سرفصل‌های این مبحث

تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین

تعریف تقارن جبری

آخرین ویرایش: 14 دی 1402

دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} x + y = 1 \\ x^{3} + y^{3} = 19 \end{cases}$

فرض ‌کنیم به‌طریقی کشف کرده باشیم:

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 2 \end{cases}$

که این جواب در دستگاه صدق می‌کند، آیا می‌توانیم جواب دیگری از دستگاه را بشناسیم؟

در دو معادله دستگاه $x$ و $y$ نقشی یک‌سان دارند و هیچ‌کدام از آنها نسبت به‌دیگری، برتری یا کمبودی ندارد.

در این دستگاه $x$ و $y$ حقی برابر دارند، بنابراین تنها یکی از دو حالت ممکن است:

یا باید $x$ و $y$ برابر باشند.
یا اگر $x = a$ و $y = b$ جوابی از دستگاه باشد، به‌‏ناچار باید $x = b$ و $y = a$ جواب دیگری از دستگاه باشد.

به‌این ترتیب، وقتی می‌دانیم جواب $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 2 \end{cases}$ در معادلات دستگاه فوق صدق می‌کند، بلافاصله می‌توان نتیجه گرفت که:

$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$

که جواب دیگری از دستگاه است.

البته این بحث تضمین نمی‌کند که دستگاه جواب دیگری ندارد.

عباراتی هم‌چون عبارات زیر عباراتی متقارن نسبت به $x$ و $y$ گویند.

$x + y$

$x^{3} + y^{3}$

بنابراین اگر یک عبارت جبری نسبت به دو حرف، متقارن باشد به‌معنای آن است که نقش این دو حرف در عبارت جبری، یکی است.

تمرین

آيا عبارت زیر نسبت به $a, b, c$ متقارن است؟

$(a - b) (b - c) (c - a)$

اين عبارت متقارن نيست، ولی نسبت به $a, b, c$ يک عبارت دوری است، يعنی با تبديل $a$ به $b$ و $b$ به $c$ و $c$ به $a$ عبارت تغيير نمی‌كند.

تمرین

دستگاه سه معادله سه مجهول زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 8 \end{cases}$

يكی از جواب های این دستگاه عبارت است از:

$x = 1, y = - 1, z = 2$

آيا می‌توانيد جواب های ديگری از دستگاه را پيدا كنيد.

هريک از معادله های دستگاه نسبت به $x, y, z$ متقارن است.

وقتی كه يكی از جواب ها به‌صورت فوق باشد، بايد اين جواب ها را هم داشته باشيم:

$\begin{array}{l} (x = 1, y = 2, z = - 1) \\ (x = - 1, y = 1, z = 2) \\ (x = - 1, y = 2, z = 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} (x = 2, y = 1, z = - 1) \\ (x = 2, y = - 1, z = 1) \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعریف

یک عبارت جبری، نسبت به دو حرف یا دو مجهول متقارن است، وقتی که با تغییر جای این دو حرف یا این دو مجهول، خود عبارت جبری تغییر نکند.

عبارات زیر نسبت به دو حرف $a$ و $b$ متقارنند.

$a^{3} + b^{3}$

$a b$

$a + b + c^{3}$

توجه کنید که عبارت $a + b + c^{3}$ نسبت به دو حرف $a$ و $c$ یا نسبت به دو حرف $c$ و $b$ متقارن نیست.

به‌عنوان نمونه:

معادلات دستگاه $\{\begin{cases} x + y = 1 \\ x^{3} + y^{3} = 19 \end{cases}$ نسبت به دو متغیر $x$ و $y$ متقارنند.

اگر در هر کدام از این معادلات $x$ را به $y$ و $y$ را به $x$ تبدیل کنیم، به‌دستگاه زیر می‌رسیم:

$\{\begin{cases} y + x = 1 \\ y^{3} + x^{3} = 19 \end{cases}$

که با دستگاه $\{\begin{cases} x + y = 1 \\ x^{3} + y^{3} = 19 \end{cases}$ هیچ تفاوتی ندارد.

تمرین

معادله درجه دومی تشکیل دهید که هر یک از ریشه های آن، مکعب ریشه های معادله درجه دوم زیر باشد.

$a x^{2} + b x + c = 0$

روش اول)

می‌دانیم برای تشکیل معادله درجه دوم، باید مجموع $(S)$ و حاصل ضرب $(P)$ از دو ریشه را داشته باشیم.

با در دست داشتن $(S)$ و $(P)$ معادله درجه دوم به‌صورت زیر در خواهد آمد:

$x^{2} - S x + p = 0; (2)$

یک راه حل معادله این است که ریشه های معادله درجه دوم زیر را را به‌دست می‌آوریم:

$a x^{2} + b x + c = 0; (1)$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

سپس، هر یک از این ریشه ها را به توان سوم برسانیم تا ریشه های معادله مجهول به‌دست آید.

بعد مجموع و حاصل ضرب این دو ریشه را به‌دست آوریم و سرانجام برای رسیدن به معادله مجهول از برابری $(2)$ استفاده کنیم.

این راه حل اندکی طولانی و در نتیجه ملال آور است. با وجود این برای مقایسه با راه حل های دیگر، آن را ادامه دهیم:

$\begin{matrix} x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x_{1}^{3} = \frac{{(- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c})}^{3}}{8 a^{3}} \end{matrix}$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x_{2}^{3} = \frac{{(- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})}^{3}}{8 a^{3}}$

$\begin{matrix} x_{1}^{3} = \frac{- b^{3} + 3 b^{2} \sqrt{b^{2} - 4 a c} - 3 b (b^{2} - 4 a c) + (b^{2} - 4 a c) \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{8 a^{3}} = \frac{1}{2 a^{3}} [(- b^{3} + 3 a b c) + (b^{2} - a c) \sqrt{b^{2} - 4 a c}] \end{matrix}$

$x_{2}^{3} = \frac{1}{2 a^{3}} [(- b^{3} + 3 a b c) - (b^{2} - a c) \sqrt{b^{2} - 4 a c}]$

اگر ریشه های معادله مجهول را $y_{1}, y_{2}$ بنامیم:

$\begin{array}{l} S = y_{1} + y_{2} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = - \frac{b^{3} - 3 a b c}{a^{3}} \end{array}$

$P = y_{1} \cdot y_{2} = x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} = \frac{1}{4 a^{6}} [{(- b^{3} + 3 a b c)}^{2} - {(b^{2} - a c)}^{2} (b^{2} - 4 a c)] = \frac{c^{3}}{a^{3}}$

معادله درجه دوم مجهول چنین است:

$\begin{array}{l} y^{2} + \frac{b^{3} - 3 a b c}{a^{3}} y + \frac{c^{3}}{a^{3}} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow a^{3} y^{2} + (b^{3} - 3 a b c) y + c^{3} = 0$

روش دوم)

اگر مجهول معادله مطلوب را $y$ بنامیم، بنابه شرط مسئله باید داشته باشیم:

$y = x^{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{y}$

مقدار $x$ را در معادله قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} a \sqrt[3]{y^{2}} + b \sqrt[3]{y} + c = 0 \\ \Rightarrow (a \sqrt[3]{y^{2}} + b \sqrt[3]{y}) = - c \\ \Rightarrow {(a \sqrt[3]{y^{2}} + b \sqrt[3]{y})}^{3} = {(- c)}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{3} y^{2} + b^{3} y + 3 (a \sqrt[3]{y^{2}} \times b \sqrt[3]{y}) (a \sqrt[3]{y^{2}} + b \sqrt[3]{y}) = - c^{3}; (a \sqrt[3]{y^{2}} + b \sqrt[3]{y}) = - c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{3} y^{2} + b^{3} y + 3 a b y (- c) = - c^{3} \\ \Rightarrow a^{3} y^{2} + (b^{3} - 3 a b c) y + c^{3} = 0 \end{array}$

تمرین

آيا می‌توانيد بدون حل، جوابی از دستگاه زیر را پيدا كنيد؟

$\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

هر دو معادله دستگاه نسبت به $x, y$ متقارنند.

بنابراين احتمال دارد يكی از جواب های دستگاه با شرط $x = y$ به‌دست آيد.

$x = y = 4$

تمرین

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر داده شده است.

$\{\begin{cases} 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{2 y} = 5 \\ \frac{1}{\sqrt[6]{x}} + \frac{1}{\sqrt[6]{2 y}} = 3 \end{cases}$

می‌دانيم يكی از جواب های دستگاه، عبارت است از:

$x = \frac{1}{64}, y = \frac{1}{2}$

آيا می‌توانيد جواب ديگری از دستگاه را بنويسيد؟

اگر فرض كنيم $2 y = z$ دستگاه چنين می‌شود:

$\{\begin{cases} 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{z} = 5 \\ \frac{1}{\sqrt[6]{x}} + \frac{1}{\sqrt[6]{z}} = 3 \end{cases}$

دستگاه فوق، نسبت به $x, z$ متقارن است.

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{64} \\ y = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 1 \\ z = \frac{1}{64} \Rightarrow y = \frac{1}{128} \end{cases}$

تمرین

برابری زیر معادله است يا اتحاد؟

$(x + y + 2) (x y + 2 x + 2 y) - 2 x y = (x + y) (x + 2) (y + 1)$

سمت چپ برابری نسبت به $x, y$ متقارن و سمت راست آن، نسبت به همين دو حرف نامتقارن است.

بنابراين اين برابری نمی‌تواند يک اتحاد باشد و معادله است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعمیم مفهوم تقارن و ویژگی‌ های آن

تا این‌جا از عبارات جبری سخن گفتیم که نسبت به دو حرف متقارن بودند و دیدیم:

عبارتی نسبت به دو حرف متقارن است که اگر در آن، جای دو حرف را با هم عوض کنیم، تغییری در عبارت به‌وجود نیاید.

در واقع عبارت $f (x_{1}, x_{2})$ وقتی نسبت به $x_{1}$ و $x_{2}$ متقارن است که داشته باشیم:

$f (x_{1} x_{2}) = f (x_{2}, x_{1})$

اکنون به تعریف کلی یک عبارت متقارن می‌پردازیم:

عبارت جبری $f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ را نسبت به $n$ متغیر $x_{n}, ..., x_{2}, x_{1}$ متقارن گوییم وقتی که با تبدیل هر دو متغیر دل‌خواه $x_{i}$ و $x_{j}$ به‌یکدیگر، عبارت تغییر نکند.

عبارات زیر نسبت به سه حرف $c, b, a$ متقارنند:

$\begin{array}{l} a + b + c \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b c \end{array}$

$\begin{array}{l} a b + b c + c a \end{array}$

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

در هریک از این عبارات، اگر $a$ به $b$ یا $a$ به $c$ یا $b$ به $c$ تبدیل شوند، دوباره همان عبارت اصلی به‌دست می‌آید.

هم‌چنین عبارت زیر نسبت به چهار حرف $d, c, b, a$ متقارن است.

$\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}} - 2 a b c d$

نکته

1- اگر در عبارت جبری $f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ ، $x_{1}$ به $x_{2}$ و $x_{2}$ به $x_{3}$ و ... و $x_{n - 1}$ به $x_{n}$ و در آخر $x_{n}$ به $x_{1}$ تبدیل کنیم.

به‌عبارت $f (x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}, x_{1})$ می‌رسیم که آن را تبدیل دوری عبارت اصلی گویند.

2- اگر یک عبارت ضمن تبدیل دوری تغییر نکند، گوییم یک دور (سیکل) تشکیل داده است و با یک عبارت دوری سرو کار داریم.

به‌عنوان نمونه:

عبارت $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ یک عبارت دوری است زیرا تبدیل دوری آن بر خودش منطبق می‌شود.

$\frac{a}{b} \to \frac{b}{c} \to \frac{c}{a}$

در ضمن هر عبارت متقارن، یک عبارت دوری است.

به‌عنوان نمونه:

چندجمله‌ای $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z$ نسبت به $z, y, x$ متقارن و بنابراین دوری است.

3- یک عبارت دوری ، ممکن است متقارن نباشد.

چندجمله‌ای $a b + b c + d a + d c$ نسبت به چهار $d, c, b, a$ یک چندجمله‌ای دوری است در حالی که نسبت به همین حرف‌ها متقارن نیست.

تمرین

اگر $R$ طول شعاع دایره محیط بر مثلث $S$ مقدار مساحت و $c, b, a$ طول ضلع‌های آن باشند، آیا رابطه زیر می‌تواند درست باشد؟

$R = \frac{2 S}{a + b - c}$

دایره محیطی مثلث و در نتیجه طول شعاع آن نسبت به‌هیچ کدام از سه ضلع مثلث، موقعیت ممتازی ندارد.

بنابراین $R$ باید نسبت به سه ضلع $c, b, a$ متقارن باشد.

رابطه صورت مساله نسبت به $c, b, a$ متقارن نیست و در نتیجه نمی‌تواند درست باشد.

خرید پاسخ‌ها

تعریف تقارن جبری

2,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن ‌های جبری و ضرایب نامعین

تعریف تقارن جبری

مقدمه

تعریف

تعمیم مفهوم تقارن و ویژگی‌ های آن

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