جایگشت (تبدیلات)

آخرین ویرایش: 25 دی 1402
دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)
امتیاز:

جایگشت n شی متمایز

ترتیب قرار گرفتن n شی متمایز در یک ردیف را جایگشت n شی متمایز می‌نامند.

بدیهی است که جابه‌جا شدن n شی در یک ردیف نیز به‌همین مفهوم است.

تمرین

حالات مختلفی را که می‌توان حروف a و b و c را در یک ردیف قرار داد، نشان دهید.

جایگشت - تبدیل - پیمان گردلو


بنابراین تعداد جایگشت های این سه حرف برابر 6 حالت می‌باشد.

تمرین

به چند حالت می‌توان اعداد 4  ,  3  ,  2  ,  1 را در یک ردیف قرار داد.

جایگشت - تبدیل - پیمان گردلو


بنابراین تعداد جایگشت های این چهار عدد برابر 24 حالت می‌باشد.

تعداد جایگشت n شی متمایز در یک ردیف (صف)

هر آرایش دل‌خواه از یک مجموعه با n شی و با یک ترتیب داده شده یک جایگشت از اشیا نامیده می‌شود که تمام اشیا در یک زمان انتخاب می‌شوند.

قضیه

تعداد جایگشت n شی متمایز که در یک ردیف قرار گرفته‌اند، برابر n! است.

اثبات

فرض کنید n شی متمایز را می‌خواهیم در یک ردیف که شامل n مکان می‌باشد، قرار دهیم.

در مکان اول می‌توانیم هر یک از n شی را قرار دهیم، یعنی برای پر کردن مکان اول n روش وجود دارد.

در مکان دوم از n-1 شی باقیمانده، انتخاب صورت می‌گیرد. 

در مکان سوم از n-2 شی باقیمانده، انتخاب صورت می‌گیرد. 

به‌همین ترتیب:

در مکان nام از n-2 فقط یک شی برای قرار دادن وجود دارد.

لذا طبق اصل ضرب، تعداد جایگشت های n شی متمایز برابر است با: 

n×(n1)×(n2)××1=n!

تمرین

به چند طريق می‌توان شش دانش آموز را در يک صف قرار داد؟

مطابق قضيه تعداد جايگشت ها، شش دانش آموز به تعداد حالات زیر می‌توانند كنار هم بايستند:


6!=720

تعداد راه هايی را به‌دست آوريد كه در يک مهمانی، يک گروه هفت نفری را می‌توان در يک رديف هفت تايی در صندلی مرتب كرد. 

7×6×5×4×3×2×1=7!

تعداد راه هايی را به‌دست آوريد كه می‌توان چهار كتاب رياضی، سه كتاب تاريخ، سه كتاب شيمی و دو كتاب جامعه شناسی را در يک قفسه طوری مرتب كرد كه كتاب‌های هم موضوع كنار يک‌ديگر قرار گيرند.

کتاب‌های ریاضی، تاریخ، شیمی، جامعه شناسی را طناب پیچ می‌کنیم، پس چهار شی داریم که به 4! در کنار هم قرار می‌گیرند.


اما کتاب‌های ریاضی خود به 4! طریق، کتاب‌های تاریخ به 3! طریق، کتاب‌های شیمی به 3! و کتاب‌های جامعه شناسی به 2! طریق، جابه‌جا می‌شوند:


طبق اصل ضرب داریم:

4!×4!×3!×3!×2!

تمرین

چهار سرباز و پنج افسر در یک اردو حاضر هستند.

به چند طریق می‌توانند در يک رديف به‌طور يک در ميان بشنینند؟


بايد در مكان اول و آخر افسر قرار گيرد چون تعداد افسران از تعداد سربازان بیشتر است.


بنابراين قرار گرفتن 5 افسر در پنج مكان مشخص شده (اول، سوم، پنجم، هفتم، نهم) به !5 طريق امكان پذير است.


به‌همين ترتيب قرار گرفتن 4 سرباز در چهار مكان موجود (مكان دوم، چهارم، ششم، هشتم) در بين افسرها به !4 طريق صورت می‌گيرد.


بنابراين تعداد حالت های ممكن طبق اصل ضرب برابر است با:


5!×4!

تمرین

سه دانش آموز و سه دانشجو در یک مسابقه علمی حضور دارند.

به چند طریق می‌توانند در يک رديف به‌طور يک در ميان بشنینند؟


در اين حالت چون تعداد دانش آموزان و دانشجویان برابر است، پس در مكان اول هر نوع می‌تواند قرار گيرد.


لذا ممكن است در مكان اول دانش آموز قرار گيرد و در مكان دوم دانشجو و ... كه اين عمل به تعداد روش‌های زیر امكان پذير است.


3!×3!


ممكن است در مكان اول دانشجو و در مكان دوم دانش آموز و ... قرار گيرد، عمل اخير نيز به تعداد روش‌های زیر امكان‌پذير است:

3!×3!


طبق اصل جمع داريم:


(3!×3!)+(3!×3!)=2×3!×3!

تمرین

با ارقام 9,8,7,6,5,4,3,1 چند عدد هشت رقمی می‌توان تشكيل داد به‌طوری كه:

اعداد اول در كنار هم قرار گيرند؟

اعداد اول موجود در بين اين 8 رقم عبارتند از:


(7,5,3)


اين اعداد اول را در درون يک جعبه قرار می‌دهيم و 5 عدد باقی مانده را با اين جعبه به‌عنوان6 شی در نظر می‌گيريم.


جايگشت اين 6 شی برابر !6 می‌باشد.


از طرفی 3 عدد موجود در جعبه نيز به !3 روش می‌توانند كنار هم قرار گيرند.


طبق اصل ضرب داریم:


3!×6!


عدد 8 رقمی با ارقام فوق ساخته می‌شود كه اعداد اول در آنها كنار هم می‌باشند.

تمرین

پنج پسر و چهار دختر اعضای يک خانواده‌اند و می‌خواهند عكس دسته جمعی بياندازند.

به چند طريق می‌توانند در يک صف بايستند.

9!

در چند تا از اين حالات پسرها پهلوی هم قرار دارند (يعنی هيچ دختری بين پسرها نيست)

چون می‌خواهيم پسرها پهلوی هم باشند، پسرها را طناب پيچ كرده و يک شی محسوب می‌كنيم.


بنابراين 4 دختر و يک شی طناب پيچ شده داريم كه !5 می‌توانند در يک رديف قرار گيرند.


در هر يک از اين حالات پسرها هم به !5 كنار هم قرار می‌گيرند:


طبق اصل ضرب داریم:


5!×5!

در چند تا از اين حالات پسرها و دخترها جداگانه پهلوی هم قرار دارند. (يعنی هيچ دختری بين پسرها و هيچ پسری بين دخترها نيست)

پسرها و دخترها را جداگانه طناب پيچ می‌کنیم.


پس عملا دو شی داريم كه به !2 جابه‌جا می‌شوند.


پسرها به !5 و دخترها به !4 کنار هم قرار می‌گیرند.


طبق اصل ضرب داریم:


2!×5!×4!

در چند حالت پسرها و دخترها يک در ميان كنار هم قرار می‌گيرند.

برای اين‌كه يک در ميان كنار هم بايستند، ابتدا با يک پسر شروع می‌كنيم.


BGBGBGBGB


پسرها در مکان‌های B به !5 و دخترها در مكان‌های G به !4 می‌توانند جابه‌جا شوند.


طبق اصل ضرب داریم:


5!×4!

تمرین

افراد يک خانواده متشكل از پدر و مادر و دو خواهر و سه برادر می‌خواهند در كنار هم عكس يادگاری بگيرند.

اين عمل به چند طريق امكان پذير است، مشروط بر آن كه:

پدر و مادر در كنار هم و خواهرها در كنار هم و برادرها در كنار هم قرار گيرند.

3!×3!×2!×2!

پدر و مادر در كنار هم و خواهرها نيز در كنار هم باشند.

5!×2!×2!

برادرها در كنار هم باشند.

5!×3!

تمرین

سه كتاب متمايز رياضی و چهار كتاب متمايز ادبی را به چند طريق می‌توان در يک قفسه كنار هم قرار داد به‌طوری كه:

كتاب‌های رياضی همواره كنار هم باشند؟

كتاب‌های رياضی را طناب پیچ کرده و يک شی در نظر می‌گیریم.


اين یک شی همراه با 4 كتاب متمايز ادبی، 5 شی را تشكيل می‌دهند كه به !5 می‌توانند در كنار هم قرار گيرند.


از طرفی داخل شی طناب پیچ شده كه سه كتاب متمايز دارد خود به !3 می‌‌توانند در كنار هم قرار گيرند.


طبق اصل ضرب داريم:


5!×3!

تمرین

قرار است در جلسه‌ای چهار نفر سخنرانی كنند.

به چند طريق ممكن است شخص b بلافاصله بعد از a صحبت كند؟

چون شخص b بلافاصله بعد از a صحبت می‌كند پس (ab) را به‌عنوان يک شی در نظر می‌گيريم.


به‌همراه دو نفر ديگر روی هم سه شی خواهند بود و به !3 طريق ممكن است جابه‌جا شوند.

تمرین

قرار است پنج نفر در جلسه‌ای سخنرانی كنند:

به چند طريق ممكن است شخص B بلافاصله بعد از A صحبت كند؟

اگر شخص B بلافاصله بعد از A صحبت كند می‌توانيم (AB) را به‌عنوان يک شی در نظر بگيريم.


به‌همراه سه نفر ديگر روی هم چهار شی خواهند بود و به !4 ممكن است جابه‌جا شوند.

به چند طريق ممكن است شخص B بعد از شخص A صحبت كند؟

اين 5 نفر به !5 طريق می‌توانند سخنرانی كنند.


در نيمی از اين تعداد B بعد از A و در نيمی ديگر B قبل از A صحبت می‌كند.


تعداد حالاتی كه ممكن است B بعد از A صحبت كند:


5!2=60

تمرین

به چند طريق سه سرباز و دو افسر می‌توانند در يک رديف بايستند، به‌طوری که:

افسرها در كنار هم باشند؟

افسرها را در کنار هم یک شی به حساب می‌آوریم.


این یک شی به همراه 3 سرباز دیگر روی هم 4 شی را تشکیل می‌دهند که به !4 طریق می‌توانند در کنار هم قرار گیرند. 


از طرفی افسرها را که به‌عنوان یک شی در نظر گرفته شده‌اند به !2 طریق می‌توانند کنار هم قرار گیرند.


بر اساس اصل ضرب داریم:


4!×2!

تمرین

چهار زوج (زن و مرد) به چند طريق می‌توانند در يک رديف بنشينند، در صورتی كه:

هر زوج پهلوی هم باشند؟

هر زوج را به‌عنوان یک شی به‌حساب می‌آوریم.


بنابراین 4 شی داریم که به !4 طریق می‌توانند در یک ردیف جابه‌جا شوند.


ضمنا هر زوج خود به !2 طریق جابه‌جا می‌شوند. 


طبق اصل ضرب داریم:


4!×2!×2!×2!×2!=384

تمرین

پنج دانش آموز با نام‌های زیر حضور دارند:

A,B,C,D,E

به چند طريق می‌توان پنج دانش آموز را در يک نيمكت كنار هم قرار داد، به‌طوری كه:

A,D كنار هم باشند؟

(AD) را به‌عنوان یک شی به‌حساب می‌آوریم.


بنابراین 4 شی داریم که به !4 می‌توانند در یک نیمکت کنار هم قرار گیرند.


ضمنا (AD) خود به !2 جابه‌جا می‌شوند.


طبق اصل ضرب داریم:


2!×4!

A,D كنار هم نباشند؟

می‌دانیم این 5 دانش آموز به !5 روش روی یک نیمکت کنار هم قرار می‌گیرند.


بنابراین اگر تعداد حالت‌هایی را که A و D در کنار هم قرار دارند را از !5 کم کنیم، تعداد حالت‌های مطلوب به‌دست می‌آید.


5!(2!×4!)

دریافت مثال

نکته

1- تعداد جایگشت n شی متمایز که r شی معین، کنار هم قرار دارند برابر است با:

r!(nr+1)!

2- تعداد جایگشت n شی متمایز که r شی معین، کنار هم قرار ندارند برابر است با:

n!r!(nr+1)!

