کاربرد مشتق

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}{x}^3+1=2x^2-x+1\\ \\ \Rightarrow x^3-2x^2+x=0\\ \\ \Rightarrow x\left(x^2-2x+1\right)=0\end{array}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x^2-2x+1=0\Rightarrow {\left(x-1\right)}^2=0\Rightarrow x=1\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}ifx=0\Rightarrow y=1;A\left(0,1\right)\end{array}$

$ifx=1\Rightarrow y=2;B\left(1,2\right)$

معادله تقاطع یک ريشه ساده $x=0$ دارد و دو منحنی در نقطه $A$ هم‌دیگر را قطع می‌کنند.

معادله تقاطع یک ریشه مضاعف $x=1$ دارد و دو منحنی در نقطه $B$ بر هم مماس هستند.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}x+1=x+\sin x\\ \\ \Rightarrow \sin x=1\\ \\ \Rightarrow x=2k\pi +\frac{\pi }{2}\end{array}$

معادله تقاطع  بی شمار ريشه مضاعف دارد.

خط $d$ در بی شمار نقطه بر منحنی $C$ مماس است. 

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}mx+1=\frac{x^2+1}{x}\\ \\ \Rightarrow m{x}^2+x=x^2+1\\ \\ \Rightarrow \left(m-1\right)x^2+x-1=0\end{array}$

شرط این‌که خط، منحنی را قطع کند بایستی معادله تقاطع دارای ريشه ساده باشد:

$\begin{array}{l}\Delta >0\\ \\ \Rightarrow 1+4\left(m-1\right)>0\\ \\ \Rightarrow 4m>3\\ \\ \Rightarrow m>\frac{3}{4}\end{array}$

بایستی معادله تقاطع دارای یک ريشه مضاعف باشد:

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ \\ \Rightarrow 1+4\left(m-1\right)=0\\ \\ \Rightarrow m=\frac{3}{4}\end{array}$

معادله محور $x$ ها $y=0$ است:

$\left\{\begin{array}{l}y=\left(x-1\right)\left(x^2+ax+4\right)\\ y=0\end{array}\right.$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\left(x-1\right)\left(x^2+ax+4\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-1=0\Rightarrow x=1\\ x^2+ax+4=0\end{array}\right.$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$x^2+ax+4=0$

شرط ريشه مضاعف:

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ \\ \Rightarrow a^2-16=0\\ \\ \Rightarrow a=\pm 4\end{array}$

معادله محور $x$ ها $y=0$ است:

$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ y=\frac{x^2+ax+1}{x^2+2}\end{array}\right.$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\frac{x^2+ax+1}{x^2+2}=0\Rightarrow x^2+ax+1=0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ \\ \Rightarrow a^2-4=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow a^2=4\\ \\ \Rightarrow a=\pm 2\end{array}$

معادله محور $x$ ها $y=0$ است:

$\left\{\begin{array}{l}y=\left(x^2-1\right)\left(x^2-4x+m+2\right)\\ y=0\end{array}\right.$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4x+m+2\right)=0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

حالاتی را در نظر می‌گيريم كه اين معادله می‌تواند ريشه مضاعف داشته باشد.

حالت اول) معادله زیر باید دارای ریشه مضاعف باشد:

$\begin{array}{l}{x}^2-4x+m+2=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Delta =0\Rightarrow 16-4\left(m+2\right)=0\Rightarrow m=2\end{array}$

حالت دوم) ریشه های پرانتز اول را به‌دست می‌آوریم:

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

ریشه های فوق را در پرانتز دوم قرار می‌دهیم تا $m$ محاسبه شود:

$\begin{array}{l}{x}^2-4x+m+2=0\end{array}$

$ifx=1\Rightarrow 1-4+m+2=0\Rightarrow m=1$

$ifx=-1\Rightarrow 1+4+m+2=0\Rightarrow m=-7$

$m$ های به‌دست آمده را معادله زیر قرار می‌‌دهیم:

$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4x+m+2\right)=0$

$\begin{array}{l}ifm=1;\left(x^2-1\right)\left(x^2-4x+3\right)=0\Rightarrow \left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right]\left[\left(x-3\right)\left(x-1\right)\right]=0\end{array}$

$ifm=-7;\left(x^2-1\right)\left(x^2-4x-5\right)=0\Rightarrow \left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right]\left[\left(x-5\right)\left(x+1\right)\right]=0$

به‌ازای $m=1$ ریشه مضاعف $x=1$ تولید می‌شود.

به‌ازای $m=-7$ ریشه مضاعف $x=-1$ تولید می‌شود.

$m$ می‌تواند $-7,1,2$ باشد.

معادله محور $x$ ها $y=0$ است:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+2ax+3y+4=0\\ y=0\end{array}\right.$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^2+{\left(0\right)}^2+2ax+3\left(0\right)+4=0\Rightarrow x^2+2ax+4=0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ \\ \Rightarrow 4a^2-16=0\\ \\ \Rightarrow a=\pm 2\end{array}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x-1=m{x}^2\Rightarrow m{x}^2-x+1=0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\Delta =0\Rightarrow 1-4m=0\Rightarrow m=\frac{1}{4}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}2m{x}^2-2x=mx-1\\ \\ \Rightarrow 2m{x}^2-2x-mx+1=0\\ \\ \Rightarrow 2m{x}^2-x\left(m+2\right)+1=0\end{array}$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ \\ \Rightarrow {\left[-\left(m+2\right)\right]}^2-4\left(2m\right)\left(1\right)=0\\ \\ \Rightarrow {\left(m+2\right)}^2-8m=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow m^2+4m+4-8m=0\\ \\ \Rightarrow m^2-4m+4=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(m-2\right)}^2=0\\ \\ \Rightarrow m=2\end{array}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}\frac{a^3}{a^2+x^2}=1\\ \\ \Rightarrow a^2+x^2=a^3\\ \\ \Rightarrow x^2+\left(a^2-a^3\right)=0\end{array}$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ \\ \Rightarrow {\left(0\right)}^2-4\left(1\right)\left(a^2-a^3\right)=0\\ \\ \Rightarrow 4\left(a^3-a^2\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 4a^2\left(a-1\right)=0\\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=0\otimes \\ a=1\end{array}\right.\end{array}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$f\left(x\right)=f\left(x\right)\sin ax\Rightarrow \sin ax=1$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

چون معادله $\sin ax=1$ همواره ريشه مضاعف دارد پس دو نمودار بر هم در نقاط تقاطع مماس هستند.

$\left\{\begin{array}{l}ax=2k\pi +\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{2k\pi }{a}+\frac{\pi }{2a}\\ ax=2k\pi +\pi -\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{2k\pi }{a}+\frac{\pi }{2a}\end{array}\right.$

دو ريشه مساويند.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}x\sin \frac{1}{x}=x\\ \\ \Rightarrow \sin \frac{1}{x}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{1}{x}=2k\pi +\frac{\pi }{2}\\ \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2k\pi +\frac{\pi }{2}}\end{array}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^4=4x+k\Rightarrow x^4-4x-k=0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

توجه شود که مشتق معادله تقاطع، همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l}4x^3-4=0\Rightarrow x=1\end{array}$

$if{x}^4-4x-k=0\Rightarrow {\left(1\right)}^4-4\left(1\right)-k=0\Rightarrow k=-3$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^3-2x+2=x+m\Rightarrow x^3-3x+2-m=0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

توجه شود که مشتق معادله تقاطع، همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l}3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1\end{array}$

$\begin{array}{l}if{x}^3-3x+2-m=0\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\left(1\right)}^3-3\left(1\right)+2-m=0\Rightarrow 1-3+2-m=0\Rightarrow m=0\\ {\left(-1\right)}^3-3\left(-1\right)+2-m=0\Rightarrow -1+3+2-m=0\Rightarrow m=4\end{array}\right.\end{array}$

فرض کنیم اين خط به معادله $y=mx$ باشد:

$\left\{\begin{array}{l}y=mx\\ y=\sin x\end{array}\right.$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$mx=\sin x$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

توجه شود که مشتق معادله تقاطع، همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l}m=\cos x\end{array}$

$mx=\sin x\Rightarrow \left(\cos x\right)x=\sin x\Rightarrow x=\tan x$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}{x}^2+ax+b=\frac{2ax+b}{x^2+1}\\ \\ \Rightarrow \left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+1\right)=2ax+b\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x^4+a{x}^3+b{x}^2+x^2+ax+b=2ax+b\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow x^4+a{x}^3+\left(b+1\right)x^2-ax=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x\left[x^3+a{x}^2+\left(b+1\right)x-a\right]=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x^3+a{x}^2+\left(b+1\right)x-a=0\end{array}\right.\end{array}$

چون نمودارهای دو تابع در نقطه $x=1$ بر يک‌ديگر مماس هستند، یعنی طول این نقطه هم در معادله و هم در مشتق معادله، هم‌زمان صادق است:

$\begin{array}{l}{x}^3+a{x}^2+\left(b+1\right)x-a=0\Rightarrow {\left(1\right)}^3+a{\left(1\right)}^2+\left(b+1\right)\left(1\right)-a=0\Rightarrow b=-2\end{array}$

$3x^2+2ax+\left(b+1\right)=0\Rightarrow 3{\left(1\right)}^2+2a\left(1\right)+\left(b+1\right)=0\Rightarrow a=-1$

همان‌طورکه ملاحظه می‌شود معادله فوق به راحتی قابل بررسی نيست و نمی‌توان ريشه های آن را به‌دست آورد.

$x^4+x-1=0\Rightarrow x^4=1-x$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در دو نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^4\\ g\left(x\right)=1-x\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}x\sin x-1=0\\ \\ \Rightarrow x\sin x=1\\ \\ \Rightarrow \sin x=\frac{1}{x}\end{array}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در چهار نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin x\\ g\left(x\right)=\frac{1}{x}\end{array}\right.$

$\cos x-x^2=0\Rightarrow \cos x=x^2$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در دو نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\cos x\\ g\left(x\right)=x^2\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\sqrt{3}x-3\sin x=0\\ \\ \Rightarrow \sqrt{3}x=3\sin x\\ \\ \Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{3}}{3}x\end{array}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در سه نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin x\\ g\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}x\end{array}\right.$

$x^2-\sin x=0\Rightarrow x^2=\sin x$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در دو نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin x\\ g\left(x\right)=x^2\end{array}\right.$

$x^3-\cos x=0\Rightarrow x^3=\cos x$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در یک نقطه متقاطع هستند. 

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\cos x\\ g\left(x\right)=x^3\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}x-2\sin x=0\\ \\ \Rightarrow x=2\sin x\\ \\ \Rightarrow \frac{x}{2}=\sin x\end{array}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در سه نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x}{2}\\ g\left(x\right)=\sin x\end{array}\right.$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در سه نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=2^x\\ g\left(x\right)=x^2\end{array}\right.$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در هیچ نقطه ای متقاطع نیستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x}\\ g\left(x\right)=x+1\end{array}\right.$

جواب‌ های معادله را  با روش جبری، به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l}\sqrt{x}=x+1\\ \\ \Rightarrow {\left(\sqrt{x}\right)}^2={\left(x+1\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x=x^2+2x+1\\ \\ \Rightarrow x^2+x+1=0\end{array}$

معادله فوق ریشه‌ حقیقی ندارد، زیرا دلتای معادله منفی می‌باشد.

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در یک نقطه متقاطع هستند.

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x-1}\\ g\left(x\right)=x-3\end{array}\right.$