اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات دو جمله

آخرین ویرایش: 20 بهمن 1402
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله

قضیه

  a,bR  :(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3

اثبات

(a+b)(a2ab+b2)

=a3a2b+ab2+ba2ab2+b3

=a3+b3

تمرین

حاصل عبارات زیر را به كمک اتحاد مجموع مكعبات دو جمله به‌دست می‌آوریم:

x+2x22x+4

=x+2x22x+22=x3+23=x3+8

x+3x23x+9

=x+3x23x+32=x3+33=x3+27

2x+14x22x+1

=2x+12x22x1+12=2x3+13=8x3+1

(2a+b)(4a22ab+b2)

=(2a+b)2a22ab+b2

=2a3+b3=8a3+b3

(3a2+2b3)(9a46a2b3+4b6)

=3a2+2b33a223a22b3+2b32

=3a23+2b33=27a6+8b9

(x2+1)(x4x2+1)

=(x2+1)x22x21+12

=x23+13=x6+1

x+32x23x+92

=(x+3)(x23x+9)2

=x3+272=x32+2×27x3+272=x6+54x3+729

(x+2)(x22x+4)(x36)

=(x+2)(x22x+4)(x36)

=(x3+8)(x36)=x32+(86)x3+(8)(6)=x6+2x348

تمرین

تساوی زیر برقرار است:

x+y=6xy=4

حاصل x3+y3 را بیابید.

x3+y3=x+yx2xy+y2


x3+y3=x+yx2xy+y2+2xy2xy


x3+y3=x+yx2+2xy+y23xy


x3+y3=x+yx+y23xy


x3+y3=66234


x3+y3=63612


x3+y3=144

تمرین

تساوی زیر برقرار است:

x+y=6x2+y2=40

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

x6+y6

x+y2=x2+2xy+y2    ;    x2+y2=40


x+y2=40+2xy    ;    x+y=6


62=40+2xy


2xy=4


xy=2



x3+y3=x+yx2xy+y2=6402=252



x3+y32=x6+2x3y3+y6


x6+y6=x3+y322x3y3


x6+y6=252222


x6+y6=63520

تمرین

تساوی x+1x=A برقرار است.

حاصل عبارت زیر را بیابید:

x3+1x3

x3+1x3=x+1xx2x1x+1x2


x3+1x3=x+1xx2+1x21


x3+1x3=x+1xx+1x221


x3+1x3=x+1xx+1x23


x3+1x3=AA23


x3+1x3=A33A

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید: (خطوط زرد رنگ طول ضلع a و خطوط آبی رنگ طول ضلع b می‌باشد)

 اتحاد مجموع مكعبات دو جمله - پیمان گردلو

 اتحاد مجموع مكعبات دو جمله - پیمان گردلو

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6

a+ba+ba+b=a3+a2b+aba+b+b3+ab2+aba+b

a+b3a2bab22aba+b=a3+b3

a+b32aba+b+a2b+ab2=a3+b3

a+b32aba+b+aba+b=a3+b3

a+b33aba+b=a3+b3

a+ba+b23ab=a3+b3

a+ba2+2ab+b23ab=a3+b3

a+ba22ab+b2=a3+b3

تحلیل هندسی اتحاد فوق به‌صورت زیر هم قابل نمایش است:

اتحاد چاق و لاغر - پیمان گردلو

دریافت مثال

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله

قضیه

  a,bR:(ab)(a2+ab+b2)=a3b3

اثبات

aba2+ab+b2

=aa2+aab+ab2+ba2+bab+bb2

=a3+a2b+ab2ba2ab2b3

=a3+a2bba2+ab2ab2b3

=a3+0+0b3

=a3b3

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد تفاضل مكعبات دو جمله به‌دست می‌آوریم:

2x3y4x2+6xy+9y2

=2x3y2x2+2x3y+3y2

=2x33y3=8x327y3

x2x2+2x+4

=x2x2+x2+22

=x323=x38

2a54a2+10a+25

=2a52a2+2a5+52

=2a353=8a3125

2a3b4a2+6ab+9b2

=2a3b2a2+2a3b+3b2

=2a33b3=8a327b3

x12x2+12x+14

=x12x2+x12+122

=x3123=x318

(a22a)(a4+2a3+4a2)

(a22a)a22+a22a+2a2

=a232a3=a68a3

(ab)(a+b)(a2ab+b2)(a2+ab+b2)

=(ab)(a2+ab+b2)(a+b)(a2ab+b2)

=(a3b3)(a3+b3)=a32b32=a6b6

(a1)(a2+a+1)(a3+2)

=(a1)(a2+a+1)(a3+2)

=(a31)(a3+2)

=a32+(1+2)a3+(1)(2)

=a6+a32

(4x26x)(4x4+6x3+9x2)

=2(2x23x)(4x4+6x3+9x2)

=2(2x23x)2x22+2x23x+3x2

=22x233x3=2(8x627x3)=16x654x3

2x124x2+2x+12

=(2x1)(4x2+2x+1)2=2x3132

=8x312=8x322(8x3)(1)+12=64x616x3+1

  x(1x)(1+x)(x2+x6+x4)

=x(1x)(1+x)(x2+x6+x4)

=x(1x2)(x2+x6+x4)=(xx3)(x2+x4+x6)

=x3x33x3x9

(y+2)(y2)(2y4+32+8y2)

=(y+2)(y2)(2y4+32+8y2)

=(y24)(2y4+32+8y2)=2(y24)(y4+4y2+16)

=2(y24)y22+y24+42

=2y2343

=2(y664)=2y6128

(a2b2)(a4+b4+a2b2)(a6+b6)(a24+a12b12+b24)

=(a2b2)(a4+a2b2+b4)(a6+b6)(a24+a12b12+b24)

=a23b23(a6+b6)(a24+a12b12+b24)

=(a6b6)(a6+b6)(a24+a12b12+b24)

=(a12b12)(a24+a12b12+b24)

=a123b123=a36b36

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید: (خطوط زرد رنگ طول ضلع a-b و خطوط آبی رنگ طول ضلع b و خطوط سبز رنگ طول ضلع a می‌باشد.)

 اتحاد تفاضل مكعبات دو جمله - پیمان گردلو


 اتحاد تفاضل مكعبات دو جمله - پیمان گردلو

S=S1+S2+S3+S4+S5

a×a×a=b2ab+b3+abab+aab2+abab

a3=b2ab+b3+2abab+aab2

a3b3=abb2+2ab+aab

a3b3=abb2+2ab+a2ab

a3b3=aba2+ab+b2

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات دو جمله

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید