قضیه تقسیم

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:

مقدمه

نظریه اعداد شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه اعداد صحیح Z و در حالت خاص، اعداد طبیعی N در هم نهشتی ها، کاربردهای بسیاری در دانش کامپیوتر، از جمله حساب با اعداد صحیح بزرگ، رمز نگاری فایل حافظه کامپیوتری و ایجاد اعداد تصادفی دارد.

وقتی با اعداد صحیح سروکار داریم، نمی‌توانیم نسبت به الگوها و خواص بسیاری که این اعداد از خودشان نشان می‌دهند، بی‌تفاوت باشیم.

مجموعه اعداد صحیح Z به‌صورت زیر، معرفی می‌شود:

Z=  ,  3  ,  2  ,  1  ,  0  ,  1  ,  2  ,  

مجموعه اعداد طبیعی N به‌صورت زیر، معرفی می‌شود: 

N=1  ,  2  ,  3  ,  ...

هم‌چنین هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از 1 مانند P که هیچ مقسم علیه مثبتی جز P و 1 نداشته باشد عدد اول نامیده می‌شود و مجموعه اعداد اول را با P نمایش می‌دهیم:

P=2  ,  3  ,  5  ,  7  ,  11  ,  13  ,  ...

یادآوری

اگر SZ ناتهی و از پایین (بالا) کراندار باشد، آن‌گاه S عضو ابتدا (عضو انتها) دارد. اصل استقرای ریاضی معادل خوش ترتیب بودن Z است.

الگوریتم تقسیم

قضیه

فرض کنید a و b دو عدد صحیحی باشند به‌طوری‌که b0 در این‌صورت اعداد صحیح منحصر به‌فردی مانند q و r می‌توان یافت به‌طوری‌که داشته باشیم:

     a     b  q         ¯ra=bq+r    ;    0r<b

a را مقسم می‌نامیم.

b را مقسم علیه می‌نامیم.

q را خارج قسمت می‌نامیم.

r را باقیمانده می‌نامیم.

اثبات

حالت اول- اگر b>0 باشد.

مجموعه زیر را در نظر می‌گیریم:

S=axb  xz  ,  axb0

این مجموعه ناتهی است زیرا کافی است قرار دهیم x=a، بنابراین خواهیم داشت: 

axb=aab

aab=a+ab    ;    a+aba+a

aab0

بنابراین S زیرمجموعه ناتهی از اعداد طبیعی است و بنابر اصل خوش ترتیبی دارای عضو ابتدایی است که آن را r می‌نامیم.

چون rS می‌باشد، پس عدد صحیحی مانند q وجود دارد به‌طوری‌که: 

r=abq    ;    r0

حال ادعا می‌کنیم که r<b است زیرا در غیر این‌صورت طبق برهان خلف بایستی rb باشد:

rbrb0    ;    r=abq

rb=abqb0rb=abq+10rbS

با توجه به‌فرض که rb اما r-b>r یعنی rbS که یک تناقض است، بنابراین:    

0r<b

حال نشان می‌دهیم q و r منحصر به فرد است، برای این کار فرض کنیم a به دو صورت زیر نوشته شود: 

a=bq+ra=bq'+r'

طرفین سمت راست دو تساوی فوق با هم برابر هستند:

bq+r=bq'+r'

r'r=bqbq'

r'r=bqq'

r'r=bqq'

0r'<b0r<b

r'r<b

bqq'<b

qq'<1

qq'=0


حالت دوم- اگر b<0 باشد.

در این حالت b=b>0 لذا به‌حالت اول بر می‌گردیم.

تمرین

بر اساس الگوریتم تقسیم اعداد زیر را بر هم تقسیم کنید:

25÷7

      25  73    4¯25=73+4    ;    04<7

-25÷7

      25  73    4¯25=73+4  


در تقسیم فوق نمی‌توانیم -4 را به‌عنوان باقیمانده معرفی کنیم زیرا طبق قضیه تقسیم باقیمانده باید نامنفی و کوچک‌تر از مقسوم علیه باشد.


در این‌صورت با اضافه و کم کردن مضارب مثبتی از مقسوم علیه، شرایط قضیه تقسیم را برقرار می‌کنیم:

25=73425=7347+725=737+3

25=731+3    ;    q=31

25=7q+3


در تساوی جدید باقیمانده را به‌صورت r=3 معرفی می‌کنیم.

تمرین

اگر باقیمانده تقسیم اعداد m و n بر 17 به‌ترتیب 5 و 3 باشد، باقیمانده تقسیم عدد زیر را بر 17 را به‌دست آورید. 

(2m-5n)

m=17q1+52m=217q1+52m=2×17q1+10


n=17q2+35n=517q2+35n=5×17q2+15


2m5n=2×17q1+105×17q2+15


2m5n=172q15q25


2m5n=172q15q2517+17


2m5n=172q15q21+12


2m5n=17q+12r=12

تمرین

بزرگ‌ترين عدد طبيعی a را بيابيد كه چون بر 11 تقسيم كنيم، باقيمانده تقسيم، نصف خارج قسمت شود.

       a  11q           r=q2¯a=11q+r=11q+q2     ;     0r<11


a=11q+q2       ;     0r<b0r<bq2<11q<22


maxq=21a=11×21+212N


maxq=20a=11×20+202=230N

بزرگ‌ترين عدد طبيعی را بيابيد، به‌طوری كه باقيمانده تقسيم آن عدد بر 167، دو برابر مكعب خارج قسمت باشد.

اگر عدد مورد نظر را a بناميم، طبق داده های مساله و قضيه تقسيم داريم:


a=167q+r=167q+2q3    ;    0r<167


0r<167    ;    r=2q302q3<1670q3<83.5


0q3830q4


r=2q3  :


q=0r=0a=0


q=1r=2a=167×1+2=169


q=2r=16a=167×2+16=350


q=3r=54a=167×3+54=555


q=4r=128a=167×4+128=796


max a=796

تمرین

خارج قسمت و باقیمانده را در الگوریتم تقسیم برای هریک از اعداد زیر، وقتی که بر 17 تقسیم شوند به‌دست آورید؟

a=100

a=bq+r100=17q+r100=175+15q=5r=15

a=44

a=bq+r44=17q+r44=173+7q=3r=7

تمرین

عدد زوج a را بر 23  تقسیم می‌کنیم، باقیمانده 17 می‌شود.

باقیمانده a2 تقسیم 23 بر را  بیابید.

a=23q+17    ;    a=2k23q=2k+1


با توجه به مفهوم فوق، 23q همواره فرد است، زیر مجموع دو عدد فرد همواره زوج است:


a=232k+1+17a=46k+23+17a=46k+40


a2=46k2+402a2=23k+20r=20

تمرین

در صورتی‌که a عددی صحیح زوج بوده و باقی مانده تقسیم آن بر 23 برابر 13 باشد.

ثابت کنید باقیمانده تقسیم عدد a2 بر 23 برابر 18 می‌باشد؟

a=23q+13    ;    a=2k23q=2k+1


با توجه به مفهوم فوق، 23q همواره فرد است، زیر مجموع دو عدد فرد همواره زوج است:


a=232k+1+13a=232k+23+13a=223k+36


a2=223k2+362a2=23k+18r=18

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم 14 برابر باقی مانده است و باقی مانده حداکثر مقدار خود را دارا می‌باشد.

اجزای این تقسیم را به‌دست آورید.

a=14rmax(r)=b1    ;    0r<b


a=bq+r14r=bq+b114b1=bq+b1


13bbq=1313q×b=1×13       I


با توجه به رابطه I و این که 13 عددی اول بوده و تجزیه آن منحصر به‌فرد می‌باشد، داریم:


یکی از دو عامل سمت چپ باید مساوی با 1 و دیگری باید 13 باشد:


13q×b=1×13


ΙΙ13q=13q=0q=0a=bq+ra=rb=1


ΙΙΙ13q=1q=12b=13

r=b1r=131r=12a=14ra=14×12a=168


در حالت ΙΙ با تساوی a=r می‌رسیم که با تساوی a=14r در تناقض است.

تمرین

در یک تقسیم اگر 48 واحد از مقسوم کم کنیم، 2 واحد از خارج قسمت کم شده و به باقی مانده 10 واحد اضافه شود.

مقسوم علیه در این تقسیم چه عدد است؟

a=bq+ra48=bq2+r+10


a48=bq+r+102b    ;    a=bq+r


a48=a+102b58=2bb=29

تمرین

اگر خارج قسمت های دو عدد a,b بر عدد طبیعی c برابر باشد و باقی مانده ها یکی نباشد:

ثابت کنید a-b همواره از c کم تر است.

a=bq+r


Ι  :  a=cq+r1    ;    0r1<c


ΙΙ  :  b=cq+r2    ;    0r2<c


اگر فرض کنیم r2<r1  در این‌صورت داریم:


ΙΙΙ:


ab=cq+r1cq+r2


ab=r1r2    ;    r2<r10<r1r2<c


ab<c

تمرین

باقی مانده تقسیم a,b بر 23 به‌ترتیب 19,18 می‌باشد.

باقی مانده تقسیم a-2b بر 23 را بیابید.

a=23q1+18

b=23q2+19


2b=223q2+192b=2×23q2+2×192b=46q2+38



a2b=23q1+1846q2+38

=23q12q220    ;    q12q2=q

=23q20


=23q23+3=23q1+3    ;    q1=q'=23q'+3

if  a2b=23q'+3r=3

تمرین

باقی مانده تقسیم b,a بر 27 به‌ترتیب 13,12 می‌باشد.

باقی مانده تقسیم 2a-3b بر 27 را بیابید.

a=27q1+122a=227q1+12=2×27q1+24


b=27q2+133b=327q2+13=3×27q2+39



2a3b

=2×27q1+243×27q2+39

=272q13q215    ;    2q13q2=q

=27q15


=27q27+12=27q1+12    ;    q1=q'=27q'+12

if   2a3b=27q'+12r=12

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم علیه 37 و باقی مانده 12 می‌باشد.

اگر به مقسوم 179 واحد اضافه کنیم، باقی مانده چه تغییری می‌کند؟

a=bq+ra=37q+12

179+a=37q+12+179


179+a=37q+191179+a=37q+185+6


179+a=37q+185+6

179+a=37q+5+6    ;    q+5=q'

179+a=37q'+6


باقی مانده  جدید 6  واحد کم شده است.

تمرین

اگر عدد زوج a بر 21 تقسیم شود، باقی مانده برابر 13 خواهد شد.

باقی مانده تقسیم a2 بر 21 را بیابید.

a=bq+r


a زوج است و داریم:


a=21q+13


پس باید q فرد باشد تا سمت چپ تساوی زوج شود:


a=21q+13a=212k+1+13a=42k+34


a2=42k2+342a2=21k+17r=17

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم 900 واحد بیش از مقسوم علیه و باقی مانده 87 می‌باشد.

خارج قسمت را بیابید.

a=bq+r    ;    a=b+900r=87b+900=bq+87


813=bq1271×3=bq1b=271q1=3q=4

تمرین

باقی مانده تقسیم عدد طبیعی a بر 29، برابر 12 است ، اگر a+17 مضرب 21 باشد:

رقم وسط کوچک ترین عدد a را بیابید.

a=bq+ra=29q+12    ;    a+17=21q'a=21q'1721q'17=29q+12


21q'=29q+2921q'=29q+12129=q+1q'


چون حداقل مقدار را برای a باید محاسبه کنیم پس داریم:


q+1=21q'=29


a+17=21q'a+17=21×29


a=21×2917a=60917a=592

تمرین

در یک تقسیم، 4 واحد به مقسوم علیه و 52 واحد به مقسوم اضافه کردیم و باقی مانده و خارج قسمت تغییر نکرده‌اند.

