سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی دو کمان

آخرین ویرایش: 27 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(- α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم $P$ انتهای کمان مقابل به زاویه $α$ و $M$ انتهای کمان مقابل به زاویه $(- α)$ (زاویه‌ای که در خلاف جهت مثلثاتی طی شده) باشد.

دو مثلث قائم الزاویه $O P H$ و $O M H$ به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند و $\bar{H M} = - \bar{H P}$ .

$\begin{array}{l} \sin (- α) = \frac{\bar{H M}}{\bar{O M}} = \frac{\bar{H M}}{1} = - \bar{H P} = - \sin α \end{array}$

$\cos (- α) = \frac{\bar{O H}}{\bar{O M}} = \bar{O H} = \cos α$

$\begin{array}{l} \tan (- α) = \frac{\sin (- α)}{\cos (- α)} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - \tan α \end{array}$

$\cot (- α) = \frac{\cos (- α)}{\sin (- α)} = \frac{\cos α}{- \sin α} = - \cot α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (- α) = - \sin α \\ \cos (- α) = \cos α \\ \tan (- α) = - \tan α \\ \cot (- α) = - \cot α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

$(- 60^{\circ})$

$\begin{array}{l} \sin (- 60^{\circ}) = - \sin 60^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (- 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (- 60^{\circ}) = - \tan 60^{\circ} = - \sqrt{3} \\ \cot (- 60^{\circ}) = - \cot 60^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

تمرین

مقادیر هر یک از عبارات زیر را به ازای $x = \frac{π}{6}$ به‌دست آورید.

$y = - 1 + \frac{3}{4} \cos (2 x - \frac{π}{2})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = - 1 + \frac{3}{4} \cos [(2 \times \frac{π}{6}) - \frac{π}{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = - 1 + \frac{3}{4} \cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = - 1 + \frac{3}{4} \cos (- \frac{π}{6}); \cos (- θ) = \cos θ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = - 1 + \frac{3}{4} \cos (\frac{π}{6}) \\ \Rightarrow y = - 1 + \frac{3}{4} \times (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ \Rightarrow y = - 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{8} \end{array}$

$y = 4 - \frac{2}{3} \sin (3 x - π)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 - \frac{2}{3} \sin [3 (\frac{π}{6}) - π] \\ \Rightarrow y = 4 - \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{2} - π) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 - \frac{2}{3} \sin (- \frac{π}{2}); \sin (- θ) = - \sin θ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 - \frac{2}{3} \sin (- \sin \frac{π}{2}) \\ \Rightarrow y = 4 + \frac{2}{3} (\sin \frac{π}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 4 + \frac{2}{3} (1) \\ = 4 + \frac{2}{3} \\ = \frac{14}{3} \end{array}$

تمرین

دو مقدار از $θ$ بین $\frac{π}{2}$ و $- \frac{π}{2}$ پیدا کنید به‌طوری که $\cos θ = \frac{1}{2}$ باشد.

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

$\cos \frac{π}{3} = \cos (\frac{- π}{3}) = \frac{1}{2}$

تمرین

با استفاده از دایره مثلثاتی، درستی تساوی زیر را بررسی می‌کنیم. (زوایا بر حسب رادیان هستند.)

$\cos 4 = \cos (- 4)$

ابتدا محاسبه می‌کنیم که هر یک رادیان، حدودا چند درجه می‌باشد:

$\frac{D}{180} = \frac{R}{π} \Rightarrow \frac{D}{180} = \frac{1}{π} \Rightarrow D = \frac{180}{π} \Rightarrow D ≃ \frac{180}{3 / 14} \Rightarrow D ≃ 57 / 3$

یعنی $1 r a n ≃ 57 / 3 °$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} \cos (4 r a d) = \cos (4 \times 57 / 8) ≃ \cos (229 °) \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (- 4 r a d) = \cos (- 4 \times 57 / 3) ≃ \cos (- 229 °) \end{array}$

در $\cos (229 °)$ به اندازه $229 °$ از نقطه $A$ در جهت منفیِ حرکت عقربه‌های ساعت، دوران می‌کنیم تا انتهای کمان در ربع سوم مثلثاتی قرار می‌گیرد.‌

در $\cos (- 229 °)$ به اندازه $(- 229 °)$ از نقطه $A$ در جهت مثبت حرکت عقربه‌های ساعت، دوران می‌کنیم تا انتهای کمان در ربع دوم مثلثاتی قرار می‌گیرد.‌

تصویر $\cos (229 °)$ و $\cos (- 229 °)$ روی محور کسینوس‌ ها بر هم منطبق است، یعنی تساوی ‌های زیر همواره درست است:

$\cos (229 °) = \cos (- 229 °) \Rightarrow \cos (4 r a d) = \cos (- 4 r a d)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(π - α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم $α$ و $π - α$ دو زاویه باشند و داشته باشیم:

$0 < α < \frac{π}{2}$

فرض کنیم $P$ انتهای کمان مقابل به زاویه $α$ و $M$ انتهای کمان مقابل به زاویه $(π - α)$ باشد.

دو مثلث قائم الزاویه $O P H$ و $O M N$ به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

$\begin{array}{l} \bar{N M} = \bar{H P}, \bar{O N} = - \bar{O H} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (π - α) = \bar{N M} = \bar{H P} = \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (π - α) = \bar{O N} = - \bar{O H} = - \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (π - α) = \frac{\sin (π - α)}{\cos (π - α)} = \frac{\sin α}{- \cos α} = - \tan α \end{array}$

$\cot (π - α) = \frac{\cos (π - α)}{\sin (π - α)} = \frac{- \cos α}{\sin α} = - \cot α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (π - α) = \sin α \\ \cos (π - α) = - \cos α \\ \tan (π - α) = - \tan α \\ \cot (π - α) = - \cot α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را محاسبه کنید:

$(135^{\circ})$

$\begin{array}{l} \sin 135^{\circ} = \sin (π - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos 135^{\circ} = \cos (π - 45^{\circ}) = - \cos 45^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan 135^{\circ} = \tan (π - 45^{\circ}) = - \tan 45^{\circ} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cot 135^{\circ} = \cot (π - 45^{\circ}) = - \cot 45^{\circ} = - 1 \end{array}$

$(- \frac{3 π}{4})$

$\begin{array}{l} \sin (- \frac{3 π}{4}) = - \sin \frac{3 π}{4} = - \sin (π - \frac{π}{4}) = - \sin \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (- \frac{3 π}{4}) = \cos \frac{3 π}{4} = \cos (π - \frac{π}{4}) = - \cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (- \frac{3 π}{4}) = - \tan \frac{3 π}{4} = - \tan (π - \frac{π}{4}) = - [- \tan \frac{π}{4}] = \tan \frac{π}{4} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cot (- \frac{3 π}{4}) = - \cot \frac{3 π}{4} = - \cot (π - \frac{π}{4}) = - [- \cot \frac{π}{4}] = \cot \frac{π}{4} = 1 \end{array}$

تمرین

اگر تساوی‌های زیر درست است دلیل درستی و اگر نادرست است با استفاده از دایره مثلثاتی دلیل نادرستی آنها را بیان کنید.

$\sin (- \frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3})$

$\begin{array}{l} \sin (\frac{2 π}{3}) = \sin (π - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (- \frac{2}{3} π) = - \sin (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \sin (\frac{2 π}{3}) \neq - \sin (\frac{2 π}{3}) \end{matrix}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

$\cos \frac{π}{6} = \cos \frac{5 π}{6}$

$\begin{array}{l} \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos \frac{5 π}{6} = \cos (π - \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \cos \frac{π}{6} \neq \cos \frac{5 π}{6} \end{matrix}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

تمرین

با انتخاب یک زاویه دل‌خواه، نشان دهید تساوی زیر نادرست است:

$\sin (π - θ) = \sin π - \sin θ$

$i f θ = \frac{π}{6}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \sin (π - θ) = \sin (π - \frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sin π - \sin θ = \sin π - \sin \frac{π}{6} = 0 - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \sin (π - θ) \neq \sin π - \sin θ \end{matrix}$

تمرین

نسبت مثلثاتی $\sin \frac{3 π}{4}$ را محاسبه کنید و روی شکل نشان دهید.

$\sin \frac{3 π}{4} = \sin \frac{(4 - 1) π}{4} = \sin (\frac{4 π - π}{4}) = \sin (\frac{4 π}{4} - \frac{π}{4}) = \sin (π - \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در شکل فوق و در $\sin (π - \frac{π}{4})$ کمان از $A$ به اندازه $π$ دوران می‌کند و در موقعیت $B$ قرار می‌گیرد.

سپس کمان به اندازه $(- \frac{π}{4})$ موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع دوم قرار می‌گیرد.

در این ربع علامت سینوس مثبت است و مقدار $\sin (π - \frac{π}{4})$ و $\sin (\frac{π}{4})$ برابر با $\frac{\sqrt{2}}{2}$ است.

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(π + α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم $α$ و $π + α$ دو زاویه باشند و داشته باشیم:

$0 < α < \frac{π}{2}$

فرض کنیم $P$ انتهای کمان مقابل به زاویه $α$ و $M$ انتهای کمان مقابل به زاویه $(π + α)$ باشد.

دو مثلث قائم الزاویه $O P H$ و $O M N$ به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

$\begin{array}{l} \bar{N M} = - \bar{H P}, \bar{O N} = - \bar{O H} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (π + α) = \bar{N M} = - \bar{H P} = - \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (π + α) = \bar{O N} = - \bar{O H} = - \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (π + α) = \frac{\sin (π + α)}{\cos (π + α)} = \frac{- \sin α}{- \cos α} = \tan α \end{array}$

$\cot (π + α) = \frac{\cos (π + α)}{\sin (π + α)} = \frac{- \cos α}{- \sin α} = \cot α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (π + α) = - \sin α \\ \cos (π + α) = - \cos α \\ \tan (π + α) = \tan α \\ \cot (π + α) = \cot α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

$(240^{\circ})$

$\begin{array}{l} \sin 240^{\circ} = \sin (π + 60^{\circ}) = - \sin 60^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \cos 240^{\circ} = \cos (π + 60^{\circ}) = - \cos 60^{\circ} = - \frac{1}{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \tan 240^{\circ} = \tan (π + 60^{\circ}) = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \cot g 240^{\circ} = \cot (π + 60^{\circ}) = \cot 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(2 π - α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

می‌دانیم:

$2 π - α = π + (π - α)$

با توجه به مفاهیم گذشته و استفاده از نسبت‌های مثلثاتی $(π + x)$ و $(π - x)$ خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} \sin (2 π - α) = \sin [π + (π - α)] = - \sin (π - α) = - \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (2 π - α) = \cos [π + (π - α)] = - \cos (π - α) = - (- \cos α) = \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (2 π - α) = \frac{\sin (2 π - α)}{\cos (2 π - α)} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - \tan α \end{array}$

$\cot (2 π - α) = \frac{\cos (2 π - α)}{\sin (2 π - α)} = \frac{\cos α}{- \sin α} = - \cot α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (2 π - α) = - \sin α \\ \cos (2 π - α) = \cos α \\ \tan (2 π - α) = - \tan α \\ \cot (2 π - α) = - \cot α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید.

$(330^{\circ})$

$\begin{array}{l} \sin 330^{\circ} = \sin (2 π - 30^{\circ}) = - \sin 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos 330^{\circ} = \cos (2 π - 30^{\circ}) = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan 330^{\circ} = \tan (2 π - 30^{\circ}) = - \tan 30^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cot 330^{\circ} = \cot g (2 π - 30^{\circ}) = - \cot 30^{\circ} = - \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زیر را روی شکل نشان دهید.

$\cos (2 π - \frac{π}{6})$

$\cos (2 π - \frac{π}{6}) = \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در $\cos (2 π - \frac{π}{6})$ کمان از $A$ به اندازه $2 π$ دوران می‌کند و مجددا در موقعیت $A$ قرار می‌گیرد.

سپس کمان به اندازه $(- \frac{π}{6})$ موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد.

در این ربع علامت کسینوس مثبت است و مقدار $\cos (2 π - \frac{π}{6})$ و $\cos (\frac{π}{6})$ برابر با $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است.

$\tan \frac{11 π}{6}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

$\tan \frac{11 π}{6} = \tan \frac{(12 - 1) π}{6} = \tan \frac{12 π - π}{6} = \tan (\frac{12 π}{6} - \frac{π}{6}) = \tan (2 π - \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

در $\tan (2 π - \frac{π}{6})$ کمان از $A$ به اندازه $2 π$ دوران می‌کند و مجددا در موقعیت $A$ قرار می‌گیرد.

در این ربع علامت تانژانت منفی است.

$\cos \frac{7 π}{4}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

$\cos \frac{7 π}{4} = \cos \frac{(8 - 1) π}{4} = \cos \frac{(8 π - π)}{4} = \cos (\frac{8 π}{4} - \frac{π}{4}) = \cos (2 π - \frac{π}{4}) = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

در $\cos (2 π - \frac{π}{4})$ کمان از $A$ به اندازه $2 π$ دوران می‌کند و مجددا در موقعیت $A$ قرار می‌گیرد.

سپس کمان به اندازه $(- \frac{π}{4})$ موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد.

در این ربع علامت کسینوس مثبت است و مقدار $\cos (2 π - \frac{π}{4})$ و $\cos (\frac{π}{4})$ برابر با $\frac{\sqrt{2}}{2}$ است.

تمرین

فرض کنید $\sin θ = - \frac{1}{2}$ :

دو مقدار از $θ$ بین $0$ تا $2 π$ پیدا کنید به طوری که رابطه فوق درست باشد.

$\sin (210 °) = \sin (330 °) = - \frac{1}{2}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

دو مقدار منفی از $θ$ مشخص کنید که معادله فوق درست باشد.

برای یافتن مقادیر منفی از $θ$ در شکل فوق کمان از نقطه‌ $A$ به اندازه‌ $(- 30 °)$ حرکت کرده تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد:

$\sin (- 30 °) = - \frac{1}{2}$

انتهای کمان در ربع سوم به اندازه‌ $(- 150 °)$ از $A$ دوران ایجاد شد، بنابراین:

$\sin (- 30 °) = \sin (- 150 °) = - \frac{1}{2}$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(2 π + α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

می‌دانیم:

$2 π + α = π + (π + α)$

با توجه به مفاهیم گذشته و استفاده از نسبت‌های مثلثاتی $(π + x)$ خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} \sin (2 π + α) = \sin [π + (π + α)] = - \sin (π + α) = - (- \sin α) = \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (2 π + α) = \cos [π + (π + α)] = - \cos (π + α) = - (- \cos α) = \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (2 π + α) = \frac{\sin (2 π + α)}{\cos (2 π + α)} = \frac{\sin α}{\cos α} = \tan α \end{array}$

$\cot g (2 π + α) = \frac{\cos (2 π + α)}{\sin (2 π + α)} = \frac{\cos α}{\sin α} = \cot g α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (2 π + α) = \sin α \\ \cos (2 π + α) = \cos α \\ \tan (2 π + α) = \tan α \\ \cot (2 π + α) = \cot α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را بنویسید.

$\begin{matrix} \sin 390 ° \\ \cos 405 ° \\ \tan 420 ° \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sin 390^{\circ} = \sin (360^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \cos 405^{\circ} = \cos (360^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \tan 420^{\circ} = \tan (360^{\circ} + 60^{\circ}) = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زیر را روی شکل نشان دهید.

$\sin (2 π + \frac{π}{3})$

$\sin (2 π + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در $\sin (2 π + \frac{π}{3})$ کمان از $A$ به اندازه $2 π$ دوران می‌کند و مجددا در موقعیت $A$ قرار می‌گیرد.

سپس کمان به اندازه $(\frac{π}{3})$ مخالف حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع اول قرار می‌گیرد.

در این ربع علامت سینوس مثبت است و مقدار $\sin (2 π + \frac{π}{3})$ و $\sin (\frac{π}{3})$ برابر با $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است.

$\cos (2 π + \frac{2 π}{3})$

$\cos (2 π + \frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{2 π}{3}) = \cos (π - \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در $\cos (2 π + \frac{2 π}{3})$ کمان از $A$ به اندازه $2 π$ دوران می‌کند و مجددا در موقعیت $A$ قرار می‌گیرد.

سپس کمان به اندازه $(\frac{2 π}{3})$ موافق حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع دوم قرار می‌گیرد.

در این ربع علامت کسینوس منفی است و مقدار $\cos (2 π + \frac{2 π}{3})$ و $- \cos (\frac{π}{3})$ برابر با $- \frac{1}{2}$ است.

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{π}{2} - α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم $α$ و $\frac{π}{2} - α$ دو زاویه باشند و داشته باشیم:

$0 < α < \frac{π}{2}$

فرض کنیم $P$ انتهای کمان مقابل به زاویه $α$ و $M$ انتهای کمان مقابل به زاویه $(\frac{π}{2} - α)$ باشد.

دو مثلث قائم الزاویه $O P H$ و $O M N$ به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

$\begin{array}{l} O H = O N, \bar{H P} = \bar{N M} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{2} - α) = \bar{O N} = \bar{O H} = \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{2} - α) = \bar{N M} = \bar{P H} = \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (\frac{π}{2} - α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} - α)}{\cos (\frac{π}{2} - α)} = \frac{\cos α}{\sin α} = \cot α \end{array}$

$c ot (\frac{π}{2} - α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α)} = \frac{\sin α}{\cos α} = \tan α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α \\ \cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α \\ \tan (\frac{π}{2} - α) = \cot α \\ \cot (\frac{π}{2} - α) = \tan α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را بنویسید.

$\begin{matrix} \sin 15 ° \\ \cos 45 ° \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sin 15^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 75^{\circ}) = \cos 75^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos 45^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{π}{2} + α, α)$

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم $α$ و $\frac{π}{2} + α$ دو زاویه باشند و داشته باشیم:

$0 < α < \frac{π}{2}$

فرض کنیم $P$ انتهای کمان مقابل به زاویه $α$ و $M$ انتهای کمان مقابل به زاویه $(\frac{π}{2} + α)$ باشد.

دو مثلث قائم الزاویه $O P H$ و $O M N$ به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

$\begin{array}{l} \bar{O N} = \bar{O H}, \bar{N M} = - \bar{H P} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{2} + α) = \bar{O N} = \bar{O H} = \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{2} + α) = \bar{N M} = - \bar{H P} = - \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (\frac{π}{2} + α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + α)}{\cos (\frac{π}{2} + α)} = \frac{\cos α}{- \sin α} = - \cot α \end{array}$

$\cot (\frac{π}{2} + α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + α)}{\sin (\frac{π}{2} + α)} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - \tan α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α \\ \cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α \\ \tan (\frac{π}{2} + α) = - \cot α \\ \cot (\frac{π}{2} + α) = - \tan α \end{array}$

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را بنویسید.

$\begin{matrix} \sin 120 ° \\ \cos 135 ° \\ \tan 120 ° \\ c o t 150 ° \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \sin 120^{\circ} = \sin (90^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \cos 135^{\circ} = \cos (90^{\circ} + 45^{\circ}) = - \sin 45^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \tan 120^{\circ} = \tan (90^{\circ} + 30^{\circ}) = - \cot 30^{\circ} = - \sqrt{3} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \cot 150^{\circ} = \cot g (90^{\circ} + 60^{\circ}) = - \tan 60^{\circ} = - \sqrt{3} \end{array}$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{3 π}{2} - α, α)$

$\begin{array}{l} \frac{3 π}{2} - α = π + (\frac{π}{2} - α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (\frac{3 π}{2} - α) = \sin [π + (\frac{π}{2} - α)] = - \sin (\frac{π}{2} - α) = - (\cos α) = - \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{3 π}{2} - α) = \cos [π + (\frac{π}{2} - α)] = - \cos (\frac{π}{2} - α) = - (\sin α) = - \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (\frac{3 π}{2} - α)} = \frac{- \cos α}{- \sin α} = \cot α \end{array}$

$\cot (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2} - α)}{\sin (\frac{3 π}{2} - α)} = \frac{- \sin α}{- \cos α} = \tan α$

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

$\begin{array}{l} \sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \cos α \\ \cos (\frac{3 π}{2} - α) = - \sin α \\ \tan (\frac{3 π}{2} - α) = \cot α \\ \cot (\frac{3 π}{2} - α) = \tan α \end{array}$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{3 π}{2} + α, α)$

$\begin{array}{l} \frac{3 π}{2} + α = π + (\frac{π}{2} + α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin (\frac{3 π}{2} + α) = \sin [π + (\frac{π}{2} + α)] = - \sin (\frac{π}{2} + α) = - (\cos α) = - \cos α \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (\frac{3 π}{2} + α) = \cos [π + (\frac{π}{2} + α)] = - \cos (\frac{π}{2} + α) = - (- \sin α) = \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} + α)}{\cos (\frac{3 π}{2} + α)} = \frac{- \cos α}{\sin α} = - \cot α \end{array}$

$\cot (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + α)}{\sin (\frac{3 π}{2} + α)} = \frac{\sin α}{- \cos α} = - \tan α$

یادآوری

$\begin{array}{l} \sin (\frac{3 π}{2} + α) = - \cos α \\ \cos (\frac{3 π}{2} + α) = \sin α \\ \tan (\frac{3 π}{2} + α) = - \cot α \\ \cot (\frac{3 π}{2} + α) = - \tan α \end{array}$

خلاصه فرمول‌های نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در جدول فوق:

برای تعیین نسبت‌های مثلثاتی $k π \pm α$ و $2 k π \pm α$ کافی است انتهای کمان را مشخص کرده و علامت نسبت مثلثاتی را مشخص کنیم و سپس از $k π$ و $2 k π$ صرف نظر کنیم.
برای تعیین نسبت‌های مثلثاتی $(2 k + 1) \frac{π}{2} \pm α$ کافی است سینوس به کسینوس و نیز تانژانت به کتانژانت تبدیل ‌شود و برعکس.

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را به‌دست آورید:

$\sin 170^{\circ}$

سینوس در ربع دوم مثبت است:

$\begin{array}{l} = \sin (180^{\circ} - 10^{\circ}) \\ = + \sin 10^{\circ} \end{array}$

$\cos 170^{\circ}$

کسینوس در ربع دوم منفی است:

$\begin{array}{l} = \cos (180^{\circ} - 10^{\circ}) \\ = - \cos 10^{\circ} \end{array}$

$\sin 85^{\circ}$

سینوس در ربع اول مثبت است:

$\begin{array}{l} = \sin (90^{\circ} - 5^{\circ}) \\ = + \cos 5^{\circ} \end{array}$

$\sin 750^{\circ}$

سینوس در ربع اول است:

$\begin{array}{l} = \sin (4 π + 30^{\circ}) \\ = \sin 30^{\circ} \end{array}$

نکته

در موقع محاسبه مقدار نسبت مثلثاتی یک زاویه:

1- مضرب های زوج $π$ را می‌توان حذف کرد.

$\sin (\frac{73 π}{3}) = \sin [\frac{(72 + 1) π}{3}] = \sin (\frac{72 π}{3} + \frac{π}{3}) = \sin (24 π + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cot (\frac{11 π}{6}) = \cot [\frac{(12 - 1) π}{6}] = \cot (\frac{12 π}{6} - \frac{π}{6}) = \cot (2 π - \frac{π}{6}) = \cot (- \frac{π}{6}) = - \cot \frac{π}{6}$

$\sin (- 32 π + θ) = \sin θ$

2- به جای مضرب های فرد $π$ می‌توان عدد $π$ را قرار داد.

$\tan (- \frac{7 π}{6}) = - \tan (\frac{7 π}{6}) = - \tan [\frac{(6 + 1) π}{6}] = - \tan (\frac{6 π}{6} + \frac{π}{6}) = - \tan (π + \frac{π}{6}) = - (+ \tan \frac{π}{6}) = - \tan \frac{π}{6}$

$\cos (\frac{51 π}{4}) = \cos [\frac{(52 - 1) π}{4}] = \cos (13 π - \frac{π}{4}) = \cos (π - \frac{π}{4}) = - \cos \frac{π}{4}$

$\cos (\frac{53 π}{3}) = \cos [\frac{(52 + 1) π}{4}] = \cos (13 π + \frac{π}{4}) = \cos (π + \frac{π}{4}) = - \cos \frac{π}{4}$

$\begin{array}{l} \cos (43 π + θ) = \cos (π + θ) = - \cos θ \end{array}$

$\sin (- 21 π + θ) = \sin (π + θ) = - \sin θ$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

8,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی دو کمان

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(- α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(π - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(π + α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(2 π - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(2 π + α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{π}{2} - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{π}{2} + α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{3 π}{2} - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{3 π}{2} + α, α)$

خلاصه فرمول‌های نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی دو کمان

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های −α , α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های π−α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ+α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 2π−α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 2π+α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های π2-α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ2+α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 3π2-α,α

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 3π2+α,α

خلاصه فرمول‌های نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(- α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(π - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(π + α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(2 π - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(2 π + α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{π}{2} - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{π}{2} + α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{3 π}{2} - α, α)$

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های $(\frac{3 π}{2} + α, α)$