اتحاد مربع مجموع سه جمله

آخرین ویرایش: 11 بهمن 1402
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:

قضیه

a,b,cR:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

اثبات

a+b+c2=(a+b)+c2=(a+b)2+2a+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

تمرین

حاصل عبارات زير را به كمک اتحاد مربع سه جمله ای به‌دست آوريد.

(2x3yxy)2

=2x2+-3y2+-xy2+2(2x)(-3y)+2(2x)(-xy)+2(-3y)(-xy)


=4x2+9y2+x2y212xy4x2y+6xy2

ab+c2

=a+b+c2


=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc


=a2+b2+c22ab+2ac2bc

a3+3a22a2

=a32+3a22+2a2+2(a3)(3a2)+2(a3)(2a)+2(3a2)(2a)

=a6+9a4+4a2+6a54a412a3=a6+6a5+5a412a3+4a2

2a3b2ab2

=2a2+3b2+2ab2+2(2a)(3b)+2(2a)(2ab)+2(3b)(2ab)

=4a2+9b2+4a2b212ab8a2b+12ab2

23x4x22

=22+3x2+4x22+223x+2(2)(4x2)+2(3x)(4x2)

=4+9x2+16x412x16x2+24x3

a4+2a2+32

=a42+2a22+32+2(a4)(2a2)+2(a4)(3)+2(2a2)(3)

=a8+4a4+9+4a6+6a4+12a2=a8+10a4+4a6+12a2+9

2a3a4

=2a3a22=2a3222a3a+a22=4a64a4+a22

=4a62+4a42+a22+2(4a6)(4a4)+2(4a6)(a2)+2(4a4)(a2)

=16a12+16a8+a432a10+8a88a6

abcba+c

=(abc)(abc)=abc2

=(a)2+(b)2+(c)2+2(a)(b)+2(a)(c)+2(b)(c)

=(a2+b2+c22ab2ac+2bc)

=a2b2c3+2ab+2ac2bc

a34

=a322=a26a+92

=a22+6a2+92+2(6a)+2(a2)(9)+2(6a)(9)

=a4+36a2+8112a3+18a2108a

تمرین

جاهای خالی را طوری پر کنید که عبارات زیر مربع کامل باشند:

a2+9b2++++6a

=a2+3b2++++2a3


=a2+3b2+32+2a3b+23b3+2a3


=a2+9b2+9+6ab+18b+6a


=a+3b+32

x2+++2++2x

=x2+1x2+12+2x1x+21x1+2x1


=x2+1x2+1+2x1x+2x+2x


=x+1x+12

تمرین

مقادیر a,b,c به‌صورت زیر، داده شده است:

a=55332b=3255c=33+551

حاصل عبارت زیر چقدر است؟

a2+b2+c2ab+ac+bc

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مجموع مقادیر a,b,c عدد صفر است: 

a+b+c=55332+3255+33+551=0

a+b+c2=a2+b2+c22ab+ac+bc    ;    a+b+c=0

0=a2+b2+c22ab+ac+bc

a2+b2+c2=2ab+ac+bcab+ac+bc=12a2+b2+c2


بنابراین داریم:

a2+b2+c2ab+ac+bc=a2+b2+c212a2+b2+c2=2

تمرین

اعداد حقیقی a,b,c در روابط زیر صدق می‌کنند:

2a+b+c=0ab+ac+bc=0

مقدار کسر زیر چقدر است؟

a2+1b2+c2+2

2a+b+c=0a+b+c=aa+b+c2=a2

a2+b2+c2+2ab+ac+bc=a2    ;    ab+ac+bc=0

a2+b2+c2=a2b2+c2=0b=0c=0a=0a2+1b2+c2+2=12

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع سه جمله توجه کنید:

اتحاد مربع مجموع سه جمله

SADMP=SABGH+SBCFG+SCDEF+SHGKL+SGFJK+SFEIJ+SLKPO+SKJNO+SJIMN

a+b+ca+b+c=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2

a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

دریافت مثال

تذکر

تعمیم اتحاد مربع مجموع سه جمله‌ ای

a1+a2+a3++an2

=a12+a22++an2+2a1a2+2a1a3++2a1an+2a2a3+2a2a4++2a2an++2an1an

تمرین

حاصل عبارت زير را به كمک تعمیم اتحاد مربع سه جمله ای به‌دست آوريد.

2a33a2+a42

=2a33a2+a42


=2a32+3a22+a42+22a33a2+22a3a4+23a2a4


=4a6+9a4+a28a+1612a5+4a416a3+6a3+24a2


=4a6+9a4+a28a+1612a5+4a416a36a3+24a2


=4a612a5+13a422a3+25a28a+16

a+b+c+d+e2

=a2+b2+c2+d2+e2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de

a3+a2a12

=a32+a22+a2+12+2(a3)(a2)+2(a3)(a)+2(a3)(1)+2(a2)(a)+2(a2)(1)+2(a)(1)

=a6+a4+a2+1+2a52a42a32a32a2+2a

=a6+2a5a44a3a2+2a+1

دریافت مثال

قضیه

اتحاد فرعی حاصل از اتحاد مربع سه جمله‌‌ای

a2+b2+c2=(a+b+c)22(ab+ac+bc)

اثبات

a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a2+b2+c2=a+b+c22ab2ac2bc

a2+b2+c2=a+b+c22(ab+ac+bc)

تمرین

اگر داشته باشیم:

a+b+c=10a2+b2+c2=50

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

ab+ac+bc

a2+b2+c2=a+b+c22(ab+ac+bc)

50=1022(ab+ac+bc)2(ab+ac+bc)=100502ab+ac+bc=50ab+ac+bc=25

تمرین

دستگاه زیر مفروض است:

a+b+c=10a2+b2+c2=50

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید:

ab+ac+bc

a2+b2+c2=a+b+c22ab+ac+bc


50=1022ab+ac+bc


2ab+ac+bc=10050


2ab+ac+bc=50


ab+ac+bc=25

دریافت مثال

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

1p+1q+1r=0

عبارت p2+q2+r2 با کدام‌یک از عبارات زیر برابر است؟

  1. p+q+r2
  2. 14p+q+r2
  3. 19p+q+r2
  4. 4p+q+r2
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 2

دستگاه زیر را در نظر بگیرید:

z,y,x0x+y+z=0

حاصل x2+y2+z22 با کدام‌یک از عبارات زیر برابر است؟

  1. 4x4+y4+z4
  2. 14x4+y4+z4
  3. 12x4+y4+z4
  4. 2x4+y4+z4
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 3

المپیاد مقدماتی ریاضی

اگر تساوی زیر برقرار باشد: 

a,b,cRab+bc+ca=02a+b+c=0

حاصل a2+1b2+c2+1 کدام‌یک از عبارات زیر برابر است؟

  1. 3
  2. 2
  3. 1
  4. 0
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 4

المپیاد مقدماتی ریاضی

اگر تساوی زیر برقرار باشد:

a+b+c=0a2+b2+c2=4

حاصل a4+b4+c4 کدام‌یک از عبارات زیر برابر است؟

  1. 16
  2. 4
  3. 8
  4. 6
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 5

المپیاد مقدماتی ریاضی

اعداد حقیقی و مثبت x,y,z در تساوی زیر صدق می‌کنند:

x2+1x2+2x+1x+2=y2+z2+2y+2z+2yz

حاصل x+1x کدام‌یک از عبارات زیر برابر است؟

  1. 2y+3z
  2. y+2z
  3. y+z
  4. 2y+z
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 6

المپیاد ریاضی

اگر a+b+c=0 باشد، کدام‌یک از نامساوی های زیر صحیح است؟

  1. ab+ac+bc>0
  2. ab+ac+bc0
  3. ab+ac+bc0
  4. ab+ac+bc<0
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

اتحاد مربع سه جمله

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید