تابع

تعریف رابطه

دو مجموعه $A=\left\{1,2,3\right\}$ و $B=\left\{4,5\right\}$ را در نظر می‌گیریم، حاصل‌ضرب دکارتی آنها را تشکیل می‌دهیم:

$\begin{array}{l}A\times B=\left\{\left(x,y\right)|x\in A,y\in B\right\}\end{array}$

$A\times B=\left\{\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(2,5\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right)\right\}$

هر زیرمجموعه‌ای از حاصل‌ضرب دکارتی $A\times B$ را یک رابطه از $A$ در $B$ می‌نامیم.

در زیر، $f_1$ و $f_2$ و $f_3$ یک رابطه از $A$ در $B$ هستند:

$\begin{array}{l}{f}_1=\left\{\left(1,4\right),\left(1,5\right)\right\}\subset A\times B\end{array}$

$\begin{array}{l}{f}_2=\left\{\left(2,4\right),\left(1,4\right),\left(3,4\right)\right\}\subset A\times B\end{array}$

$f_3=\left\{\left(2,4\right),\left(1,4\right),\left(2,4\right)\right\}\subset A\times B$

تعریف تابع

بسیاری از پدیده‌های پیرامون ما به نوعی با هم ارتباط دارند. یک نوع خاص از این ارتباط (تابع) در موارد زیادی مشاهده می‌شود. به نمونه‌های زیر توجه کنید:

• رابطه‌ بین افراد و قد آنها: یک فرد به‌طور هم ‌زمان نمی‌تواند دارای قدهای متفاوت باشد، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین افراد و وزن آنها: یک فرد به‌طور هم‌ زمان نمی‌تواند دارای وزن‌های متفاوت باشد، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین افراد و سن‌ها:یک فرد به‌طور هم‌ زمان نمی‌تواند دارای سن‌های متفاوت باشد، هر فرد در هر زمان فقط یک سن دارد، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین دانش ‌آموزان یک کلاس و نمره‌ ریاضی پایان ترم آنها: هر دانش‌آموز با توجه به برگه‌ امتحان پایان‌ترم فقط یک نمره خواهد داشت، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین سال‌های مختلف و میزان بودجه‌ اختصاص یافته به آن سال‌ها در یک کشور: هر کشور برای هر سال فقط یک بودجه اختصاص می‌دهد، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین افراد و دمای بدن آنها در یک زمان خاص: در یک زمان خاص دمای بدن افراد فقط یک درجه را نشان می‌دهد، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین مستطیل‌‌ها و محیط آنها: هر مستطیل با ابعاد مختلف تنها یک محیط دارد، یعنی هیچ‌ وقت یک مستطیل مشخص و معین دارای دو محیط نخواهد بود، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه‌ بین افراد و پدرانشان: یعنی هر فرد فقط یک پدر مشخص دارد، پس این رابطه، تابع است.
• رابطه بین افراد و پرستش پروردگارشان: یعنی هر فرد فقط یک خدا را پرستش می‌کند، پس این رابطه، تابع است.
• دمایی که به ساعت معینی در یک مکان نسبت داده می شود: به یک ساعت معین فقط یک دما را می‌توان نسبت داد، یعنی یک ساعت مشخص دو دمای متفاوت ندارد، پس این رابطه، تابع است.

• قیمتی که به اجناس یک فروشگاه نسبت داده می‌شود: یک کالا دو قیمت متفاوت نمی‌تواند داشته باشد، پس این رابطه، تابع است.