خارج قسمت را بیابید.

a=bq+ra+52=b+4q+ra+52=bq+4q+r


a+52=bq+r+4q    ;    bq+r=a


a+52=a+4q52=4qq=13

تمرین

در یک تقسیم، 4 واحد به مقسوم علیه و 52 واحد به مقسوم اضافه کرده‌ایم و باقی مانده و خارج قسمت تغییر نکرده‌اند.

خارج قسمت را بیابید.

a=bq+ra+52=b+4q+ra+52=bq+4q+r


a+52=bq+r+4q    ;    bq+r=a


a+52=a+4q52=4qq=13

تمرین

اگر باقی مانده تقسیم عددی بر 5,3 به‌ترتیب 3,2 باشد.

باقی مانده تقسیم این عدد بر 15 را بیابید.

a=bq+r


a=3q+210a=30q+20


a=5q'+39a=45q'+27


توجه شود که دو طرف تساوی های را باید در اعدادی ضرب کنیم که در تفاضل آنها:


اولا) عدد a حاصل شود 


ثانیا) در طرف دیگر، مضربی از 15 ظاهر شود.


10a9a=30q+2045q'+27


a=152q3q'7    ;    2q3q'=k


a=15k7a=15k15+8

a=15k1+8    ;    k1=k'

a=15k'+8r=8

تمرین

اگر a,b دو عدد طبیعی بوده و داشته باشیم:

a4=b4+65

مقدار a را به‌دست آورید.

a4=b4+65a4b4=65

a2b2a2+b2=5×13


a2b2=5a2+b2=13a=3b=2

تمرین

عدد فرد a را بر 22 تقسیم می‌کنیم ، باقی مانده برابر 17 می‌باشد.

اگر a+12 را بر 22 تقسیم کنیم، باقی مانده را بیابید؟

a=bq+ra=22q+17


چون a عدد فرد می‌باشد لذا q هم می‌تواند فرد و هم می‌تواند زوج باشد، پس داریم:


Ι    q=2ka=22×2k+17a+1=44k+17+1


a+1=44k+18a+12=22k+9r=9



ΙΙ  q=2k+1a=22×2k+1+17a+1=44k+39+1


a+1=44k+40a+12=22k+20r=20

تمرین

بزرگ ترین عدد طبیعی a را بیابید که چون بر 92 تقسیم کنیم، باقیمانده تقسیم 3 برابر مجذور خارج قسمت شود.

a=bq+ra=92q+3q2


0r<b:03q2<92q2<923


q2<30.6¯q<5.53maxq=5


a=92q+3q2maxa=92×5+3×25=535

کوچک ترین عدد طبیعی a را بیابید که چون بر 7,5 تقسیم کنیم، باقی مانده ها به‌ترتیب 4,2 شود.

a=bq+ra=5q+2a=7q'+4


a+3=5q+5=5q+1=5k1a+3=7q'+7=7q'+1=7k2


a+3=5,7k


5,7 کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد مفروض است.


a+3=35ka=35k3 ; k=1


mina=3513mina=32

کوچک ترین عدد چهار رقمی را بیابید چون بر 19,18,8 تقسیم کنیم باقی مانده آن برابر 3 شود.

a=bq+ra=8q1+3a=18q2+3a=19q3+3


a3=8q1a3=18q2a3=19q3a3=8,18,19k


8,18,19 کوچک ترین مضرب مشترک سه عدد مفروض است.


a3=1368ka=1368k+3    ;    k=1


mina=13681+3mina=1371

تفاضل بزرگ ترین و کوچک ترین اعداد صحیح و مثبتی که چون بر 93 تقسیم شوند، باقی مانده تقسیم دو برابر مجذور خارج قسمت شود، را بیابید.

