سانتی متر ايجاد کرده است.

مساحت حلقه بين دو دايره چقدر است؟

$\begin{array}{l} O B^{2} = O H^{2} + H B^{2} \Rightarrow R^{2} = O H^{2} + {(\frac{26}{2})}^{2} \Rightarrow R^{2} = O H^{2} + 13^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} O D^{2} = O H^{2} + H D^{2} \Rightarrow r^{2} = O H^{2} + {(\frac{10}{2})}^{2} \Rightarrow r^{2} = O H^{2} + 5^{2} \end{array}$

$R^{2} - r^{2} = 169 - 25 = 144$

مساحت حلقه:

$π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) = 144 π$

تمرین

مثلث متساوی الاضلاع با طول $6 \sqrt{3}$ سانتی متر مفروض است.

شعاع دايره محيطی مثلث را محاسبه کنید.

مرکز دايره محيطی محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث می‌باشد.

در مثلث متساوی الاضلاع عمود منصف های هر ضلع نيمساز زاويه مقابل آن نيز هست.

$\begin{array}{l} \hat{B} = 60^{\circ} \Rightarrow O \hat{B} H = 30^{\circ} \Rightarrow O H = \frac{O B}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} O B^{2} = O H^{2} + B H^{2} \\ \Rightarrow O B^{2} = {(\frac{O B}{2})}^{2} + {(\frac{6 \sqrt{3}}{2})}^{2} \\ \Rightarrow O B^{2} = {(\frac{O B}{2})}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O B^{2} - \frac{O B^{2}}{4} = 27 \\ \Rightarrow \frac{3}{4} O B^{2} = 27 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O B^{2} = 36 \\ \Rightarrow O B = 6 \end{array}$

تمرین

ضلع مثلث متساوی الاضلاع در شکل زیر $10$ سانتی متر است.

ارتفاع مثلث را به‌دست آوريد؟

در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع نظير يک ضلع ، ميانه آن ضلع هم هست.

$\begin{array}{l} A C^{2} = H C^{2} + A H^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = A C^{2} - H C^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = {(10)}^{2} - {(5)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H^{2} = 100 - 25 \\ \Rightarrow A H^{2} = 75 \\ \Rightarrow A H = \sqrt{75} \\ \Rightarrow A H = 5 \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

در مثلث متساوی الساقين زیر، ارتفاع $B H$ را رسم می‌کنيم.

ثابت کنيد مجموع مربعات سه ضلع مثلث مساوی است با:

$C H^{2} + 2 A H^{2} + 3 B H^{2}$

$A B = A C$

$\{\begin{cases} B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} \\ A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} \\ A C^{2} = A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} \end{cases}$

طرفين تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنيم:

$\begin{array}{l} B C^{2} + A B^{2} + A C^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (B H^{2} + H C^{2}) + (B H^{2} + A H^{2}) + (B H^{2} + A H^{2}) \end{array}$

$= 3 B H^{2} + 2 A H^{2} + C H^{2}$

تمرین

در شکل زیر، طول ضلع مربع $a$ است.

مطلوب است طول قطر مربعی که ضلع آن مساوی قطر مربع اول باشد.

$x^{2} = a^{2} + a^{2} \Rightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2} a$

اگر قطر مربع بزرگ را $y$ فرض کنيم، خواهيم داشت:

$\begin{array}{l} y^{2} = {(\sqrt{2} a)}^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2} \\ \Rightarrow y^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} = 4 a^{2} \\ \Rightarrow y = 2 a \end{array}$

تمرین

ذوزنقه متساوی الساقين $A B C D$ را در نظر بگیرید که در آن داشته باشیم:

$A B = 50$

مطلوب است محاسبه ارتفاع و اقطار ذوزنقه متساوی الساقين.

$\begin{array}{l} B F = \frac{50 - 14}{2} = 18 \end{array}$

$\begin{array}{l} C F^{2} = B C^{2} - B F^{2} = {(30)}^{2} - {(18)}^{2} = 900 - 324 = 576 \Rightarrow C F = 24 \end{array}$

$A C^{2} = A F^{2} + C F^{2} = {(14 + 18)}^{2} + {(24)}^{2} = 1024 + 576 = 1600 \Rightarrow A C = 40$

تمرین

در شکل زیر $O \hat{A} C = 30^{\circ}$ و شعاع دايره $10$ سانتی متر است.

طول پاره خط $A E$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} O B = A C = 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} O \hat{A} C = 30^{\circ} \Rightarrow O C = \frac{A C}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} O A^{2} = A C^{2} - O C^{2} = {(10)}^{2} - {(5)}^{2} = 100 - 25 \Rightarrow O A^{2} = 75 \Rightarrow O A = 5 \sqrt{3} \end{array}$

$A E = O E - O A = 10 - 5 \sqrt{3} = 5 (2 - \sqrt{3})$

تمرین

در شکل زیر، مثلث $A B C$ قائم الزاويه و $M$ وسط $A C$ است.

از نقطه $M$ پاره خطی بر وتر $B C$ عمود می‌کنيم تا آن را در $H$ قطع کند. ثابت کنيد:

$A B^{2} = B H^{2} - H C^{2}$

$A M = M C$

از $M$ به $B$ وصل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} A B^{2} = B M^{2} - A M^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = B M^{2} - M C^{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = (B H^{2} + M H^{2}) - (M H^{2} + H C^{2}) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = B H^{2} + M H^{2} - M H^{2} - H C^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = B H^{2} - H C^{2} \end{array}$

تمرین

در نيم‌دايره زیر داریم:

${\hat{O}}_{1} = 60^{\circ}, {\hat{O}}_{2} = 90^{\circ}$

اگر شعاع نيم‌ دايره $10$ سانتی‌متر باشد، محيط چهار ضلعی را حساب کنيد.

$\{\begin{cases} {\hat{O}}_{1} = 60^{\circ} \\ O A = O D \end{cases}〉 \hat{A} = {\hat{D}}_{1} = 60^{\circ}, A D = 10$

$\begin{array}{l} D C^{2} = O D^{2} + O C^{2} \\ \Rightarrow D C^{2} = {(10)}^{2} + {(10)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D C^{2} = 100 + 100 \\ \Rightarrow D C^{2} = 200 \\ \Rightarrow D C = 10 \sqrt{2} \end{array}$

برای محاسبه $B C$ عمود $C H$ را رسم می‌کنيم:

${\hat{O}}_{3} = 30^{\circ} \Rightarrow C H = \frac{O C}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$\begin{array}{l} O H^{2} = O C^{2} - C H^{2} \\ \Rightarrow O H^{2} = {(10)}^{2} - {(5)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O H^{2} = 100 - 25 \\ \Rightarrow O H^{2} = 75 \\ \Rightarrow O H = 5 \sqrt{3} \end{array}$

$H B = O B - O H = 10 - 5 \sqrt{3}$

$\begin{array}{l} B C^{2} = C H^{2} + H B^{2} \\ \Rightarrow B C^{2} = 5^{2} + {(10 - 5 \sqrt{3})}^{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 25 + 100 + 75 - 100 \sqrt{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 200 - 100 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C = \sqrt{200 - 100 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow B C = 10 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \end{array}$

محيط چهار ضلعی:

$\begin{array}{l} P = A B + B C + C D + D A \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = 20 + 10 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 10 \sqrt{2} + 10 \end{array}$

$\Rightarrow P = 30 + 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اضلاع و سهم مربع محاط در يک دايره را بر حسب شعاع دايره حساب کنيد.

$\begin{array}{l} A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = R^{2} + R^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = 2 R^{2} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{2} R \end{array}$

مثلث $O A B$ قائم الزاويه متساوی الساقين است و ارتفاع $O H$ ميانه وتر هم هست، لذا:

$O H = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{2} R}{2}$

در یک شش ضلعی منتظم که محاط در يک دايره است، سهم را بر حسب شعاع دايره حساب کنيد.

اندازه هر ضلع يک شش ضلعی منتظم محاطی با شعاع دايره مساوی است، زيرا:

$\{\begin{cases} A \hat{O} F = \overset{⏜}{A F} = 60^{\circ} \\ O A = O F \end{cases}$

$\begin{matrix} {\hat{A}}_{1} = {\hat{F}}_{1} = 60^{\circ} \Rightarrow A F = O A = O F = R \end{matrix}$

$\begin{array}{l} O H^{2} = O A^{2} - A H^{2} \\ \Rightarrow O H^{2} = R^{2} - {(\frac{R}{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O H^{2} = R^{2} - \frac{R^{2}}{4} \\ \Rightarrow O H^{2} = \frac{3}{4} R^{2} \\ \Rightarrow O H = \frac{\sqrt{3}}{2} R \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

مساحت شکل $A B C$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} {\hat{A}}_{1} = 60^{\circ} \Rightarrow {\hat{B}}_{1} = 30^{\circ} \Rightarrow A H = \frac{8}{2} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} \\ \Rightarrow B H^{2} = {(8)}^{2} - {(4)}^{2} \\ \Rightarrow B H^{2} = 64 - 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H^{2} = 48 \\ \Rightarrow B H = \sqrt{48} \\ \Rightarrow B H = 4 \sqrt{3} \end{array}$

$S_{A \overset{△}{B} C} = \frac{4 \sqrt{3} \times 12}{2} = 24 \sqrt{3}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق مساحت مربع بزرگ چند برابر مساحت مربع کوچک است؟

ضلع مربع بزرگ را $a$ فرض می‌کنيم، مساحت آن برابر $a^{2}$ است.

$\begin{array}{l} x^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = \frac{a^{2}}{2} \\ \Rightarrow x = \frac{a}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2} a \end{array}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ضلع مربع متوسط است.

$\begin{array}{l} y^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2} \\ \Rightarrow y^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{4} a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4} a)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{8} a^{2} + \frac{1}{8} a^{2} \\ \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{4} a^{2} \end{array}$

ملاحظه می‌شود که مساحت مربع بزرگ چهار برابر مساحت مربع کوچک است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضایا و روابط طولی در مثلث قائم‌ الزاویه

فرض کنید مثلث $A B C$ مانند شکل زیر یک مثلث قائم‌الزاویه و $A H$ ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:

برخی روابط طولی در مثلث فوق به‌صورت زیر است:

قضیه

$A C^{2} = B C \times H C$

اثبات

نشان می‌دهیم که دومثلث $A B C$ و $A H C$ متشابه هستند:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{A} = \hat{H} = 90^{\circ} \\ \hat{C} = \hat{C} \end{cases}〉 A \overset{Δ}{B} C ~ \overset{Δ}{A H} C \end{array}$

$A \overset{Δ}{B} C ~ \overset{Δ}{A H} C \Rightarrow \frac{A H}{A B} = \frac{A C}{B C} = \frac{H C}{A C} \Rightarrow A C^{2} = B C \times H C$

قضیه

$A B^{2} = B C \times H B$

اثبات

نشان می‌دهیم که دو مثلث $A H B$ و $A B C$ متشابه هستند:

$\{\begin{cases} \hat{A} = \hat{H} = 90^{\circ} \\ \hat{B} = \hat{B} \end{cases}〉 A \overset{Δ}{B} C ~ A \overset{Δ}{H B}$

$A \overset{Δ}{B} C ~ H \overset{Δ}{B} A \Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{A B}{B C} = \frac{H B}{A B} \Rightarrow A B^{2} = B C \times H B$

قضیه

$A H^{2} = H B \times H C$

اثبات

$A \overset{Δ}{H} B ~ \overset{Δ}{A H} C \Rightarrow \frac{A H}{H B} = \frac{A C}{A B} = \frac{H C}{A H} \Rightarrow A H^{2} = H B \times H C$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

اگر نقاط برخورد نمودار سهمی فوق با محورهای مختصات، رئوس یک مثلث قائم الزاویه باشند، آن‌گاه:

$f (c)$ چند برابر $c$ است؟

اگر $α, β > 0$ ریشه های سهمی فوق باشند، با توجه به شرایط مساله، شکل فرضی زیر را در نظر می‌گیریم:

طبق روابط طولی در مثلث قائم الزاویه داریم:

$\begin{array}{l} c^{2} = (- α) β \\ \Rightarrow c^{2} = - \frac{c}{a} \\ \Rightarrow a c = - 1 \end{array}$

$\frac{f (c)}{c} = \frac{a c^{2} + b c + c}{c} = a c + b + 1 = (- 1) + b + 1 = b$

قضیه

$A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$

اثبات

$A C^{2} + A B^{2} = (B C \times H C) + (B C \times H B) = B C (H C + H B) = B C \times B C = B C^{2}$

قضیه

$A B \times A C = A H \times B C$

اثبات

$\{\begin{cases} S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \times A C \\ S_{A B C} = \frac{1}{2} A H \times B C \end{cases}$

$A B \times A C = A H \times B C$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را به‌دست آورید:

$\{\begin{cases} d = 7 \\ h = 5 \\ e = ? \end{cases}$

$A H^{2} = H C \times H B \Rightarrow h^{2} = e \times d \Rightarrow 5^{2} = e \times 7 \Rightarrow e = \frac{25}{7}$

$\{\begin{cases} d = 5 \\ e = 3 \\ b = ? \\ c = ? \end{cases}$

$\begin{array}{l} A C^{2} = H C \times B C \Rightarrow b^{2} = e \times (d + e) \Rightarrow b^{2} = 3 (8) \Rightarrow b^{2} = 24 \Rightarrow b = \sqrt{24} \end{array}$

$A B^{2} = H B \times B C \Rightarrow c^{2} = d (d + e) \Rightarrow c^{2} = 5 (8) \Rightarrow c^{2} = 40 \Rightarrow c = \sqrt{40}$

$\{\begin{cases} c = 8 \\ b = 6 \\ h = ? \end{cases}$

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 \Rightarrow B C = 10 \end{array}$

$A B \times A C = A H \times B C \Rightarrow 8 \times 6 = h \times 10 \Rightarrow h = \frac{8 \times 6}{10} \Rightarrow h = 4_{/} 8$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر از نقطه $A$ عمودی بر قطر $B D$ رسم کنیم و پای این عمود را $H$ بنامیم، $B H = 11$ است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.

در مثلث $A B H$ با استفاده از فیثاغورس داریم:

$\begin{array}{l} A B^{2} = A H^{2} + H B^{2} \\ \Rightarrow 12^{2} = A H^{2} + 11^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H^{2} = 144 - 121 \\ \Rightarrow A H^{2} = 23 \\ \Rightarrow A H = \sqrt{23} \end{array}$

برای محاسبه‌ قطر می‌نویسم:

$A B^{2} = B H \times B D \Rightarrow 12^{2} = 11 \times B D \Rightarrow B D = \frac{144}{11}$

$\begin{array}{l} B D = D H + H B \Rightarrow \frac{144}{11} = D H + 11 \Rightarrow D H = \frac{144}{11} - 11 \Rightarrow D H = \frac{23}{11} \end{array}$

$A D^{2} = D H \times B D = \frac{23}{11} \times \frac{144}{11} \Rightarrow A D = \frac{12}{11} \sqrt{23}$

خرید پاسخ‌ها

بیان قضیه فیثاغور

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورس

عکس قضیه فیثاغورس

اعداد فیثاغورس

فاصله دو نقطه

قضایا و روابط طولی در مثلث قائم‌ الزاویه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