تعریف اجتماع دو مجموعه
اجتماع دو مجموعه و که با نماد نشان داده میشود، بهصورت زیر تعریف میشود:
بهعبارت دیگر:
اجتماع دو مجموعه و عبارت است از قسمت رنگی در شکل زیر:
به عنوان نمونه داریم:
تمرین
اگر و باشند، درستی جملات زیر را نشان دهید:
تعریف اشتراک دو مجموعه
اجتماع دو مجموعه و که با نماد نشان داده میشود، بهصورت زیر تعریف میشود:
بهعبارت دیگر:
اشتراک دو مجموعه و عبارت است از قسمت رنگی در شکل زیر:
تمرین
اشتراک مجموعه اعداد اول یک رقمی و اعداد طبیعی زوج یک رقمی را بیابید.
اگر مجموعه همه ایرانیها و مجموعه همه ریاضیدانان جهان باشد، را بیابید.
مجموعه همه ایرانیهای ریاضیدان است.
تمرین
با توجه به اشکال زیر، درستی یا نادرستی هریک از جملات ریاضی زیر را تعیین کنید:
درست.
درست.
درست.
درست.
نادرست.
درست.
تمرین
برای هریک از جملات ریاضی زیر یک شکل رسم کنید.
خواص مشترک بین اجتماع و اشتراک
خاصیت اول
قضیه
جابجایی اجتماع و اشتراک
اثبات
خاصیت دوم
قضیه
شرکت پذیری اجتماع و اشتراک
اثبات
خاصیت سوم
قضیه
توزیع پذیری نسبت به و برعکس
اثبات
تمرین
با استفاده از تعریف توزیع پذیری حاصل زیر را بهدست آورید.
خاصیت چهارم
قضیه
اگر و دو مجموعه دلخواه باشند، آنگاه:
اثبات
برای اثبات این دو خاصیت از گزارههای همیشه درست زیر استفاده میکنیم.
برای اثبات داریم:
با توجه به قانون حذف عاطف نتیجه میگیریم:
بدین ترتیب هر عضو دلخواه و تعلق دارد و بنا بر تعریف زیرمجموعه میتوان نوشت:
برای اثبات داریم:
با توجه به قانون ادخال فاصل نتیجه میگیریم:
هر عضو به تعلق دارد و بنا بر تعریف زیرمجموعه میتوان گفت:
خاصیت پنجم
قضیه
اگر و دو مجموعه دلخواه باشند، آنگاه:
اثبات
برای اثبات داریم:
فرض کنید باشد، نشان میدهیم:
برای این کار داریم:
از طرفی قبلا نشان دادیم بنابراین:
برای اثبات داریم:
شرط تساوی دو مجموعه و آن است که:
که همواره میباشد اما کافی است ثابت کنیم است:
پس ای که عضو باشد، حتما عضو نیز هست:
خاصیت ششم
قضیه
اثبات
یادآوری میکنیم که:
خاصیت هفتم
قضیه
قوانین جذب
اثبات
خاصیت هشتم
قضیه
عکس نتایج فوق برقرار نیست.
تمرین
چند مجموعه ارائه کنید و نشان دهید رابطه زیر برقرار است.
خاصیت نهم
عکس نتایج فوق برقرار نیست.
خاصیت دهم
تمرین
اگر بازه را درنظر بگيريم آنگاه عبارت زیر را بهدست آوريد.
تمرین
اگر بازه را درنظر بگيريم آنگاه عبارت زیر را بهدست آوريد.
تمرین
درستی تساوی های زیر را مشخص کنید.
خاصیت یازدهم
قضیه
اثبات
بههمین ترتیب ثابت میشود .
خاصیت دوازدهم
قضیه
اثبات
از قانون جذب استفاده میکنیم:
خاصیت سیزدهم
قضیه
اثبات
اگر مشخص است که .
اگر باشد، نشان میدهیم :
تمرین
مجموعه های زیر را در نظر بگیرید.
مطلوب است:
تمرین
حاصل زیر را بهدست آورید.
تمرین
اگر باشد، به روش عضوگيری نشان دهيد:
تمرین
اگر باشد، ثابت كنيد:
برای اثبات، كافی است نشان دهيم:
برای اثبات، كافی است نشان دهيم:
دریافت مثال