a=bq+ra=93q+2q2


0r<b0r<9302q2<93


q2<932q2<46.5q<6.81q6


q=1    q=2    q=3    ....    q=6


if   q=1mina=93×1+2=95


if   q=6maxa=93×6+72=630


maxamina=63095=535

در تقسیم عدد صحیح a بر 17، باقی مانده نصف خارج قسمت می‌باشد، حداکثر مقدار a را به‌دست آورید؟

a=bq+ra=17q+q2


0r<170q2<17


17q+017q+q2<17q+17


17qa<17q+17    ;    q2=r=16q=32


1732a<1732+17544a<561maxa=560


بدیهی است که حداکثر مقدار a به‌ازای 16 به‌دست می‌آید.

در تقسیم عدد صحیح a بر 56 باقی مانده، مربع خارج قسمت می‌باشد، حداکثر مقدار a را به‌دست آورید؟

a=bq+ra=56q+q2


0r<560q2<56


q<7.48    ;    maxq=7a=56q+q2maxa=56×7+49maxa=441

دریافت مثال

افراز مجموعه  به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم 

مقدمه

اگر عدد صحیح a را بخواهیم بر 5 تقسیم کنیم:

این عدد صحیح یا بر 5 تقسیم پذیر است یعنی r=0 یا باقیمانده تقسیم آن بر 5 عدد 1 یا 2 یا 3 یا 4 است، به‌عبارت دیگر:

a=5q+0

a=5q+1

a=5q+2

a=5q+3

a=5q+4

و چون aZ یک عدد دل‌خواه در نظرگرفته شده بود، می‌توان گفت که هر عدد صحیح را می‌توان به یکی از 5 صورت فوق نوشت.

تعریف 

فرض کنید a و k دو عدد صحیحی باشند به‌طوری‌که k0 در این‌صورت اعداد صحیح منحصر به‌فردی مانند q و r می‌توان یافت به‌طوری‌که داشته باشیم:

      a  kq    r¯a=kq+r    ;    0r<k

با توجه به این‌که 0r<k یعنی مقادیری که r می‌پذیرد، به‌صورت زیر است:

r=0  ,  1  ,  2  ,  .....  ,  k1

هر عدد صحیح مانند a را می‌توان به یکی از k صورت زیر نوشت:

a=kq+0

a=kq+1

a=kq+2   

a=kq+k1

با این کار توانسته‌ایم مجموعه Z را دقیقا به k زیر مجموعه خودش افراز کنیم.

تمرین

عدد صحیح و فرد a را در نظر بگیرید:

این عدد را به یکی از دو صورت 4k+1 یا 4k+3 بنویسید. 

فرض کنیم aZ و عددی فرد باشد. اگر a  را بر 4 تقسیم کنیم، خواهیم داشت:

      a  4q    r¯a=4q+r    ;    0r<4


با توجه به این‌که 0r<4 یعنی داریم:

r=0  ,  1  ,  2  ,  3


 عدد a را می‌توان به یکی از 4 صورت زیر نوشت:

1   :   p=4k+0    ;    A1=aa=4k

2   :   p=4k+1    ;    2=aa=4k+1

3   :   p=4k+2    ;    A3=aa=4k+2

4   :   p=4k+3    ;    A4=aa=4k+3


چهار مجموعه A4  ,  A3  ,  A2  ,  A1 مجموعه Z را افراز می‌کند.


حالات زیر زوج هستند:

a=4ka=4k+2


حالات زیر فرد هستند:

a=4k+1a=4k+3

نشان دهید که مربع هر عدد فرد به شکل 8t+1 نوشته می‌شود. (باقیمانده تقسیم مربع هر عدد فرد بر 8 مساوی با 1 است.)

a=4k+1a2=4k+12a2=16k2+8k+1a2=82k2+k+1a2=8t'+1


a=4k+3a2=4k+32a2=16k2+24k+9a2=82k2+3k+1+1a2=8t''+1

تمرین

ثابت کنید اگر p>3 عددی اول باشد، آن‌گاه به یکی از دو صورت p=6k+1p=6k+5 نوشته می‌شود.  

کافی است p را بر 6 تقسیم کنیم، طبق قضیه الگوریتم تقسیم خواهیم داشت:

      p  6q    r¯p=6q+r    ;    0r<6


با توجه به این‌که 0r<6 یعنی داریم:

r=0  ,  1  ,  2  ,  3 , 4 , 5


1    :     p=6k+0=23k2    :     p=6k+13    :     p=6k+2=23k+1

4    :     p=6k+3=32k+1     ;    3p

5    :     p=6k+4=23k+26    :     p=6k+5


p در حالات 5,3,1 زوج است و با اول بودنِ آن در تناقض است.


 p در حالت 4 مضربی از عدد 3 است و با اول بودنِ آن در تناقض است.


 p در حالات 6,2 صحیح است. 

تمرین

عدد a مضرب 5 نيست، صورت های ممكنه آن را بنويسيد.

      a  5q    r¯a=5q+r    ;    0r<5


a=5q+r   ;    0r<5r=0a=5qr=1a=5q+1r=2a=5q+2


r=3a=5q+3=5q+52=5q+52=5q+12=5q'2


r=4a=5q+4=5q+51=5q+51=5q+11=5q'1


از حالات فوق در چهار حالت، عدد a مضرب 5 نيست. 

a=5k±1a=5k±2

نشان دهيد هر عدد صحيح به يكی از دو صورت 2k یا 2k+1 نوشته می‌شود.

فرض كنيد a يک عدد صحيح دل‌خواه باشد.


a را بر 2 تقسیم می‌کنیم، بنابر الگوريتم تقسيم داريم:

a=2k+r    ;   0r<2if   r=0a=2kif   r=1a=2k+1


اعداد به شكل 2k را اعداد زوج و اعداد به شكل 2k+1 را فرد گويند.

دریافت مثال

نکته

1- اگر a عدد فردی باشد که نتوان آن را به‌صورت 8k+1 نوشت، در این‌صورت a مربع کامل نیست.

به‌عنوان نمونه عدد 25 را می‌توان به‌صورت زیر نوشت: 

52=25=83+1

بنابراین مربع کامل است.

تمرین

اگر x عددی صحيح و فرد باشد، باقيمانده تقسيم x25 بر 8 را بنویسید.

یادآوری)


مربع هر عدد فرد، به‌شكل 8k+1 است که قبلا بررسی شد، این مطلب با مثال های عددی زیر هم مشخص می‌شود:

12=1=80+132=9=81+1


52=25=83+172=49=86+1             x2=x2=8k+1


پس اگر x عددی صحيح و فرد باشد:

x2=8k+1x25=8k+15x25=8k4

x25=8k8+4

x25=8k1+4    ;    k1=k'

x25=8k'+4r=4

دریافت مثال

نکته

2- اگر a و b دو عدد طبیعی باشند به‌طوری‌که a<b باشد، در این‌صورت باقیمانده تقسیم a بر b خود عدد a است.  

        a   b       0¯     0         a                                  a=b0+a

بنابراین باقیمانده هر یک از اعداد زیر:  

n1  ,  ...  ,  4  ,  3  ,  2  ,  1

بر n به‌ترتیب برابر است با:

n1  ,  ...  ,  4  ,  3  ,  2  ,  1

نکته

3- اگر a و b دو عدد طبیعی باشند، آن‌گاه:

if   a=bq+r0r<bq=ab

منظور از ab جزءصحیح کسر ab است. 

اثبات

a=bq+rab=bbq+rbab=q+rb

0r<b

0rb<1

0+qrb+q<q+1

qab<q+1

ab=q

تعداد مضارب صحیح مثبتی از b که کوچک‌تر یا مساوی a هستند، برابر است با ab 

تمرین

تعداد مضارب مثبت 5 که کوچک‌تر یا مساوی 138 است را بیابید. 

138=527+3


تعداد مضارب مثبت 5 که کوچک‌تر یا مساوی 138 برابر است با:

1385=27

دریافت مثال

نکته

4- در هر تقسیم a=bq+r حداکثر به اندازه x=rq واحد می‌توان به مقسوم علیه اضافه کرد تا مقسوم و خارج قسمت تغییر نکنند.

اثبات

a=bq+ra=b+xq+r'

a=bq+xq+r'    ;    a=bq+r

bq+r=bq+xq+r'

r'=rxq    ;    rxq0rxq0xrqx=rq

تمرین

در يک تقسيم، خارج قسمت 35 و باقيمانده 421 است.

حداكثر چند واحد به مقسوم عليه اضافه كرد تا مقسوم و خارج قسمت تغيير نكنند.

a=bq+ra=b35+421


در حقيقت بايد معلوم كنيم كه در 421 چند بار عدد 35 را می‌توان گنجاند:

42135=12/03=12

دریافت مثال

نکته

5- اگر a و b دو عدد طبیعی باشند به‌طوری‌که: 

a=bq+r0r<b

با شرط a>b مقسوم از دو برابر باقیمانده بزرگ‌تر است:

a>2r

اثبات

روش اول-

a=bq+r0r<b

a=bq+r>b+r>r+r=2ra>2r


روش دوم- واضح است که چون a و b دو عدد طبیعی هستند و a>b باشد، بنابراین q1:      

q1bqb    ;    b>rbq>rbq+r>r+ra>2r

نکته

6- در هر تقسیم، هرگاه هر مضرب صحیح و مثبتی از مقسوم علیه را به مقسوم بیفزاییم، باقیمانده تغییر نمی‌کند.

اثبات

a=bq+r0r<b

a=bq+ra+nb=bq+nb+r=bq+n+r

واضح است که رابطه اخیر یک تقسیم را معرفی می‌کند که باقیمانده آن همان باقیمانده تقسیم عدد a بر عدد b یعنی r است.

در حالت کلی، اگر n برابر مقسوم علیه را به مقسوم اضافه کنیم، خارج قسمت جدید با عدد n جمع می‌شود.

تمرین

در يک تقسيم، خارج قسمت برابر 21 و مقسوم عليه 8 است. 

اگر 24 به مقسوم اضافه كنيم، خارج قسمت جديد را به‌دست آورید.

طبق نكته بالا بايد 3 واحد به خارج قسمت قديم اضافه كنيم تا خارج قسمت جديد حاصل شود.


سه برابر مقسوم عليه را به مقسوم اضافه كرده ايم.

a=bq+ra=821+r0r<b


a=821+ra+24=821+24+r=821+3+r

دریافت مثال

نکته

7- به کسر زیر توجه کنید:

a=bq+rbq=arq=arb

می‌توانیم مقادیری مختلف را به a و r و b اضافه کنیم، به‌طوری که q یعنی خارج قسمت، تغییری نکند. 

تمرین

در تقسيم عدد صحيح a بر b خارج قسمت 12 و باقيمانده 93 شده است. 

حداكثر چه مقدار می‌توان به مقسوم عليه اضافه نموده تا خارج قسمت تغيير نكند؟

اگر حداكثر مقدار را x در نظر بگیریم:


a=bq+ra=12b+93a=12b+x+r'a=12b+12x+r'


12b+93=12b+12x+r'12x=93r'x=93r'12


x باید ماکزیمم باشد.


بايد عددی را از 93 كم كنيم كه در ازای تقسيم آن بر 12 عددی به‌دست آيد كه در Z باشد، بنابراين:

if  r'=9x=93912=7

دریافت مثال

نکته

8- همواره در تقسیم a بر b به‌طوری‌که a=bq+r باشد:

حداکثر n=br1 واحد می‌توان به مقسوم اضافه کرد تا خارج قسمت تغییر نکند.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

قضیه تقسیم

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید