سرفصل‌های این مبحث

جز صحیح (براکت)

جز صحیح و قوانین آن

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402

دسته‌بندی: جز صحیح (براکت)

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

تعریف جزء‌صحیح یا براکت

می‌دانیم هر عدد حقیقی مانند $x$ را می‌توان به صورت مجموع یک عدد صحیح مانند $n$ که $(n \in ℤ)$ و یک عدد اعشاری مثبت مانند $p$ که $(0 \leq p < 1)$ نوشت، به‌طوری که:

$x = n + p; \{\begin{cases} n \in ℤ \\ 0 \leq p < 1 \end{cases}$

در این‌صورت:

عدد $n$ را جزء‌صحیح یا براکت نامیده و آن را معمولا با نماد $[x]$ نمایش می‌دهند.
عدد $p$ را جزء‌اعشاری $x$ می‌نامند و آن را با نماد $\{x\}$ نمایش می‌دهند، بنابراین:

$x = n + p = [x] + \{x\}$

تذکر

براکت هر عدد حقیقی، یک عدد صحیح می‌باشد و هیچ‌وقت برابر عدد کسری یا رادیکالی نخواهد بود.

تمرین

اعداد حقیقی زیر را به صورت یک جزء صحیح و یک جزء اعشاری، می‌نویسیم:

$x = 2.5$

$x = 2 + 0.5$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [x] = [2.5] = 2; 2 \in ℤ \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \{x\} = \{2.5\} = 0.5; 0 \leq 0.5 < 1 \end{array}$

$x = 9.57$

$x = 9 + 0.57$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [x] = [9.57] = 9; 9 \in ℤ \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \{x\} = \{9.57\} = 0.57; 0 \leq 0.57 < 1 \end{array}$

$x = \frac{1}{2}$

$x = 0 + \frac{1}{2}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [x] = [\frac{1}{2}] = 0; 0 \in ℤ \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \{x\} = \{\frac{1}{2}\} = \frac{1}{2}; 0 \leq \frac{1}{2} < 1 \end{array}$

$x = - 6.25$

$x = - 7 + 0.75$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [x] = [- 6.25] = - 7; - 7 \in ℤ \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \{x\} = \{- 6.25\} = 0.75; 0 \leq 0.75 < 1 \end{array}$

$x = - \sqrt{2}$

$x = - 1.4 \Rightarrow x = - 2 + 0.6$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [x] = [- \sqrt{2}] = - 2; - 2 \in ℤ \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \{x\} = \{- \sqrt{2}\} = 0.6; 0 \leq 0.6 < 1 \end{array}$

نکته

اگر عدد حقیقی $x$ بین دو عدد صحیح متوالی باشد، براکت این عدد حقیقی، عدد صحیح کوچک‌تر از خودش است:

$i f n \leq x < n + 1 \Leftrightarrow [x] = n$

بدین ترتیب برای خارج کردن عبارت از داخل براکت باید آن را در فواصلی از اعداد صحیح که با هم یک واحد اختلاف دارند، قرار دهیم تا عبارت از حالت براکت خارج شود.

تمرین

دستگاه های زير را حل كنيد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 [x] + 3 [y] = 8 \\ 3 [x] - [y] = 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} - 3 \times \\ 2 \times \end{matrix} \{\begin{cases} 2 [x] + 3 [y] = 8 \\ 3 [x] - [y] = 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} - 6 [x] - 9 [y] = - 24 \\ 6 [x] - 2 [y] = 2 \end{cases} \end{matrix}$

طرفین تساوی را باهم جمع می‌کنیم:

$\begin{matrix} - 11 [y] = - 22 \\ \Rightarrow [y] = 2 \\ \Rightarrow [x] = 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} i f [x] = 1 \Rightarrow 1 \leq x < 2 \\ i f [y] = 2 \Rightarrow 2 \leq y < 3 \end{array} \end{matrix}$

$\{\begin{cases} [x + y + 4] = 18 - y \\ [x + 1] + [y - 1] = 18 - x - y \end{cases}$

از آنجا كه سمت چپ معادله اول و سمت چپ معادله دوم، عددهايی صحیح هستند، بنابراين دستگاه وقتی جواب دارد كه سمت راست هر دو معادله، عددهايی صحیح باشند.

نتيجه می‌شود كه $x$ و $y$ عددهايی صحیح هستند، به اين ترتيب، دستگاه مفروض هم ارز با دستگاه زیر می‌شود:

$\{\begin{cases} x + y + 4 = 18 - y \\ x + 1 + y - 1 = 18 - x - y \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} x + 2 y = 14 \\ 2 x + 2 y = 18 \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 5 \end{cases} \end{matrix}$

$\{\begin{cases} [x] + [y - 2] = 5 - x \\ [x + 3] = - x - y + 6 \end{cases}$

از آنجا كه سمت چپ معادله اول و سمت چپ معادله دوم، عددهايی صحیح هستند، بنابراين دستگاه وقتی جواب دارد كه سمت راست هر دو معادله عددهايی صحیح باشند.

نتيجه می‌شود كه $x$ و $y$ عددهايی صحیح هستند، به اين ترتيب، دستگاه مفروض هم ارز با دستگاه زیر می‌شود:

$\{\begin{cases} x + y - 2 = 5 - x \\ x + 3 = - x - y + 6 \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} 2 x + y = 7 \\ 2 x + y = 3 \end{cases} \end{matrix}$

دستگاه جواب ندارد.

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} [2 (x^{2} + 1)] = [4 x] \end{array}$

آن‌گاه عبارات براکتی زیر را محاسبه کنید.

$[{(x + 1)}^{2}]$

$[2 (x^{2} + 1)] = [4 x] = n$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} n \leq 2 (x^{2} + 1) < n + 1 \\ n \leq 4 x < n + 1 \end{cases} \end{matrix}$

طرفين نامساوی ها در دستگاه فوق را با هم جمع می‌كنيم:

$\begin{array}{l} 2 n \leq 2 (x^{2} + 1) + 4 x < 2 n + 2 \\ \Rightarrow 2 n \leq 2 x^{2} + 2 + 4 x < 2 n + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 n \leq 2 (x^{2} + 2 x + 1) < 2 n + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 n \leq 2 {(x + 1)}^{2} < 2 n + 2 \\ \Rightarrow n \leq {(x + 1)}^{2} < n + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(x + 1)}^{2}] = n \\ \Rightarrow [{(x + 1)}^{2}] = [4 x] \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

${(1 + \sqrt{2})}^{6} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} = 198$

جزء صحيح عدد زیر چقدراست؟

${(1 + \sqrt{2})}^{6}$

$\begin{array}{l} {(1 + \sqrt{2})}^{6} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} = 198 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(1 + \sqrt{2})}^{6}] + [{(1 - \sqrt{2})}^{2}] = 198 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(1 + \sqrt{2})}^{6}] = 198 + [- {(1 - \sqrt{2})}^{2}]; (Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(1 + \sqrt{2})}^{6}] = 198 - 1 \\ \Rightarrow [{(1 + \sqrt{2})}^{6}] = 197 \end{array}$

$(Ι) : 0 < {(1 - \sqrt{2})}^{6} < 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow - 1 < - {(1 - \sqrt{2})}^{6} < 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow [- {(1 - \sqrt{2})}^{6}] = - 1 \end{matrix}$

تمرین

بخش صحیح عبارت زیر را به‌دست آورید.

$n$ به تعداد $1366$ بار تکرار شده است.

$a_{n} = \sqrt{1366 + \sqrt{1366 + \sqrt{1366 + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{1366}}}}$

$\{\begin{cases} a_{1} = \sqrt{1366} \\ a_{n} = \sqrt{1366 + a_{n - 1}} \end{cases}〉 a_{n}^{2} = a_{n - 1} + 1366$

$a_{1} = \sqrt{1366} ≃ 36.95 \Rightarrow 36 < a_{1} < 37$

$\begin{array}{l} i f n = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{2}^{2} = a_{1} + 1366 \\ \Rightarrow a_{2}^{2} = 36.95 + 1366 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{2}^{2} = 1402.95 \\ \Rightarrow a_{2} ≃ 37.45 \\ \Rightarrow 37 < a_{2} < 38 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 3 \\ \Rightarrow a_{3}^{2} = a_{2} + 1366 \\ \Rightarrow a_{3}^{2} = 37.45 + 1366 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{3}^{2} = 1403.45 \\ \Rightarrow a_{3} ≃ 37.46 \\ \Rightarrow 37 < a_{3} < 38 \end{array}$

$i f n = k \Rightarrow a_{k}^{2} = a_{k - 1} + 1366 \Rightarrow 37 < a_{k} < 38$

$\begin{matrix} [a_{n}] = \{\begin{cases} 36; n = 1 \\ 37; n > 1 \end{cases} \end{matrix}$

قضایا و قوانین جزء‌ صحیح (براکت)

قضیه

$\forall n \in ℤ; [x + n] = [x] + n$

اثبات

فرض كنيم $n$ عدد صحیح باشد:

$\begin{array}{l} i f [x] = n \\ \Rightarrow n \leq x < n + 1 \\ \Rightarrow n + n \leq x + n < (n + 1) + n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 n \leq x + n < 2 n + 1 \\ \Rightarrow [x + n] = 2 n \\ \Rightarrow [x + n] = n + n \\ \Rightarrow [x + n] = [x] + n \end{array}$

تمرین

اگر $n$ بر $k$ بخش پذير نباشد، عبارت زیر برابر چه عددی است؟

$[\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}]; (n, k \in ℕ)$

$\begin{matrix} n = m k + r, 0 < r < k \end{matrix}$

$\begin{array}{l} [\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}] = [\frac{m k + r}{k}] - [\frac{(m k + r) - 1}{k}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}] = [m + \frac{r}{k}] - [m + \frac{r - 1}{k}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}] = m + [\frac{r}{k}] - m - [\frac{r - 1}{k}] \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}] = [\frac{r}{k}] - [\frac{r - 1}{k}]; 0 < r < k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}] = 0 - 0 \\ \Rightarrow [\frac{n}{k}] - [\frac{n - 1}{k}] = 0 \end{array}$

تمرین

ثابت كنيد اگر برای عدد طبيعی $n$ تساوی زیر برقرار باشد:

$[\frac{n}{1}] + [\frac{n}{2}] + \cdot \cdot \cdot + [\frac{n}{n}] = 2 + [\frac{n - 1}{1}] + [\frac{n - 1}{2}] + \cdot \cdot \cdot + [\frac{n - 1}{n - 1}]$

$n$ عددی اول است.

درستی اين برابری ها روشن است:

$\begin{array}{l} [\frac{n}{1}] = n \\ [\frac{n}{n}] = 1 \\ [\frac{n - 1}{1}] = n - 1 \\ [\frac{n - 1}{n - 1}] = 1 \end{array}$

اگر از دو طرف برابریِ فرض، جمله های مساوی را حذف كنيم، سرانجام به اين برابری می‌رسيم:

$[\frac{n}{k}] = [\frac{n - 1}{k}]; (Ι)$

اين برابری بايد برای هر عدد طبيعی $k$ با شرط زیر برقرار باشد:

$2 \leq k \leq n - 1$

برهان خلف:

فرض می‌كنيم $n$ عدد اول نباشد.

در اين‌صورت بايد $n$ بر عدد اولی مثل $p \geq 2$ بخش پذير باشد.

$\frac{n}{p}$ را برابر $m$ می‌گيريم، پس:

$[\frac{n}{p}] = m$

از طرف ديگر داریم:

$\frac{n - 1}{p} = \frac{m p - 1}{p}$

$\Rightarrow \frac{n - 1}{p} = (m - 1) + \frac{p - 1}{p}; 0 \leq α = \frac{p - 1}{p} < 1$

$[\frac{n - 1}{p}] = m - 1$

$\{\begin{cases} [\frac{n}{p}] = m \\ [\frac{n - 1}{p}] = m - 1 \end{cases}〉 [\frac{n}{p}] > [\frac{n - 1}{p}]$

نابرابری فوق، برابری $(Ι)$ را نقص می‌كند.

پس $n$ نمی‌تواند عددی غير اول (مركبی) باشد، یعنی $n$ عددی اول است.

تمرین

همه مقدارهای حقيقی $x$ را پيدا كنيد كه به‌ازاء هر كدام از آنها عبارت زیر برابر با عددی صحیح باشد.

$\frac{x}{x^{2} - 5 x + 7}$

فرض می‌کنیم $k \in Z$ باشد:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} - 5 x + 7} = k; k \in ℤ \\ \Rightarrow k x^{2} - 5 k x + 7 k = x \\ \Rightarrow k x^{2} - (5 k + 1) x + 7 k = 0 \end{array} \end{matrix}$

در این‌صورت به دو حالت زیر توجه کنید:

حالت اول) به‌ازای $k = 0$ اين معادله جوابی برابر صفر دارد.

$k x^{2} - (5 k + 1) x + 7 k = 0 \overset{k = 0}{\to} x = 0$

به‌ازای $k \neq 0$ وقتی اين معادله درجه دوم جواب حقيقی دارد كه دلتا بزرگتر یا مساوی با صفر باشد.

$\begin{matrix} \begin{array}{l} Δ \geq 0 \\ \Rightarrow b^{2} - 4 a c \geq 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {[- (5 k + 1)]}^{2} - 4 (k) (7 k) \geq 0 \\ \Rightarrow 3 k^{2} - 10 k - 1 \leq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{5 - \sqrt{28}}{3} \leq k \leq \frac{5 + \sqrt{28}}{3} \\ \Rightarrow - 0.09 \leq k \leq 3.43 \\ \Rightarrow k \in \{0, 1, 2, 3\} \end{array}$

مجموعه مقدارهای $x$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} - 5 x + 7} = k \\ k = 0; \frac{x}{x^{2} - 5 x + 7} = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} k = 1; \frac{x}{x^{2} - 5 x + 7} = 1 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 7 = x \Rightarrow x^{2} - 6 x + 7 = 0 \Rightarrow x = 3 + \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} k = 2; \frac{x}{x^{2} - 5 x + 7} = 2 \Rightarrow 2 x^{2} - 10 x + 14 = x \Rightarrow 2 x^{2} - 11 x + 14 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}, 2 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} k = 3; \frac{x}{x^{2} - 5 x + 7} = 3 \Rightarrow 3 x^{2} - 15 x + 21 = x \Rightarrow 3 x^{2} - 16 x + 21 = 0 \Rightarrow x = 3, \frac{7}{3} \end{matrix}$

مجموعه جواب به ‌صورت زیر می‌باشد:

$D = \{0, 2, \frac{7}{3}, 3, \frac{7}{2}, 3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}\}$

قضیه

$[x + [x]] = 2 [x]$

اثبات

$\begin{array}{l} [x + n] = [x] + n \\ [x + [x]] = [x + n]; [x] = n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x + [x]] = [x] + n \\ \Rightarrow [x + [x]] = [x] + [x] \\ \Rightarrow [x + [x]] = 2 [x] \end{array}$

قضیه

$[x + [x + [x + \cdot \cdot \cdot]] = n [x]$

$[x]$ به تعداد $n$ مرتبه تکرار شده است.

اثبات

$\begin{array}{l} [x + [x + [x + \cdot \cdot \cdot]] = [x] + [x] + \cdot \cdot \cdot + [x] \end{array}$

$\Rightarrow [x + [x + [x + \cdot \cdot \cdot]] = n [x]$

قضیه

$[x - [x]] = 0$

اثبات

$\begin{array}{l} i f [x] = n \\ \Rightarrow n \leq x < n + 1 \\ \Rightarrow [x] \leq x < [x] + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] - [x] \leq x - [x] < ([x] + 1) - [x] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \leq x - [x] < 1 \\ \Rightarrow [x - [x]] = 0 \end{array}$

قضیه

$\{\begin{cases} 0 \leq x - [x] < 1; (1) \\ [x] \leq x < [x] + 1; (2) \\ x - 1 < [x] \leq x; (3) \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} [x - [x]] = 0 \\ \Rightarrow 0 \leq x - [x] < 1; (1) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} [x] \leq x < [x] + 1; (2) \\ 0 - x \leq (x - [x]) - x < 1 - x \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 - x \leq (x - [x]) - x < 1 - x \\ \Rightarrow - x \leq - [x] < 1 - x \\ \Rightarrow x - 1 < [x] \leq x; (3) \end{array}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$y = x - n [\frac{x}{n}]$

حدود $y$ را مشخص کنید.

یادآوری)

$\begin{matrix} 0 \leq x - [x] < 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} y = x - n [\frac{x}{n}] \\ \Rightarrow y = n (\frac{x}{n} - [\frac{x}{n}]) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \leq \frac{x}{n} - [\frac{x}{n}] < 1 \\ \Rightarrow 0 \leq n (\frac{x}{n} - [\frac{x}{n}]) < n \\ \Rightarrow 0 \leq y < n \end{array}$

$y$ از صفر تا $(n - 1)$ متغير است.

قضیه

$[x] + [- x] = \{\begin{cases} 0; x \in ℤ \\ - 1; x \notin ℤ \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} i f x \in ℤ \Rightarrow [- x] = - [x] \Rightarrow [x] + [- x] = 0 \end{array}$

$i f x \notin ℤ \Rightarrow [- x] = - [x] - 1 \Rightarrow [x] + [- x] = - 1$

$[x] + [- x] = \{\begin{cases} 0; x \in ℤ \\ - 1; x \notin ℤ \end{cases}$

پیمان گردلو

قضیه

$i f x > y \Rightarrow [x] \geq [y], [x] > [y] \Rightarrow x > y$

اثبات

$\begin{array}{l} i f x > y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] + \{x\} > [y] + \{y\}; 0 \leq \{x\}, \{y\} < 1 \end{array}$

$\Rightarrow [x] \geq [y]$

قضیه

$[n x] \geq n [x]$

$n$ عدد طبیعی یا صفر است.

اثبات

$\begin{array}{l} x = [x] + \{x\} \\ \Rightarrow n x = n [x] + n \{x\} \\ \Rightarrow [n x] = [n [x] + n \{x\}] \\ \Rightarrow [n x] = n [x] + [n \{x\}] \end{array}$

$i f 0 \leq \{x\} < 1 \Rightarrow 0 \leq n \{x\} < n$

$n \{x\}$ می‌تواند يكی از مقدارهای زیر را قبول کند:

$0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1$

بنابراین:

$i f [n x] = n [x] + [n \{x\}] \Rightarrow [n x] \geq n [x]$

قضیه

$\forall x, y \in ℝ; [x + y] \geq [x] + [y]$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = [x] + \{x\} \\ y = [y] + \{y\} \end{cases} \end{array}$

$x + y = [x] + [y] + \{x\} + \{y\}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x + y] = [[x] + [y] + \{x\} + \{y\}] \end{array}$

$\Rightarrow [x + y] = [x] + [y] + [\{x\} + \{y\}]$

$\{\begin{array}{l} 0 \leq \{x\} < 1 \\ 0 \leq \{y\} < 1 \end{array}〉 0 \leq \{x\} + \{y\} < 2 \Rightarrow [\{x\} + \{y\}] = (0) \lor (1)$

$[\{x\} + \{y\}]$ ممکن است $(0)$ یا $(1)$ باشد، در نتیجه:

$i f [x + y] = [x] + [y] + [\{x\} + \{y\}] \Rightarrow [x + y] \geq [x] + [y]$

تمرین

$m$ و $n$ عددهای صحیح و غير منفی اند.

ثابت كنيد نتيجه كسر زیر، عددی صحیح است.

$\frac{(2 m)! (2 n)!}{m! n! (m + n)!}$

فرض می‌كنيم:

$\{\begin{cases} D = m! n! (m + n)! \\ N = (2 m)! (2 n)! \end{cases}$

بايد ثابت كنيم حاصل كسر $\frac{N}{D}$ عددی درست است يعنی $N$ بر $D$ بخش پذير است.

$p$ را عددی اول در نظر می‌گيريم.

اگر $a$ و $b$ بزرگ ترين عددهای صحیحی باشند كه به‌ازای آنها $D$ و $N$ به‌ترتیب بر $p^{a}$ و $p^{b}$ بخش پذير شوند، آن وقت برای بخش پذير بودن $N$ بر $D$ كافی است ثابت كنيم برای هر عدد اول $p$ داریم:

$a \leq b$

يادآوری می‌کنیم برای مقدارهای طبيعی و فرد $n$ با شرط $n \neq 3 m + 1$ عبارت زیر يک عدد طبيعی است:

$\begin{array}{l} N = \frac{(2 n)!}{n! (n + 2)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} a = \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{m}{p^{i}}] + \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{n}{p^{i}}] + \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{m + n}{p^{i}}] = \sum_{i = 1}^{\infty} ([\frac{m}{p^{i}}] + [\frac{n}{p^{i}}] + [\frac{m + n}{p^{i}}]) \end{array}$

$\begin{matrix} b = \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{2 m}{p^{i}}] + \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{2 n}{p^{i}}] = \sum_{i = 1}^{\infty} ([\frac{2 m}{p^{i}}] + [\frac{2 n}{p^{i}}]) \end{matrix}$

برای اين‌كه ثابت كنيم $a \leq b$ نامساوی زیر را ثابت می‌كنيم:

$\begin{matrix} [\frac{m}{p^{i}}] + [\frac{n}{p^{i}}] + [\frac{m + n}{p^{i}}] \leq [\frac{2 m}{p^{i}}] + [\frac{2 n}{p^{i}}] \end{matrix}$

فرض می‌كنيم:

$\begin{array}{l} \frac{n}{p^{i}} = S \\ \frac{m}{p^{i}} = R \end{array}$

بنابراين، بايد ثابت كنيم برای هر دو عدد غير منفی $R$ و $S$ داریم:

$[R] + [S] + [R + S] \leq [2 R] + [2 S]; (Ι)$

روشن است، اگر به $R$ یا $S$ يک واحد اضافه شود، به هر دو طرف اين نابرابری دو واحد اضافه می‌شود، به اين ترتيب كافی است فرض كنيم:

$0 \leq R < 1, 0 \leq S < 1$

از نابرابری های اخير به‌دست می‌آيد:

$(Ι Ι) : \{\begin{cases} 0 \leq R + S < 2 \\ 0 \leq 2 R < 2 \\ 0 \leq 2 S < 2 \end{cases}$

نابرابری $(Ι)$ به‌صورت زير در می‌آيد:

$[R + S] \leq [2 R] + [2 S]; (Ι Ι Ι)$

در حالتی كه داشته باشيم $0 \leq R + S < 1$ درستی نابرابری $(Ι Ι)$ روشن است.

وقتی داشته باشيم $1 \leq R + S < 2$ با توجه به نابرابری های $(Ι Ι)$ داريم:

$[R + S] = 1, [2 R] + [2 S] \geq 1$

كه باز هم به‌معنای درستی نابرابری $(Ι Ι Ι)$ است.

قضیه

$\forall x \in ℝ, n \in ℕ; [\frac{x}{n}] = [\frac{[x]}{n}]$

اثبات

یادآوری)

$\begin{array}{l} i f x \geq n \Leftrightarrow [x] \geq n \\ i f [\frac{x}{n}] = k \\ \Rightarrow k \leq \frac{x}{n} < k + 1 \\ \Rightarrow k n \leq x < (k + 1) n \\ \Rightarrow k n \leq [x] < (k + 1) n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k \leq \frac{[x]}{n} < k + 1 \\ \Rightarrow [\frac{[x]}{n}] = k \\ \Rightarrow [\frac{[x]}{n}] = [\frac{x}{n}] \end{array}$

قضیه

$\forall n \in ℤ : [\frac{n}{2}] = \{\begin{cases} \frac{n}{2}; n = 2 k \\ \frac{n - 1}{2}; n = 2 k + 1 \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} i f n = 2 k \\ \Rightarrow \frac{n}{2} = k \\ \Rightarrow [\frac{n}{2}] = [k] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{n}{2}] = k \\ \Rightarrow [\frac{n}{2}] = \frac{n}{2}; (k \in ℤ) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 2 k + 1 \\ \Rightarrow \frac{n}{2} = \frac{2 k + 1}{2} \\ \Rightarrow [\frac{n}{2}] = [\frac{2 k + 1}{2}] \\ \Rightarrow [\frac{n}{2}] = [k + \frac{1}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{n}{2}] = k + [\frac{1}{2}] \\ \Rightarrow [\frac{n}{2}] = k \\ \Rightarrow [\frac{n}{2}] = \frac{n - 1}{2} \end{array}$

توجه)

$i f n = 2 k + 1 \Rightarrow k = \frac{n - 1}{2}$

قضیه

$[2 x] = [x] + [x + \frac{1}{2}]$

اثبات

$x$ عددی حقيقی است و با شرط $0 \leq x < 1$ سازگار است.

حالت اول)

$i f 0 \leq x < \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} [x] = 0 \\ \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow [x + \frac{1}{2}] = 0 \\ 0 \leq 2 x < 1 \Rightarrow [2 x] = 0 \end{cases}$

$[2 x] = [x] + [x + \frac{1}{2}]$

حالت دوم)

$i f \frac{1}{2} \leq x < 1$

$\Rightarrow \{\begin{cases} [x] = 0 \\ 1 \leq x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \Rightarrow [x + \frac{1}{2}] = 1 \\ 1 \leq 2 x < 2 \Rightarrow [2 x] = 1 \end{cases}$

$[2 x] = [x] + [x + \frac{1}{2}]$

تمرین

مجموع زیر را محاسبه كنيد.

$[\frac{x + 1}{2}] + [\frac{x + 2}{4}] + [\frac{x + 4}{8}] + [\frac{x + 8}{16}] + \cdot \cdot \cdot + [\frac{x + 2^{n - 1}}{2^{n}}] + \cdot \cdot \cdot$

ابتدا يادآوری می‌كنيم، عبارت فوق نمی‌تواند دارای بی نهايت جمله باشد.

وقتی $n$ را به اندازه كافی بزرگ بگيريم، جمله $n$ ام برابر است با:

$\frac{x + 2^{n - 1}}{2^{n}} = \frac{x}{2^{n}} + \frac{1}{2}$

با آغاز از عددی طبيعی برای $n$ ، مقدار $\frac{x}{2^{n}}$ از لحاظ قدر مطلق كوچكتر از $\frac{1}{2}$ می‌شود.

بنابراين مقدار كسری $\frac{x}{2^{n}} + \frac{1}{2}$ بين صفر و یک قرار می‌گيرد و بخش درست آن صفر می‌شود.

یادآوری)

$\begin{array}{l} [x] + [x + \frac{1}{2}] = [2 x] \Rightarrow [x + \frac{1}{2}] = [2 x] - [x] \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [\frac{x + 1}{2}] = [\frac{x}{2} + \frac{1}{2}] = [x] - [\frac{x}{2}] \\ [\frac{x + 2}{4}] = [\frac{x}{4} + \frac{2}{4}] = [\frac{x}{2}] - [\frac{x}{4}] \\ ⋮ \\ ⋮ \\ [\frac{x}{2^{n}} + \frac{1}{2}] = [\frac{x}{2^{n - 1}}] - [\frac{x}{2^{n}}] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} S = [\frac{x + 1}{2}] + [\frac{x + 2}{4}] + \cdot \cdot \cdot + [\frac{x + 2^{n - 1}}{2^{n}}] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S = [\frac{x}{2} + \frac{1}{2}] + [\frac{x}{4} + \frac{1}{2}] + \cdot \cdot \cdot + [\frac{x}{2^{n}} + \frac{1}{2}] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = ([x] - [\frac{x}{2}]) + ([\frac{x}{2}] - [\frac{x}{4}]) + \cdot \cdot \cdot + ([\frac{x}{2^{n - 1}}] - [\frac{x}{2^{n}}]) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = [x] - [\frac{x}{2^{n}}] \end{array}$

وقتی $n$ به قدر كافی بزرگ باشد، آن‌گاه:

$S = [x] - [\frac{x}{2^{n}}] = \{\begin{cases} [x] - 0; x > 0 \\ [x] - (- 1); x < 0 \end{cases}〉 S = \{\begin{cases} [x]; x > 0 \\ [x] + 1; x < 0 \end{cases}$

نکته

به‌طور کلی داریم:

$[n x] = [x] + [x + \frac{1}{n}] + [x + \frac{2}{n}] + \cdot \cdot \cdot + [x + \frac{n - 1}{n}]$

قضیه

$\{x\} + \{x + \frac{1}{2}\} = \{2 x\} + \frac{1}{2}$

اثبات

$x = [x] + \{x\}$

$\Rightarrow [x] = x - \{x\}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} [2 x] = 2 x - \{2 x\} \\ [x + \frac{1}{2}] = x + \frac{1}{2} - \{x + \frac{1}{2}\} \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f [2 x] = [x] + [x + \frac{1}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x - \{2 x\} = x - \{x\} + x + \frac{1}{2} - \{x + \frac{1}{2}\} \end{array}$

$\Rightarrow \{x\} + \{x + \frac{1}{2}\} = \{2 x\} + \frac{1}{2}$

تمرین

$m$ و $n$ دو عدد طبيعی و نسبت به‌هم اول می‌باشند.

اگر $m > 1$ باشد، مجموع زير را حساب كنيد.

$\{\frac{m}{n}\} + \{\frac{2 m}{n}\} + \cdot \cdot \cdot + \{(n - 1) . \frac{m}{n}\} + \{m\}$

فرض می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} (m, n) = 1, m > 1 \\ i f m \in ℕ \Rightarrow \{m\} = 0 \end{array} \end{array}$

مجموع مورد نظر را $S$ نظر می‌گيريم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S = \{\frac{m}{n}\} + \{\frac{2 m}{n}\} + \cdot \cdot \cdot + \{(n - 1) . \frac{m}{n}\} + \{m\} \end{array} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S = \{\frac{m}{n}\} + \{\frac{2 m}{n}\} + \cdot \cdot \cdot + \{(n - 1) . \frac{m}{n}\} + 0; (Ι) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \{(n - 1) \frac{m}{n}\} + \{(n - 2) \frac{m}{n}\} + \cdot \cdot \cdot + \{\frac{m}{n}\}; (Ι Ι) \end{array}$

$m$ و $n$ دو عدد طبيعی و نسبت به‌هم اول می‌باشند.

دو جمله $k$ ام $(Ι Ι), (Ι)$ یعنی عددهایی که به‌ازای $1 \leq k \leq n - 1$ عددهای صحیح نيستند.

$\{\begin{cases} k \frac{m}{n} \\ (n - k) \frac{m}{n} \end{cases}$

مجموع اين دو عدد چنين است:

$k \frac{m}{n} + (n - k) \frac{m}{n} = m \in ℕ$

بنابراين مجموع بخش های كسری آنها برابر واحد است:

$\begin{array}{l} 1 \leq k \leq n - 1 \\ \{k \frac{m}{n}\} + \{(n - k) \frac{m}{n}\} = 1 \end{array}$

با جمع $(Ι Ι), (Ι)$ داریم:

$\begin{array}{l} S + S = (\{\frac{m}{n}\} + \{\frac{2 m}{n}\} + \cdot \cdot \cdot + \{(n - 1) . \frac{m}{n}\}) + (\{(n - 1) \frac{m}{n}\} + \{(n - 2) \frac{m}{n}\} + \cdot \cdot \cdot + \{\frac{m}{n}\}) \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow 2 S = (\{\frac{m}{n}\} + \{(n - 1) \frac{m}{n}\}) + (\{\frac{2 m}{n}\} + \{(n - 2) \frac{m}{n}\}) + \cdot \cdot \cdot + (\{(n - 1) . \frac{m}{n}\} + \{\frac{m}{n}\}) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow 2 S = (1 + 1 + \cdot \cdot \cdot + 1) \\ \Rightarrow 2 S = n - 1 \\ \Rightarrow S = \frac{n - 1}{2} \end{array} \end{matrix}$

قضیه

$\forall n \in ℕ : [\sqrt{n^{2}}] = [\sqrt{n^{2} + 1}] = [\sqrt{n^{2} + 2}] = \cdot \cdot \cdot = [\sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] = n$

$\forall n \in ℕ : [\sqrt{n^{2}}] + [\sqrt{n^{2} + 1}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] = n (2 n + 1)$

اثبات

تعداد رادیکال‌هایی که براکت‌شان با هم برابر است با استفاده از الگوریتم زیر به‌دست می‌آید:

$\begin{array}{l} [0] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} [1] = [\sqrt{2}] = [\sqrt{3}] \Rightarrow 3 - {(1)}^{2} + 1 = 3 \end{array}$

$[2] = [\sqrt{5}] = [\sqrt{6}] = [\sqrt{7}] = [\sqrt{8}] \Rightarrow 8 - {(2)}^{2} + 1 = 5$

$\begin{array}{l} [3] = [\sqrt{10}] = [\sqrt{11}] = \cdot \cdot \cdot = [\sqrt{15}] \Rightarrow 15 - {(3)}^{2} + 1 = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} [4] = [\sqrt{17}] = [\sqrt{18}] = \cdot \cdot \cdot = [\sqrt{24}] \Rightarrow 24 - {(4)}^{2} + 1 = 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$[n] = [\sqrt{n^{2}}] = [\sqrt{n^{2} + 1}] = \cdot \cdot \cdot = [\sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] \Rightarrow ({(n + 1)}^{2} - 1) - n^{2} + 1 = 2 n + 1$

تمرین

تساوی زیر را ثابت کنید.

$[\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{15}] = 34$

$\begin{array}{l} [\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}] = 1 + 1 + 1 = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} [\sqrt{4}] + [\sqrt{5}] + [\sqrt{6}] + [\sqrt{7}] + [\sqrt{8}] = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} [\sqrt{9}] + [\sqrt{10}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{15}] = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21 \end{array}$

$\begin{matrix} ([\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}]) + ([\sqrt{4}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{8}]) + ([\sqrt{9}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{15}]) = 3 + 10 + 21 = 34 \end{matrix}$

تمرین

عددهای اولی را پيدا كنيد كه در معادله زیر صدق كند.

$[\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{x^{2} - 1}] = y$

برای هر عدد صحیح $n$ داريم:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [\sqrt{n^{2}}] = [\sqrt{n^{2} + 1}] = \cdot \cdot \cdot = [\sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] = n \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\sqrt{n^{2}}] + [\sqrt{n^{2} + 1}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] = n (2 n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} [\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{x^{2} - 1}] \end{array}$

$\begin{matrix} = ([\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}]) + ([\sqrt{4}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{8}]) + \cdot \cdot \cdot + (\cdot \cdot \cdot + [\sqrt{x^{2} - 1}]) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = \sum_{n = 1}^{x - 1} n (2 n + 1) \\ = 2 \sum_{n = 1}^{x - 1} n^{2} + \sum_{n = 1}^{x - 1} n \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 [\frac{(x - 1) x (2 x - 1)}{6}] + \frac{(x - 1) x}{2} \\ = \frac{x (4 x^{2} - 3 x - 1)}{6} \end{array}$

به اين ترتيب بايد عددهای اولی را پيدا كرد كه در معادله زير صدق كند:

$\begin{array}{l} \frac{x (4 x^{2} - 3 x - 1)}{6} = y \\ \Rightarrow x (4 x^{2} - 3 x - 1) = 6 y \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} i f x = 2 \Rightarrow y = 3 \\ i f x = 3 \Rightarrow y = 13 \end{cases} \\ D : (x = 3, y = 13), (x = 2, y = 3) \end{array}$

نکته

$\begin{array}{l} \forall n \in ℕ : [\sqrt[3]{n^{3}}] = [\sqrt[3]{n^{3} + 1}] = \cdot \cdot \cdot = [\sqrt[3]{{(n + 1)}^{3} - 1}] = n \end{array}$

$\forall n \in ℕ : [\sqrt[3]{n^{3}}] + [\sqrt[3]{n^{3} + 1}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt[3]{{(n + 1)}^{3} - 1}] = n (3 n^{2} + 3 n + 1)$

قضیه

$\forall k \in ℕ, x \in ℝ : k [x] \leq [k x] \leq k [x] + (k - 1)$

اثبات

$\begin{array}{l} \forall n \in ℤ; n \leq x < n + 1 \Rightarrow [x] = n, \{\begin{cases} x = n + p \\ 0 \leq p < 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} [k x] = [k (n + p)] = [k n + k p] = k n + [k p]; 0 \leq k p < k \end{array}$

$k n \leq k n + [k p] \leq k n + (k - 1) \Rightarrow k [x] \leq [k x] \leq k [x] + (k - 1); ([k x] = k n + [k p])$

بيش‌ترين مقداری که از $[k p]$ خارج می‌شود، $(k - 1)$ می‌باشد.

قضیه

$\{x + y\} \leq \{x\} + \{y\}$

قضیه

$\forall x, y \in ℝ - ℤ; i f x + y \in ℤ \Rightarrow \{x\} + \{y\} = 1$

تمرین

$i f \{\begin{array}{l} x = 3.73 \in ℝ - ℤ \\ y = 2.27 \in ℝ - ℤ \end{array}〉 \{\begin{cases} x + y = ? \\ \{x\} + \{y\} = ? \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 3.73 \in ℝ - ℤ \Rightarrow \{x\} = 0.73 \\ y = 2.27 \in ℝ - ℤ \Rightarrow \{y\} = 0.27 \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} x + y = 6 \in ℤ \\ \{x\} + \{y\} = 0.73 + 0.27 = 1 \end{cases} \end{matrix}$

قضیه

$\forall x, y \in ℝ; i f [x] = [y] \Rightarrow |x - y| < 1$

به‌عنوان نمونه، داریم:

$\{\begin{cases} x = 1.53 \\ y = 1.4 \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} i f [x] = [y] \Rightarrow [1.53] = [1.4] = 1 \\ |x - y| = |1.53 - 1.4| < 1 \end{cases} \end{matrix}$

قضیه

$[x - \frac{1}{2}] = [x + \frac{1}{2}] - 1$

اثبات

$\begin{array}{l} [x - \frac{1}{2}] \\ = [x - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})] \\ = [x + \frac{1}{2} - 1] \\ = [x + \frac{1}{2}] - 1 \end{array}$

قضیه

$[3 x] = \{\begin{cases} 3 [x]; 0 \leq \{x\} < \frac{1}{3} \\ 3 [x] + 1; \frac{1}{3} \leq \{x\} < \frac{2}{3} \\ 3 [x] + 2; \frac{2}{3} \leq \{x\} < 1 \end{cases}$

اثبات

$[x + y]$

$= [[x] + [y] + \{x\} + \{y\}]$

$= [x] + [y] + [\{x\} + \{y\}]$

$= \{\begin{cases} [x] + [y]; 0 \leq \{x\} + \{y\} < 1 \\ [x] + [y] + 1; 1 \leq \{x\} + \{y\} < 2 \end{cases}$

$[2 x] = [x + x] = \{\begin{cases} [x] + [x]; 0 \leq \{x\} + \{x\} < 1 \\ [x] + [x] + 1; 1 \leq \{x\} + \{x\} < 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} 2 [x]; 0 \leq 2 \{x\} < 1 \\ 2 [x] + 1; 1 \leq 2 \{x\} < 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} 2 [x]; 0 \leq \{x\} < \frac{1}{2} \\ 2 [x] + 1; \frac{1}{2} \leq 2 \{x\} < 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} [x + y + z] \end{array}$

$= [[x] + [y] + [z] + \{x\} + \{y\} + \{z\}]$

$\begin{array}{l} = [x] + [y] + [z] + [\{x\} + \{y\} + \{z\}] \end{array}$

$= \{\begin{cases} [x] + [y] + [z]; 0 \leq \{x\} + \{y\} + \{z\} < 1 \\ [x] + [y] + [z] + 1; 1 \leq \{x\} + \{y\} + \{z\} < 2 \\ [x] + [y] + [z] + 2; 2 \leq \{x\} + \{y\} + \{z\} < 3 \end{cases}$

$[3 x] = [x + x + x] = \{\begin{cases} [x] + [x] + [x]; 0 \leq \{x\} + \{x\} + \{x\} < 1 \\ [x] + [x] + [x] + 1; 1 \leq \{x\} + \{x\} + \{x\} < 2 \\ [x] + [x] + [x] + 2; 2 \leq \{x\} + \{x\} + \{x\} < 3 \end{cases}〉 \{\begin{cases} 3 [x]; 0 \leq 3 \{x\} < 1 \\ 3 [x] + 1; 1 \leq 3 \{x\} < 2 \\ 3 [x] + 2; 2 \leq 3 \{x\} < 3 \end{cases}$

$[3 x] = \{\begin{cases} 3 [x]; 0 \leq \{x\} < \frac{1}{3} \\ 3 [x] + 1; \frac{1}{3} \leq \{x\} < \frac{2}{3} \\ 3 [x] + 2; \frac{2}{3} \leq \{x\} < 1 \end{cases}$

نکته

در حالت کلی داریم:

$[n x] = \{\begin{cases} n [x]; 0 \leq \{x\} < \frac{1}{n} \\ n [x] + 1; \frac{1}{n} \leq \{x\} < \frac{2}{n} \\ ⋮ \\ n [x] + (n - 1); \frac{n - 1}{n} \leq \{x\} < 1 \end{cases}$

یادآوری

اگر $p$ یكی از عوامل اول حاصل ضرب $n!$ باشد، تعداد عوامل $p$ (بزرگ‌ترین توان $p$ ) در این حاصل ضرب برابر است با:

$[\frac{n}{p}] + [\frac{n}{p^{2}}] + [\frac{n}{p^{3}}] + \cdot \cdot \cdot + 0$

تمرین

توان عامل $3$ در بسط $14!$ را به‌دست آورید.

$[\frac{14}{3}] + [\frac{14}{3^{2}}] + [\frac{14}{3^{3}}] = 4 + 1 + 0 = 5$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

جزءصحیح و قوانین آن

18,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

shahin
14 فروردين 1403

مگه داریم مگه میشه این همه اطلاعات در مورد براکت؟
در کسری از ثانیه بتونی بهش دسترسی پیدا کنی؟
آخه لامذهبا چطوری این سایتو ساختین که به همه ریاضی کمتر از 2 ثانیه می شه دسترسی پیدا کنیم.
بهترین دعاها برای مسئولین و مدیران این پلت فرم ، واقعا تو کشوری که همه به فکر منافع شخصیه خودشون هستند، این سایت شگفت انگیزه.

جزءصحیح (براکت)

جز صحیح و قوانین آن

تعریف جزء‌صحیح یا براکت

قضایا و قوانین جزء‌ صحیح (براکت)

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