مثلثات

فرض کنیم $M$ نقطه‌ای روی دایره مثلثاتی واقع در ربع اول باشد.

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\sin \theta =\overline{HM}\\ \cos \theta =\overline{OH}\end{array}\right.\end{array}$

$H{M}^2+O{H}^2=O{M}^2\Rightarrow {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

در شکل زیر فرض کنیم $M$ در نقاط $B$ یا $B^{\text{'}}$ واقع نباشد، یعنی $\theta \ne \frac{\left(2k+1\right)}{2}\pi$ باشد:

در این‌صورت در مثلث قائم الزاویه $OMH$ داریم:  

تانژانت $\theta$ مساوی با ضلع مقابل بر ضلع مجاور است:

$\Delta OMH:\tan \theta =\frac{\overline{HM}}{\overline{OH}}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

در شکل زیر فرض کنیم $M$ در نقاط $A$ یا $A^{\text{'}}$ واقع نباشد، یعنی $\theta \ne k\pi$ باشد:

در این‌صورت در مثلث قائم الزاویه $OMH$ داریم:  

کتانژانت $\theta$ مساوی با ضلع مجاور بر ضلع مقابل است:

$\Delta OMH:\cot \theta =\frac{\overline{OH}}{\overline{HM}}=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

$\left\{\begin{array}{l}\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\\ \cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}〉\tan \theta \cdot \cot \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\cdot \frac{\cos \theta }{\sin \theta }=1\right.$

$1+{\tan }^2\theta =1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

$1+{\cot }^2\theta =1+\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta }$

یادآوری می‌کنیم که:

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2\Rightarrow a^2+b^2={\left(a+b\right)}^2-2ab$

${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta ={\left({\sin }^2\theta \right)}^2+{\left({\cos }^2\theta \right)}^2={\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)}^2-2{\sin }^2\theta .{\cos }^2\theta =1-2{\sin }^2\theta .{\cos }^2\theta$

یادآوری می‌کنیم که:

${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\Rightarrow a^3+b^3={\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)$

$\begin{array}{l}{\sin }^6\theta +{\cos }^6\theta \end{array}$

$={\left({\sin }^2\theta \right)}^3+{\left({\cos }^2\theta \right)}^3$

$\begin{array}{l}={\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)}^3-3{\sin }^2\theta .{\cos }^2\theta \left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)\end{array}$

$=1-3{\sin }^2\theta .{\cos }^2\theta$

اگر $\theta \ne \frac{\left(2k+1\right)\pi }{2}$ باشد، وارون $\cos \theta$ را سکانت $\theta$ نامیده و با نماد $sec\theta$ نشان می‌دهند، پس: 

$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }\Rightarrow {\sec }^n\theta =\frac{1}{{\cos }^n\theta }$

اگر $\theta \ne k\mathrm{\pi }$ باشد، وارون $\sin \theta$ را کسکانت $\theta$ نامیده و با نماد $csc\theta$ نشان می‌دهند، پس: 

$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }\Rightarrow {\csc }^n\theta =\frac{1}{{\sin }^n\theta }$

$\tan \theta +\cot \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\cos \theta .\sin \theta }=\frac{1}{\sin \theta .\cos \theta }$

$\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }.\frac{1-\cos \theta }{1-\cos \theta }=\frac{\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)}{1-{\cos }^2\theta }=\frac{\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)}{{\sin }^2\theta }=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$

$a$ و $b$ دو عدد حقیقی دلخواه و $b\ne 0$ است.

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }\Rightarrow 1+{\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{b^2}=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\Rightarrow {\cos }^2\theta =\frac{b^2}{a^2+b^2}\Rightarrow \cos \theta =\frac{\pm b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$1+{\cot }^2\theta =\frac{1}{{\sin }^2\theta }\Rightarrow 1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\theta }\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{1}{{\sin }^2\theta }\Rightarrow {\sin }^2\theta =\frac{a^2}{a^2+b^2}\Rightarrow \sin \theta =\frac{\pm a}{\sqrt{a^2+b^2}}$