تمرین

پنج مهره سياه  متمايز و چهار مهره سفيد متمايز را به چند طريق می‌توان در يک رديف قرار داد به طوری كه در ابتدا و انتهای صف، مهره ها هم‌رنگ نباشند؟

پیمان گردلو


بنابراين تعداد حالت های ممكن برابر است با:

4×7!×5+5×7!×4=20×7!+20×7!=40×7!

تمرین

با حروف كلمه BARAN چند كلمه سه حرفی می‌توان ساخت به‌طوری كه:

حروف B,R,N حداكثر يک بار و حرف A حداكثر دو بار در هر كدام ظاهر شوند؟

سه نوع کلمه سه حرفی، با شرایط خواسته شده وجود دارد.


نوع اول) کلماتی که در آن هیچ A ای به کار نرفته است.


تعداد این کلمات برابر است با تعداد تبدیلات سه حرف R،N،B یعنی !3 


نوع دوم) کلماتی که در آن فقط یک A به کار رفته است.


به سه طریق می‌توان این A را در یکی از سه مکان اول، دوم، سوم گذاشت که دو جا می‌ماند که به 3×2 طریق می‌توان با سه حرف R،N،B پر کرد.



طبق اصل ضرب داریم:


3×3×2=18


نوع سوم) کلماتی را که در آنها دو A به کار رفته است.


به سه روش می‌توان دو تا A را در این سه جا قرار داد، جای سوم را هم به سه روش با حروف N،R،B می‌توان پر کرد.


بنابر اصل ضرب داریم:


3×3=9


طبق اصل جمع داریم:


3!+18+9=33

دریافت مثال

تعداد جایگشت n شی متمایز در یک صف دایره‌ ای

قضیه

تعداد جایگشت n شی متمایز که در یک صف دایره‌ای قرار گرفته‌اند، برابر است با:

(n1)!

اثبات

در یک صف دایره‌ای مکان اول، دوم و .... معنی ندارد، یعنی جای قرار گرفتن اشیا اهمیتی ندارد، بلکه قرار گرفتن هر شی در میان دو شی دیگر مهم است.

برای محاسبه تعداد جایگشت n شی متمایز در یک صف دایره‌ای، کافی است جای یک شی را ثابت نگه داریم و n-1 شی باقیمانده را به (n1)! روش جابه‌جا کنیم. 

تمرین

به چند طريق هفت نفر می‌توانند دور يک ميز گرد، بنشينند؟

نفر اول می‌تواند دور ميز گرد و هر مكانی بنشيند، آن‌گاه شش نفر ديگر به تعداد حالات زیر می‌توانند دور يک ميز گرد، بنشينند:

6×5×4×3×2×1=6!

به چند طريق پنج دانشجو و پنج دانش آموز را می‌توان يک در ميان دور يک ميز نشاند؟

5 دانشجو را به 5-1!=4! روش می‌توان دور يک ميز نشاند.

چون بين هر دو دانشجو بايد يک دانش آموز قرار گيرد 5 مكان برای قرار دادن 5 نفر وجود دارد كه اين عمل به 5! روش صورت می‌گيرد.


طبق اصل ضرب، تعداد حالت های ممكنه برابر است با:


5!×4!

تمرین

n نفر به چند طريق می‌توانند دست‌های خود را به‌هم داده و يک حلقه تشكيل دهند.

وقتی افراد دست‌های خود را به‌هم داده و حلقه تشکیل می‌دهند، پس از تشکیل حلقه، حلقه جدیدی به‌دست نمی‌آید. 


با دوران حلقه پس از تشکیل حلقه، یکی از افراد را در جای ثابتی قرار می‌دهیم.


بنابراین تعداد شکل‌های مختلف حلقه برابر تعداد حالاتی می‌باشد که (n-1) عنصر دیگر می‌توانند در کنار هم قرار بگیرند پس این تعداد !(n-1) است.

با n مهره متمايز همگن به چند طريق می‌توان يک دستبند درست كرد؟

فرق این مثال با مثال قبلی آن است که در حلقه مهره‌ها،با وارونه کردن هر حلقه، حلقه‌ای دیگر به‌دست می‌آید.


مانند دو حلقه زیر که با وارون کردن هر کدام، دیگری به‌دست می‌آید.



پس تعداد حالات، نصف تعداد حالات ممکنه درتمرین قبل است:


n-1!2

با هفت مهره متفاوت چند گردان بند مختلف هفت مهره‌ای می‌توان ساخت؟

7 مهره را به !(1-7) طریق می‌توان در یک صف دایره‌ای چید.


گردن بند، صف دایره می‌باشد که پشت و روی آن یک‌سان است.


بنابراین حالت‌ها برابر زیر می‌شود:


7-1!2=360

تمرین

افراد يک خانواده متشكل از پدر و مادر و دو خواهر و سه برادر می‌خواهند در کنار هم يک عكس يادگاری بگيرند.

اگر اين افراد بخواهند يک حلقه تشكيل دهند به‌طوری كه پدر و مادر در كنار هم و خواهرها در كنار هم و برادرها در كنار هم واقع شوند:

این عمل به چند طريق امكان پذير است؟

3-1!2!×2!×3!

دریافت مثال

جایگشت با اشیای تکراری

قضیه

جایگشت n شی که شامل k نوع می‌باشند، به‌طوری‌که m1 تا از این n شی از نوع اول،  m2 تا از این n شی از نوع دوم و ....و  mk تا از این n شی از نوع kام باشند و i=1kmi=n آن‌گاه:   

n!m1!×m2!××mk!

اثبات

می‌دانیم جایگشت n شی متمایز n! است ولی چون m1 تا از این اشیا، از یک نوع می‌باشند پس در n! حالت یک شی m1 بار تکرار شده است و چون این اشیا به m1! می‌توانند در یک ردیف بین خود جابه‌جا شوند لذا m1! از n! حالت یکسان است.      

به‌همین ترتیب شی نوع دوم m2 بار تکرار شده، لذا m2! از n! حالت یکسان می‌باشد.   

بنابراین اگر تا شی kام بررسی را انجام دهیم، تعداد جایگشت های n شی برابر است با: 

n!m1!×m2!××mk!

تمرین

چند عدد ده رقمی می‌توان با ارقام زیر نوشت:

2,2,3,3,3,3,5,5,5,5

دو شی از عدد 2 داریم یعنی m1=2.


چهار شی از عدد 3 داریم یعنی m2=4.


چهار شی از عدد 5 داریم یعنی m3=4.

n=m1+m2+m3=10n!m1!m2!m3!=10!2!×4!×4!

تمرین

کلمه SUCCESSFUL را در نظر بگیرید.

با حروف این كلمه چند كلمه بی‌معنی يا با‌معنی می‌توان نوشت؟

3 شی از حرف S داریم m1=3  


2 شی از حرف U داریم m2=2  


2 شی از حرف C داریم m3=2


1 شی از حرف E داریم m4=1 


1 شی از حرف F داریم m5=1


1 شی از حرف L داریم m6=1


n=m1++m6=10


n!m1×m2××m6=10!3!×2!×2!×1!×1!×1!=10!3!×2!×2!

تمرین

چهار پرچم قرمز مشابه، سه پرچم سفيد مشابه و يک پرچم موجود است.

هر علامت شامل هشت پرچم بر افراشته به صورت عمودی است.  

چند علامت مختلف می‌توان ایجاد کرد.

4 شی از پرچم قرمز داریم m1=4  


3 شی از پرچم سفیدداریم m2=3  


1 شی از پرچم آبی داریم m3=1


n=m1+m2+m3=7


n!n1!×n2!×n3!=8!4!×3!×1!=280

تمرین

تعداد جايگشت های متمايزی را به‌دست آوريد كه می‌توان از تمام حرف‌های كلمات زير تشكيل داد.

THEM

چهار حرف وجود دارد که هیچ‌کدام تکراری نیستند.

4!

THAT

2 شی از حرف T داریم m1=2


1 شی از حرف H داریم m2=1


1 شی از حرف A داریم m3=1


n=m1+m2+m3=4


n!m1!×m2!×m3!=4!2!×1!×1!

RADAR

2 شی از حرف R داریم m1=2


2 شی از حرف A داریم m2=2


1 شی از حرف D داریم m3=1


n=m1+m2+m3=5


n!m1!×m2!×m3!=5!2!×2!×1!

تمرین

کلمه MISSISSIPPI را در نظر بگیرید:

تعداد جايگشت هايی را به‌دست آوريد كه می‌توان از تمام حرف‌های كلمه فوق تشكيل داد.

1 شی از حرف M داریم m1=1


4 شی از حرف I داریم m2=4


4 شی از حرف S داریم m3=4


2 شی از حرف P داریم m4=2


n=m1+m2+m3+m4=11


n!m1!×m2!×m3!×m4!=11!1!×4!×4!×2!

اگر خواسته باشيم كلمه‌ها با حرف I شروع شوند آن را از نو حل كنيد.

اگر اولین مکان با I پر شود.


ده مکان باقی مانده باید با یک تا M، سه تا I، چهار تا S، و دو تا P پر شود.


1 شی از حرف M داریم m1=1


3 شی از حرف I داریم m2=3


4 شی از حرف S داریم m3=4


2 شی از حرف P داریم m4=2


n=m1+m2+m3+m4=10


n!m1!×m2!×m3!×m4!=10!1!×3!×4!×2!

اگر خواسته باشيم كلمه‌ها با S شروع شده و با S به پايان برسند، آن را از نو حل کنید.

حرف اول و آخر با S پر می‌شوند.


توجه کنید که فقط 9 مکان باقی می‌ماند.


1 شی از حرف M داریم m1=1


4 شی از حرف I داریم m2=4


2 شی از حرف S داریم m3=2


2 شی از حرف P داریم m4=2


n=m1+m2+m3+m4=9


n!m1!×m2!×m3!×m4!=9!1!×4!×2!×2!

اگر خواسته باشيم دو تا P در كنار يک‌ديگر باشند، آن را از نو حل كنيد.

ده حالت برای قرار دادن دو تا P در کنار یک‌دیگر وجود دارد، حرف اول و دوم یا حرف دوم و سوم یا .... حرف دهم و یازدهم که مجموعا 10 حالت می‌شود.


توجه کنید که فقط 9 مکان باقی می‌ماند.


1 شی از حرف M داریم m1=1


4 شی از حرف I داریم m2=4


4 شی از حرف S داریم m3=4


0 شی از حرف P داریم m4=0


n=m1+m2+m3+m4=9


دو تا P کنار هم را طناب پیچ می‌کنیم و به نه حرف دیگر، 10 حرف داریم.

10×n!m1!×m2!×m3!×m4!=10×9!1!×4!×4!

تمرین

سه لامپ قرمز، چهار لامپ زرد، دو لامپ آبی موجود است.

به چند طريق می‌توان آنها را در يک سيم چراغانی آويزان كرد؟

3 لامپ قرمز داریم m1=3


4 لامپ زرد داریم m2=4


2 لامپ آبی داریم m3=2


n=m1+m2+m=9


n!m1!×m2!×m3!=9!3!×4!×2!

تمرین

چند عدد شش رقمی وجود دارد به‌طوری که:

دارای سه رقم 2 ، دو رقم 3  و يک رقم 4  است.

6!3!×2!×1!

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

0,1,1,2,3

چند عدد پنج رقمی با ارقام فوق می‌توان نوشت؟ (تكرار مجاز نيست)

چون رقم 1 تکرار شده است لذا جایگشت این 5 رقم به تعداد زیر امکان پذیر است:


5!2!=60


اما از میان این 60 عدد 5 رقمی، تعدادی هستند که رقم 0 در آنها در مکان ده هزارگان قرار گرفته است، که عدد چهار رقمی محسوب می‌شوند.


بنابراین اگر تعداد اعداد چهار رقمی قابل تشکیل با ارقام 3، 2 ، 1 ، 1 را بیابیم و از عدد 60 کم کنیم تعداد اعداد 5 رقمی به‌دست می‌آید.


604!2!=6012=48

دریافت مثال

جایگشت r شی از n شی (تبدیل r تایی)

ترتیب قرار گرفتن r شی از n شی را جایگشت r شی از n شی یا تبدیل r تایی می‌نامند.

در تبدیل r تایی با جابه‌جا کردن r شی یک حالت جدید به دست می‌آید، به‌عبارت دیگر تقدم و تاخر اشیا اهمیت دارد.

تمرین

با استفاده از مجموعه S=a,b,c,d جایگشت های مختلفی را در زیر بررسی کنید:

جایگشت هایی از چهار حرف که تمام حرف‌ها در یک زمان انتخاب شده‌اند.

bdca  ,  dcba  ,  acdb

جایگشت هایی از چهار حرف که سه حرف در یک زمان انتخاب شده‌اند. 

bad  ,  adb  ,  cbd  ,  bca

جایگشت هایی از چهار حرف که دو حرف در یک زمان انتخاب شده‌اند.

ad  ,  cb  ,  da  ,  bd

تمرین

تمام جايگشت های حرفی a,b,c را به‌دست آوريد.

abc  ,  acb  ,  bac  ,  bca  ,  cab  ,  cba

دریافت مثال

قضیه

تعداد جایگشت های r تایی n شی که با نماد pn,r نمایش داده می‌شود و به‌صورت زیر است:

p(n,r)=n(n1)(n2)(nr+1)=n!(nr)!

اثبات

برای یافتن فرمول مربوط به تعداد جایگشت های n شی که در یک زمان r شی از آن انتخاب شده باشد: 

عضو اول در این جایگشت را می‌توان به n راه مختلف انتخاب کرد.

عضو دوم در این جایگشت را می‌توان به n-1 راه مختلف انتخاب کرد.

عضو سوم در این جایگشت را می‌توان به n-2 راه مختلف انتخاب کرد.

به‌همین ترتیب: 

عضو rام یعنی عضو آخر را در این جایگشت می‌توان با n(r1)=nr+1 راه مختلف انتخاب کرد. 

بنابر اصل شمارش:

p(n,r)=n(n1)(n2)...(nr+1)=n(n1)(n2)...(nr+1)(nr)!(nr)!=n!(nr)!

نکته

if   r=np(n,n)=n!(nn)!=n!0!=n!

یعنی n! تعداد جایگشت n شی است که تمام آنها در یک زمان انتخاب می‌شود.  

به عبارت دیگر داریم:

Pn,n=n×n1×n2××1=n!

تمرین

تعداد کلمه‌های سه حرفی با حروف متفاوت انگلیسی را محاسبه کنید. 

تعداد کلمات سه ‌حرفی r=3 که با حروف متفاوت انگلیسی n=26 می‌توان ساخت به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

Pn,r=n!nr!P26,3=26!263!P26,3=26!23!

P26,3=26×25×24×23!23!P26,3=26×25×24

تمرین

درون بشقابی یک سیب، یک پرتقال و یک انار گذاشته شده است.

اگر از بین شش نفر سه نفر به طرف بشقاب رفته و هر کدام یک میوه بردارند، به چند روش ممکن است سه میوه توزیع شده باشند؟

Pn,r=n!nr!P6,3=6!63!P6,3=6!3!

P6,3=6×5×4×3!3!P6,3=6×5×4P6,3=120

تمرین

کلمه COMPUTER را در نظر بگیرید.

نشان دهید تعداد جایگشت های پنج حرفی از حروف کلمه فوق که حرف اول، بی‌صدا باشد، برابر است با:

5P7,4

برای ساختن کلمه 5 حرفی نیاز به پنج مکان زیر است.



اگر حرف اول بی‌صدا باشد، فقط حروف C,M,P,T,R به پنج طریق می‌توانند در خانه‌ اول قرار گیرند:



بقیه‌ خانه‌ها به‌صورت زیر پُر می‌شوند.



5×7×6×5×4=4200


از طرفی داریم:


5P7,4=5×7!74!=5×7!3!


=5×7×6×5×4×3!3!=5×7×6×5×4=4200

تمرین

در یک مسابقه شطرنج، پنج شطرنج باز برتر شرکت کرده‌اند.

قرار است هر دو شطرنج باز یک بار با هم مسابقه بدهند.

هر شطرنج باز چند بازی انجام خواهد داد؟

5 شطرنج‌باز می‌خواهند دو به دو با هم شطرنج بازی کنند.


هر شطرنج‌باز 4 بازی انجام خواهد داد.

تعداد کل بازی‌ها چند تا است؟

تعداد کل بازی‌ها 10 تا می‌باشد.

اگر برای شرکت کنندگان شماره های 1 تا 5 را در نظر بگیریم، تمامی بازی‌ها را مشخص کنید.

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45

در کدام قسمت مساله، ترتیب اهمیت ندارد؟

در بازی‌های رو به رو ترتیب اهمیت ندارد، مثلا 21 و 12 یک حالت در نظر گرفته شده‌اند.

تمرین

می‌خواهیم تعداد زیر مجموعه های سه عضوی مجموعه زیر را پیدا کنیم.

1,2,3,......,9

تعدادی از آنها عبارتند از:

1,2,3,1,2,4,3,4,9

جلوی هر کدام از زیر مجموعه های فوق، تمام جایگشت های اعضا را می‌نویسیم.

1,2,3:123,132,213,231,312,321

1,2,4:124,142,214,241,412,421

در دو سطر فوق 2×6 جایگشت سه تایی نوشته شده است.

جلوی 3,4,9 چه جایگشت هایی نوشته می‌شوند؟

3,4,9:349  ,  394  ,  439  ,  493  ,  934  ,  943

زیر مجموعه سه عضوی دیگری در نظر گرفته و مشابه عمل بالا را برای آن انجام دهید.

5,6,8:568  ,  586  ,  658  ,  685  ,  856  ,  865

آیا ممکن است برای دو زیر مجموعه سه عضوی مختلف، دو جایگشت یک‌سان به‌دست آمده باشد؟

برای دو زیر مجموعه‌ 3 عضوی مختلف دو جایگشت یک‌سان به‌دست نمی‌آید.

اگر تعداد کل زیر مجموعه های سه عضوی را که فعلا برای ما مجهول است با a نشان دهیم، تعداد کل جایگشت های سه تایی متناظر با آنها که قسمتی از آن در ابتدای تمرین و بند (الف) و (ب) به دست آمده، برحسب a چه مقداری است؟

هر زیر مجموعه‌ 3 عضوی، تعداد 6 جایگشت تولید می‌کند.


اگر تعداد زیر مجموعه ‌های 3 عضوی را a فرض کنیم، بنابراین تعداد کل جایگشت ‌های 3 تایی متناظر با آن 6a می‌باشد.    


کل جایگشت ‌های 3 تایی متناظر با آن 6a می‌باشد.

تعداد جایگشت های سه تایی از اعضای 1,2,3,......,9 برابر P9,3  است و بنابراین a را بیابید.

P9,3=6aa=P9,36a= 9!93!6

a=9!6!×6a=9×8×7×6!6!×6a=9×8×76a=84

تمرین

تمام جایگشت های حروف کلمه water  را در نظر بگیرید.

تعداد آنها چندتا است؟

تمام جایگشت ‌های حروف کلمه‌ water را در نظر می‌گیریم، تعداد آنها !5 می‌باشد.

در چند تا دو حرف a و w کنار هم هستند؟

برای این‌که دو حرف a و w کنار هم باشند، این دو حرف را در یک جعبه قرار داده و یک شی محسوب می‌کنیم که با سه حرف دیگر روی هم چهار شی می‌باشند که به !4 می‌توانند جابه‌جا شوند.


ضمنا این دو حرف هم در جعبه به !2 جابه‌جا می‌شوند.


4!×2!

در چند تا دو حرف a و w کنار هم قرار ندارند؟

تمام حالت ها را از حالاتی که این دو حرف کنارهم هستند، کم می‌کنیم:


5!-4!×2!

تمرین

کلمه computer را در نظر بگیرید.

تعداد جایگشت های حروف کلمه فوق که در آن سه حرف o،m،c که به‌صورت com قرار گرفته باشند، چند تا است؟

com را در یک جعبه قرار داده و یک شی محسوب می‌کنیم که با 5 حرف دیگر روی هم شش شی می‌باشند که به !6 می‌توانند جابه‌جا شوند و درون جعبه هم جابه‌جا نمی‌شود.

تمرین

دو مجموع زیر را در نظر بگیرید:

A=1,2,.....,10B=1,2,.....,10

چند تابع یک به یک از مجموعه A به مجموعه B قابل تعریف است؟

یادآوری)  تعداد توابع یک به‌ یک از یک مجموعه‌ r عضوی به یک مجموعه‌ n عضوی برابر با جایگشت r تایی از n می‌باشد:


Pn,r=n!nr!    ;    nr


n=10r=10


P10,10=10!1010!=10!0!=10!1=10!

تمرین

چند عدد پنج رقمی زوج با ارقام متمایز داریم؟

با ارقام زیر می‌خواهیم اعداد 5 رقمی زوج با ارقام متمایز بسازیم:


0,1,2,...,9


برای آن‌که اعداد تشکیل‌ شده با ارقام داده‌ شده زوج باشند، باید در مکان یکان، یکی از اعداد زوج زیر قرار داده شود.


8,6,4,2,0


بنابراین رقم یکان باید از بین 5 رقم مذکور انتخاب شود.


از طرفی رقم ده‌ هزارگان نمی‌تواند رقم 0 باشد، پس دو حالت پیش می‌آید:


حالت اول)
رقم یکان 0 است. (یک حالت)


بنابراین رقم‌ های دهگان، صدگان، هزارگان، ده‌ هزارگان می‌توانند به ترتیب‌های زیر پُر شوند. (تکرار مجاز نیست)



طبق اصل ضرب داریم:


6×7×8×9×1=3024


حالت دوم)
رقم یکان صفر نیست. (2یا4یا6یا8)است یعنی چهار حالت و رقم ده‌هزارگان هم نمی‌تواند صفر باشد. 


پس مکان ده‌ هزارگان با 8 حالت و بقیه مکان‌ها به‌صورت زیر پُر می‌شود.



8×8×7×6×4=10752


از مجموع حالت اول و دوم تعداد اعداد 5 رقمی با ارقام متمایز، محاسبه می‌شود:


3024+10752=13776

تمرین

در یک شرکت که 25 عضو دارد قرار است یک رئیس، یک منشی و یک خزانه‌دار انتخاب شوند.

اگر هر عضو فقط در حداکثر یکی از این سمت‌ها بتواند باشد:

به چند طریق می‌توان انتخاب آنها را انجام داد؟

تعداد جایگشت ‌های 3 شی از 25 شی متمایز را محاسبه می‌کنیم:


P25,3=25!253!=25!22!


=25×24×23×22!22!=25×24×23=13800

تمرین

به چند طریق می‌توان چهار کتاب مختلف ریاضی و سه کتاب مختلف فیزیک را در یک قفسه کنار هم چید به‌طوری که: 

کتاب‌های فیزیک همگی کنار هم باشند؟

سه کتاب فیزیک همگی کنار هم هستند.


این سه کتاب را در یک جعبه قرار می‌دهیم و یک شی محسوب می‌کنیم که با چهار کتاب مختلف ریاضی روی هم پنج شی متمایز داریم که به !5  می‌توانند جابه‌جا شوند.


ضمنا کتاب‌های فیزیک هم در جعبه به !3 جابه‌جا می‌شوند.


طبق اصل ضرب داریم:


5!×3!=120×6=720

تمرین

در یک سالن دو ردیف صندلی و هر ردیف ده صندلی وجود دارد.

مشخص کنید به چند طریق شش دانش آموز اول دبیرستان، سه دانش آموز دوم و چهار دانش آموز سوم دبیرستان می‌توانند روی آنها بنشینند به‌طوری که:

اولی‌ها در ردیف اول و دومی‌ها در ردیف دوم باشند؟

6 دانش‌آموز اول دبیرستان به روش‌های زیر می‌توانند در ردیف اول بنشیند. (در این حالت در ردیف اول 4 صندلی خالی می‌ماند.)


p10,6


3 دانش‌آموز دوم دبیرستان به روش‌های زیر می‌توانند در ردیف دوم بنشیند. (در این حالت در ردیف دوم 7 صندلی خالی می‌ماند.)


p10,3


4 دانش‌آموز سوم دبیرستان به روش‌های زیر می‌توانند در ردیف‌های اول و دوم بنشیند.


p4+7,4


طبق اصل ضرب داریم:


p10,6×p10,3×p11,4

تمرین

محاسبات زير را انجام دهيد.

p7,3

pn,r=n!nr!=7!4!

p5,7

چنین جایگشتی تعریف نشده است زیرا r نمی‌تواند بزرگ‌تر از n باشد.

p6,2

pn,r برای اعداد منفی تعریف نشده است.

تمرین

در تساوی های زیر، مقدار n را به‌دست آوريد.

pn,2=72

n!n2!=72


nn1=72n2n72=0n=9n=8


n=9 جواب قابل قبول می‌باشد.

pn,4=42pn,2

n!n4!=42n!n2!


nn1n2n3=42nn1


n2n3=42n25n+6=42


n25n36=0n9n+4=0n=9n=4


n=9 جواب قابل قبول می‌باشد.

2pn,2+50=p2n,2

2n!n2!+50=2n!2n2!


2nn1+50=2n2n12n22n+50=4n22n


2n2=50n=5n=5


n=5 جواب قابل قبول می‌باشد.

p2n,3=36pn,2

2n!2n3!=36n!n2!


2n2n12n22n3!2n3!=36nn1n2!n2!


2n2n12n2=36nn1


2n1=9n=5

pn+2,2=5n+5

n+2!n+22!=5n+5


n+2!n!=5n+5n+2n+1n!n!=5n+5


n+2n+1=5n+5n=3

تمرین

تعداد تبديل های x شی از پنج  شی، x برابر تعداد تبديل های x-1 شی از پنج شی می‌باشد.

x را به‌دست آورید.

p5,x=xp5,x15!5x!=x×5!6x!1!5x!=x6x!


6x!5x!=x6x5x!5x!=x


6x=xx=3

تمرین

اگر m!=40320  و تبديل a تايی از m، برابر 336 باشد.

مقدار زیر را به‌دست آورید.

ma!

m!ma!=336ma!=40320336ma!=120

تمرین

در عيد نوروز، هر عضو فاميل يک كارت برای عضو ديگر می‌فرستد.

اگر پستچی 156 كارت، تحويل دهد اين خانواده چند عضو دارد؟

اگر تعداد فامیل را n بگیریم، تعداد کارت‌هایی که رد و بدل می‌شود برابر است با:


pn,2=156n!n2!=156


nn1n2!n2!=156nn1=156n=13

تمرین

داوری در يک مسابقه می‌تواند مكان‌های اول، دوم، سوم را به هجده مسابقه دهنده بدهد.

به چند طریق این اتفاق صورت می‌گیرد؟

روش اول)



طبق اصل ضرب داریم:


18×17×16=4896


روش دوم)


n=p18,3=18!15!=18×17×16×15!15!=4896

تمرین

کلمه (جمشید) را در نظر بگیرید.

با حروف این كلمه، چند كلمه سه حرفی بامعنی يا بی‌معنی می‌توان نوشت؟

در جایگشت r شی از n شی:


pn,r=n!nr!=5!53!

=5×4×3×2!2!=5×4×3=60


یادآوری) 
اما توجیه تمرین فوق به شرح زیر است:


برای پر کردن مکان اول یک کلمه سه حرفی، می‌توان از 5 حرف موجود در کلمه (جمشید) استفاده کرد.


بنابراین پر کردن مکان اول به 5 روش امکان پذیر است.


اما برای پر کردن مکان دوم، باید از 4 حرف باقی مانده و برای مکان سوم نیز باید از 3 حرف دیگر استفاده نمود.



لذا طبق اصل ضرب، تعداد کلمه‌های 3 حرفی بامعنی و بی‌معنی که می‌توان با حروف کلمه جمشید ساخت برابر است با:


3×4×5=60

تمرین

جعبه‌ای حاوی ده لامپ روشنايی است.

تعداد نمونه‌های مرتب به‌اندازه سه با جای‌گذاری بنویسید.

n=103=10×10×10=1000

تعداد نمونه‌های مرتب به‌اندازه سه بدون جای‌گذاری بنویسید.

n=p10,3=10×9×8=720

تعداد نمونه‌های مرتب به‌اندازه چهار با جای‌گذاری بنویسید.

n=104=10000

تعداد نمونه‌های مرتب به‌اندازه پنج بدون جای‌گذاری بنویسید.

n=p10,5=10×9×8×7×6=5824

تمرین

کلمه (دانش‌آموز) را در نظر بگیرید.

با حروف این كلمه چند كلمه با‌معنی يا بی‌معنی می‌توان ساخت به‌طوری كه حروف نقطه‌دار در مكان‌های زوج قرار گيرند.

8 حرف در کلمه (دانش آموز) وجود دارد که 3 حرف آن نقطه‌دار می‌باشد، بنابراین:



در 4 مکان زوج (دایره‌های علامت دار) از 8 مکان، باید یکی از سه حرف نقطه‌دار قرار گیرد که این عمل به تعداد روش‌های زیر صورت می‌گیرید.


p4,3


پس از قرار گرفتن 3 حرف نقطه‌دار در سه مکان زوج، مابقی حروف یعنی 5 حرف باقی مانده به !5 روش قرار داده می شوند .


طبق اصل ضرب تعداد حالات ممکنه برابر است با:


p(4,3)×5!=4!(43)!×5!=4!×5!

دریافت مثال

قضیه

تعداد جایگشت های r تایی n شی که یک شی خاص در همه آنها موجود باشد، برابر است با:

r.p(n1,r1)

اثبات

قرار دادن آن شی خاص در یکی از r مکان موجود (برای جایگشت r تایی) به r روش صورت می‌گیرد.

بنابراین r-1 مکان دیگر باید با n-1 شی باقیمانده پر شوند، که جایگشت r-1 تایی n-1 شی است و برابر با p(n1,r1) لذا طبق اصل ضرب، تعداد جایگشت های مطلوب عبارت است از:

r.p(n1,r1)

نکته

به‌طور کلی تعداد جایگشت های r تایی n شی که در همه آنها k شی خاص موجود باشد، برابر است با:  

p(r,k)×p(nk,rk)    ;    (krn)

تمرین

کلمه (جمهوری) را در نظر بگیرید. 

چند كلمه چهار حرفی با حروف كلمه (جمهوری) می‌توان نوشت؟

تعداد تبديل های چهار شی از شش شی را می‌یابیم:

p6,4=6!64!=360

چند كلمه چهار حرفی با حروف كلمه (جمهوری) می‌توان تشكيل داد كه شامل حرف (ی) باشند؟

تعداد تبديل های r تایی n شی كه يک شی خاص در همه آنها موجود باشد، برابر است با:

r.p(n1,r1)=4.p61,41=4.p5,3

=4.5!53!=240

تمرین

کلمه Computer را در نظر بگیرید.

با حروف این كلمه چند كلمه پنج حرفی بامعنی يا بی‌معنی می‌توان نوشت كه در همه آنها حروف o,u به كار رفته باشد؟

روش اول) تعداد تبدیل های r تایی n شی که در همه آنها k شی خاص موجود باشد، برابر است با:


p(r,k)×p(nk,rk)    ;    krn


n=8r=5k=2


p(5,2)×p(82,52)=p(5,2)×p(6,3)=5×4×6×5×4


روش دوم)


قرار گرفتن 2 حرف u،o در 5 مکان از یک کلمه 5 حرفی به روش‌های  زیر می‌تواند صورت پذیرد:


p5,2


پس از آن، 3 حرف از 6=2-8 حرف باقی مانده انتخاب می‌گردد که این انتخاب را می توان به روش‌های زیر انجام داد:


p6,3


بنابراین طبق اصل ضرب تعداد حالت‌های ممکن برابر است با:


p5,2×6,3=5!3!×6!3!


=4×5×4×5×6=42×52×6

دریافت مثال

قضیه

تعداد جایگشت های r تایی n شی متمایز که فاقد k شی خاص می باشند، برابر است با: 

p(nk,r)    ;    (rnk)

اثبات

برای اثبات کافی است سوال را این‌گونه در نظر بگیریم که چند جایگشت r تایی می‌توان با n شی متمایز که فاقد k شی خاص است یعنی n-k تشکیل داد.

این عمل به p(nk,r) طریق امکان پذیر است. 

تمرین

با حروف كلمه (فارسی) چند كلمه سه حرفی، با معنی يا بی‌معنی می‌توان تشكيل داد كه فاقد حرف (س) باشند؟

با توجه به قضيه مطرح شده داريم:

n=5r=3k=1pnk,r=p51,3=p4,3=4!43!=24

تمرین

تساوی زیر را ثابت کنید.

pn,r=pn1,r+rpn1,r1

فرض کنیم n شی متمایز به‌صورت زیر داریم:


an  ,  ...  ,  a1


دو نوع تبدیل r تایی برای این n شی وجود دارد:


الف) تبدیل های r تایی n شی به‌طوری که فاقد شی خاصی، مانند a1 می‌باشند که تعداد آنها برابر با:


pn1,r


ب) تبدیل های r تایی n شی به‌طوری که همگی شامل شی خاصی مانند a1 می‌باشند که تعداد آنها برابر با:


rpn1,r1


طبق اصل جمع داریم:


pn,r=pn1,r+rpn1,r1

دریافت مثال

قضیه

تعداد توابع یک‌به‌یک از یک مجموعه r عضوی به یک مجموعه n عضوی برابر با جایگشت r تایی از n می‌باشد، یعنی:  

N=p(n,r)    ;    (n>r)

اثبات

دو مجموعه زیر را در نظر می‌گیریم:

A=a1  ,  a2  ,  ...  ,  arB=b1  , b 2  ,  ...  ,  bn

تابع یک‌ به‌ یک تابعی است که هر عضو از مجموعه A را با یک و فقط یک عضو از مجموعه B متناظر می‌کند.

به‌عبارت دیگر هیچ زوج مرتبی یافت نشود که مولفه‌های دومش با هم برابر باشند، بنابراین:  

اولین عضو مجموعه A با یکی از n عضو مجموعه B متناظر خواهد بود، برای این انتخاب n روش وجود دارد.   

دومین عضو مجموعه A با یکی از n-1 عضو باقیمانده مجموعه B متناظر می‌شود. 

به‌همین ترتیب rامین عضو مجموعه A با یکی از n-r+1 عضو باقیمانده مجموعه B متناظر می‌گردد.   

بنابراین طبق اصل ضرب تعداد توابع یک‌به‌یک از مجموعه r عضوی A به مجموعه n عضوی B برابر است با:   

p(n,r)=n(n1)(n2)(nr+1)=n(n1)(n2)(nr+1)(nr)!(nr)!=n!(nr)!

نکته

1- تعداد توابع یک‌به‌یک از یک مجموعه n عضوی به یک مجموعه n عضوی دیگر برابر n! است. 

p(n,n)=n!(nn)!=n!0!=n!1=n!

2- تعداد توابع یک‌به‌یک از یک مجموعه r عضوی به یک مجموعه n عضوی که r>n صفر می‌باشد.

تمرین

دو مجموعه زیر مفروض است:

A=a,b,cB=1,2,3,4

چند تابع يک به يک از مجموعه A به مجموعه B وجود دارد؟

p4,3=4!1!=24

تمرین

چند تابع يک به يک روی مجموعه A=a,b می‌توان تعريف كرد؟

تعداد توابع یک به یک از یک مجموعه n عضوی به یک مجموعه n عضوی برابر با !n


2!=2

تعداد توابع از يک مجموعه سه عضوی به يک مجموعه چهار عضوی كه يک به يک نباشد، چند تا است؟

تعداد کل توابع:


43=64


تعداد توابع یک به یک:


p(4,3)=4!(43)!=24


تعداد توابعی که یک به یک نباشد:


64-24=40

دریافت مثال

فرمول استرلینگ

وقتی n بزرگ است n! را می‌توان به‌وسیله عبارت زیر که فرمول استرلینگ خوانده می‌شود، تقریب کرد:

2πnnen

در این فرمول، e پایه لگاریتم طبیعی است.

تمرین

با استفاده از فرمول استرلینگ 10!را به طور تقریبی محاسبه کنید.

20π10e10=3/598/696

با استفاده از جدول، مقدار دقیق 10! چقدر است؟

با استفاده از جدول، مقدار دقیق 10! برابر است با 3/628/800   

درصد خطای محاسبه توسط فرمول استرلینگ چقدر است؟

3628800359869636288000/83%

تمرین

با استفاده از فرمول استرلینگ، مقدار اعداد زیر را محاسبه کنید. 

52!

52!104π52e528/052902017×1067

13!

13!26π13e136187239475

39!

39!78π39e392/035434435×1046

تمرین

با استفاده از فرمول استرلینگ تساوی زیر را ثابت کنید.

limn2nnπn22n=1

2nn=2n!n!2

2nnnπ22n=2n!nπ22nn!24πn2ne2n.πn22n2πnnen2=2n2n+1.e2n.π2n2n+1.e2n.π=1


بنابراین:


limn2nnnπ22n=1

خرید پاسخ‌ها

جایگشت (تبدیلات)

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید