اجتماع و اشتراک دو مجموعه

آخرین ویرایش: 17 بهمن 1402
دسته‌بندی: مجموعه در ریاضی
امتیاز:

تعریف اجتماع دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه A و B که با نماد AB نشان داده می‌شود، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

AB=xxAxB

به‌عبارت دیگر:

xABxAxB

اجتماع دو مجموعه A و B عبارت است از قسمت رنگی در شکل زیر:

 

به عنوان نمونه داریم:

اجتماع دو مجموعه - پیمان گردلو

تمرین

اگر A=1,5,9 و B=5,7,9 باشند، درستی جملات زیر را نشان دهید:  

AA=A

AA=1,5,91,5,9=1,5,9=A

AB=BA

AB=1,5,95,7,9=1,5,7,9


BA=5,7,91,5,9=1,5,7,9


AB=BA

AABBAB

AB=1,5,7,9A=1,5,9AAB


AB=1,5,7,9B=5,7,9BAB

تعریف اشتراک دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه A و B که با نماد AB نشان داده می‌شود، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

AB=xxAxB

به‌عبارت دیگر:

xABxAxB

اشتراک دو مجموعه A و B عبارت است از قسمت رنگی در شکل زیر:

تمرین

اشتراک مجموعه‌ اعداد اول یک رقمی و اعداد طبیعی زوج یک رقمی را بیابید.

2,3,5,72,4,6,8=2

اگر A مجموعه‌ همه‌ ایرانی‌ها و B مجموعه‌ همه‌ ریاضی‌دانان جهان باشد، AB را بیابید. 

AB مجموعه‌ همه ‌ایرانی‌های ریاضی‌دان است.

تمرین

با توجه به اشکال زیر، درستی یا نادرستی هریک از جملات ریاضی زیر را تعیین کنید:

ABA

درست.

AAB

درست.

AB=BA

درست.

ABAB

درست.

AAB

نادرست.

AA=A

درست.

تمرین

برای هریک از جملات ریاضی زیر یک شکل رسم کنید.

AB=

ABC

AB  ,   BC   ,   AC=

خواص مشترک بین اجتماع و اشتراک

خاصیت اول

قضیه

جابجایی اجتماع و اشتراک

AB=BAAB=BA

اثبات

AB=xxAxB=xxBxA=BA

AB=xxAxB=xxBxA=BA

خاصیت دوم

قضیه

شرکت پذیری اجتماع و اشتراک

ABC=ABC

ABC=ABC

اثبات

xABCxAxBCxAxBxC


xAxBxCxABxCxABC



xABCxAxBCxAxBxC

xAxBxCxABxCxABC

خاصیت سوم

قضیه

توزیع پذیری  نسبت به  و برعکس

ABC=ABAC

ABC=ABAC

اثبات

xABCxAxBCxAxBxC

xAxBxAxCxABxACxABAC



xABCxAxBCxAxBxC

xAxBxAxCxABxACxABAC

تمرین

با استفاده از تعریف توزیع پذیری حاصل زیر را به‌دست آورید.

(AB)2

if  (x,y)(AB)2(x,y)(AB)×(AB)(xAB)(yAB)

(xAxB)(yAyB)

(xAyA)(xByB)


(x,y)A×A(x,y)B×B(x,y)A2(x,y)B2(x,y)A2B2

خاصیت چهارم

قضیه

اگر A و B دو مجموعه دل‌خواه باشند، آن‌گاه:

ABA  ,  ABB

AAB  ,  BAB

اثبات

برای اثبات این دو خاصیت از گزاره‌های همیشه درست زیر استفاده می‌کنیم.

pqpppqqpq

برای اثبات ABA داریم: 

xABxAxB

با توجه به قانون حذف عاطف نتیجه می‌گیریم:

xA

بدین ترتیب هر عضو دلخواه AB و A تعلق دارد و بنا بر تعریف زیرمجموعه می‌توان نوشت:

ABA


برای اثبات AAB داریم: 

xA

با توجه به قانون ادخال فاصل نتیجه می‌گیریم:

xAxBxAB

هر عضو A به AB تعلق دارد و بنا بر تعریف زیرمجموعه می‌توان گفت:

AAB

خاصیت پنجم

قضیه

اگر A و B دو مجموعه دل‌خواه باشند، آن‌گاه:

ABAB=A

ABAB=B

اثبات

برای اثبات ABAB=A داریم: 

فرض کنید AB باشد، نشان می‌دهیم:

AB=A

برای این کار داریم:

xAABxBxAxBxABAAB

از طرفی قبلا نشان دادیم ABA بنابراین:

AB=A


برای اثبات ABAB=B داریم: 

شرط تساوی دو مجموعه B و AB آن است که:

1:BABABB

که همواره BAB می‌باشد اما کافی است ثابت کنیم ABB است:

x    ;    xABxAxB   ,   AB

پس x ای که عضو A باشد، حتما عضو B نیز هست: 

2  :   x,xABxBABB

1,2    AB=B

خاصیت ششم

قضیه

A=A               A=AA=A               AA=AAM=A             AM=MAA'=             AA'=M

اثبات

AM=A   ;     AM=xxAxM=xxAx=A

A=    ;     A=xxAx=xxAxM=

یادآوری می‌کنیم که:

ABAB=B

AAAA=A

AA=A

AA'=xxAxA'=xxA    xA=

خاصیت هفتم

قضیه

قوانین جذب

AAB=A

AAB=A

اثبات

AAB=AMAB=AMB=AM=A

AAB=AAB=AB=A=A

خاصیت هشتم

قضیه

AB  ,  CDACBD

AB  ,  CD    ACBD

AB    ACBC

AB    ACBC

عکس نتایج فوق برقرار نیست.

اثبات

برای اثبات نتایج فوق، از استنتاج‌های معتبر زیر استفاده می‌کنیم:

pqrs..prqS¯pqrs..prqS¯


pq..prqr¯pq..prqr¯

تمرین

چند مجموعه ارائه کنید و نشان دهید رابطه زیر برقرار است.

ABACBC

A=1,2B=1,3,4C=2,3


AC=1,2,3BC=1,2,3,4ACBC

خاصیت نهم

A=B  ,  C=D      AC=BD

A=B  ,  C=D     AC=BD

A=BAC=BC

A=BAC=BC

عکس نتایج فوق برقرار نیست.

خاصیت دهم

i=1nAi=A1A2...An

i=1nAi=A1A2...An

AiBii=1nAii=1nBi

AiBii=1nAii=1nBi

تمرین

اگر بازه An=n,2n را درنظر بگيريم آن‌گاه عبارت زیر را به‌دست آوريد.

n=110An

n=110Ai=A1A2....A10=1,22,4....10,20=1,20

تمرین

اگر بازه An=0,1n را درنظر بگيريم آن‌گاه عبارت زیر را به‌دست آوريد.

nNAn

nNAn=n=1An=A1A2A3....An

=0,10,120,130,1n

=0,1

تمرین

درستی تساوی های زیر را مشخص کنید.

n=11001,1+1n=1,2

n=11001,1+1n

=1,21,321,431,101100

=1,2

n=11001,1+1n=1,1+1100

n=11001,1+1n

=1,21,321,431,101100

=1,101100

n=110011n,1+1n=0,2

n=110011n,1+1n

=0,212,3223,4399100,101100

=0,2

n=11,1+1n=1

n=11,1+1n

=1,21,321,43.....

=1

خاصیت یازدهم

قضیه

if   AB=      A=B=

اثبات

AABAB=   AA  A=

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود B=.

خاصیت دوازدهم

قضیه

if   AC=BC  ,  AC=BCA=B

اثبات

از قانون جذب استفاده می‌کنیم:

A=AAC=ABC

=ABAC=ABBC

=BAC=BBC=B

خاصیت سیزدهم

قضیه

A=BAB=AB

اثبات

اگر A=B مشخص است که AB=AB.

اگر AB=AB باشد، نشان می‌دهیم A=B:  

AABAB=ABAABA=AB

BABAB=ABBABB=AB

A=B

تمرین

مجموعه های زیر را در نظر بگیرید.

A1=1A2=1,2A3=1,2,3A4=1,2,3,4

مطلوب است:

i=14Ai

=A1A2....A10=1,22,4....10,20=1,20

i=14Ai

=A1A2A3A4=1

تمرین

حاصل زیر را به‌دست آورید.

i=12j=12Aij

=i=12j=12Aij=i=12Ai1Ai2=A11A12A21A22

j=12i=12Aij

=j=12i=12Aij=j=12A1jA2j=A11A21A12A22

تمرین

اگر A=B باشد، به روش عضوگيری نشان دهيد:

AC=BC

xACxAxC    ;    A=BxBxCxBC

AC=BC

xACxAxC    ;    A=BxBxCxBC

تمرین

اگر AB باشد، ثابت كنيد:

ACBC

برای اثبات، كافی است نشان دهيم:

ACBC=BCACBC=ABCC=BCC=BC

ACBC

برای اثبات، كافی است نشان دهيم:

ACBC=ACACBC=ABCC=ACC=AC

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

اجتماع و اشتراک دو مجموعه

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید