تعریف استدلال
استدلال یعنی دلیل آوردن و استفاده از دانسته‌های قبلی، برای معلوم کردن موضوعی که در ابتدا مجهول بوده است.
تمرین
امیر و محسن برای دیدن مسابقه فوتبال به ورزشگاه رفتند.
محسن به امیر گفت: من مطمئن هستم که تیم مورد علاقه من امروز هم می‌بازد.
امیر پرسید: چگونه با این اطمینان حرف می‌زنی؟
محسن دلیل آورد که: چون هر بار که به ورزشگاه رفته‌ام، تیم مورد علاقه‌ام باخته است.
آیا دلیلی که محسن آورده است، درست است؟ چرا؟
خیر.
زیرا نتیجه هر بازی در همان بازی مشخص می‌شود و نظر محسن فقط یک حدس است.
دلیلی که محسن آورده است بر اساس حدس و نتیجه بازی‌های قبلی می‌باشد، لذا نمی‌توان اطمینان کرد.
تمرین
عباس یک بیسکویت مستطیل شکل با ابعاد و سانتی‌متر دارد.
بیسکویت باقر از همان نوع، به‌همان ضخامت و مربع شکل به ضلع است.
با استفاده از دانش ریاضی خود نشان می‌دهیم که مقدار بیسکویت کدام‌یک بیش‌تر است؟
با توجه به یکسان بودن ضخامت بیسکویت، سطح قاعده را با هم مقایسه می‌کنیم، بنابراین:
مساحت بیسکویت باقر:
مساحت بیسکویت عباس:
مقدار بیسکویت باقر بیش‌تر است.
دلیل ذکر شده قابل اطمینان است زیرا براساس دانسته‌های قبلی که درستی آن برای ما اثبات شده، صورت گرفته است.
یادآوری
همان‌طور که در این موارد مشاهده شد، حتی در بسیاری از کارهای روزمره به استدلال نیاز پیدا می‌کنیم.
راه‌های متفاوتی برای استدلال کردن هست که اعتبار و قابل اعتماد بودن آنها می‌تواند یکسان نباشد.
تعریف اثبات
به استدلالی که موضوع مورد نظر را به‌درستی نتیجه بدهد، اثبات می‌گوییم.
اغلب دانشجویان و دانش آموزان تازه‌کار مطمئن نیستند که اثبات درست در حقیقت چیست و به‌همین دلیل نمی‌دانند که اثبات درست چه وقت آشکار شده است.
اثبات ریاضی، استدلال دقیقی است که برای متقاعد کردن خود و دیگران در این‌که قضیه ریاضی خاصی درست است به‌کار می‌رود.
برخلاف استدلال‌هایی که در بحث‌های روزمره به‌کار می‌رود، هر مرحله از اثبات ریاضی باید از لحاظ منطقی درست باشد و همین ملاک است که اثبات‌های ریاضی را بسیار مشکل می‌کند.
در ریاضیات، هر مرحله باید شامل یک استدلال درست، با درستی شامل استفاده صحیح از قواعد منطق باشد و در صورتی که اجرای دنباله‌ای از چنین مراحل منطقی منجر به تحقیق قضیه مورد بحث شود، گفته می‌شود که قضیه اثبات شده است.
در اثبات ریاضی، اولین مرحله باید مطالعه دقیق متن کامل قضیه باشد، گرچه ممکن است این سخن واضح به نظر برسد اما هر قضیه در حالت کلی شامل دو جز است:
- یکی آن‌چه باید اثبات شود.
- شرایطی که باید برقرار باشند.
اثبات قضیه باید برای برقرار کردن تمام شرایط، به‌قدر کافی کلی باشد.
هنگامی که گزاره دقیق قضیه واضح شد و این‌که قضیه واقعا چه می‌خواهد، شخص می‌تواند شروع به اثبات کند و در سراسر اجرای اثبات، دانش‌آموز باید مطمئن باشد که هر مرحله شامل استدلال درستی است، چرا که اگر تنها یک مرحله نادرست باشد در این‌صورت کل اثبات نادرست خواهد بود.
با توجه به این مطلب، شخص باید آگاه باشد که بزرگ‌ترین علت اثبات‌های مغالطه آمیز (مثل اثبات ) استفاده از استدلالی که به‌طور شهودی صحیح به نظر می‌رسند اما محقق نشده‌اند، می‌باشد.
از آنجا که اثبات، استدلال است، خواننده باید تا آنجا که امکان داشته باشد آن‌را به‌طور واضح اجرا کند، در این‌صورت شخص باید مطمئن شود که مراحل اثبات به‌طور منطقی از یکدیگر تبعیت می‌کنند و در مورد هر یک از آنها باید دلیل خوبی موجود باشد.
برای اثبات قضایای ریاضی، شخص غالبا بهتر است آنها را به‌صورت علامتی در‌آورد و سپس با علائم به‌دست آمده عمل کند و به این علت بد نیست که تبدیل گزاره‌های شفاف به‌علائم ریاضی، مرور شود.
اولین گام برای استدلال ریاضی این است که یک عبارت توصیفی را به‌زبان ریاضی بازنویسی کنیم.
تمرین
عبارات توصیفی زیر را به‌زبان ریاضی بازنویسی کنید.
ما و ما و نصف ما و نیمه‌ای از نصف ما، گر تو هم با ما شوی، ما جملگی صد می‌شویم.
کافی است به‌جای ما از متغیر استفاده کنیم:
بنابراین عبارت توصیفی فوق به‌صورت زیر بازنویسی شد که یک معادله ریاضی است:
عددی را در نصف خودش ضرب کردیم، آن‌گاه بر حاصل‌ضرب عدد دوازده را افزودیم، حاصل پنج برابر عدد منظور شد.
عدد منظور را در نظر می‌گیریم، عبارت بالا به‌صورت زیر در می‌آید:
عبارت توصیفی فوق یک معادله درجه دوم است.
ده درصد قیمت فروش کالایی، برابر سود آن است.
کافی است قیمت فروش این کالا را و قیمت خرید آن را در نظر بگیریم:
تمرین
گزاره های زير را به‌صورت علائم رياضی بنويسيد.
مجموع دو عدد صحيح فرد، يک عدد صحيح زوج است.
فرض می‌كنيم سه عدد صحيح باشند، در اين صورت واضح است كه دو عدد صحيح فرد دلخواه می‌باشند:
از آنجا كه و مشخص نشده‌اند، و دو عدد صحيح فرد دلخواه هستند به همين ترتيب عدد صحيح زوج است.
حاصل ضرب دو عدد صحيح متوالی، مساوی شش است.
فرض می‌كنيم عدد صحيح باشد، در اين صورت گزاره برابر با عبارت زير است:
مجموع دو عدد حقيقی، كمتر از دو است.
فرض می‌كنيم و دو عدد حقيقی باشند، در اين‌صورت گزاره مورد نظر به‌صورت زیر است:
مجموع مربعات دو عدد برابر یک است.
فرض می‌كنيم و دو عدد باشند، در اين‌صورت گزاره مورد نظر به‌صورت زیر است:
پنج برابر عددی منهای هفت، مساوی دو برابر آن عدد است.
فرض می‌كنيم عدد مورد نظر باشد، در اين صورت گزاره برابر با تساوی زير است:
تمرین
نشان دهيد كه مربع یک عدد فرد منهای یک بر چهار قابل قسمت است.
قبلاً ملاحظه كرديم كه عدد فرد عددی است كه می‌تواند به‌صورت كه در آن عدد صحیح است، نوشته می‌شود.
گزاره، از عدد فرد مربع شده منهای يک صحبت می‌كند و اين را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:
قضيه عبارت است از اين‌كه عددی صحيح است و اين گزاره را بايد اثبات كرد:
از آن جا كه عدد صحيح است، عددی صحيح است پس به عبارتی نشان داديم كه مربع هر عدد فرد منهای يک بر چهار قابل قسمت است.
