سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش مربع کامل

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

برای ورود به بحث، تمرینات زیر مشاهده کنید:

تمرین

دو جمله‌ای $x^{2} + 6 x$ را در نظر می‌گیریم.

چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود؟

در تساوی زیر جاهای خالی را با اعداد مناسبی پر می‌کنیم تا حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود:

$x^{2} + 6 x + \dots = {(x + \dots)}^{2} \Rightarrow x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}$

اعدادی که در جاهای خالی نوشته ایم، ارتباطی با شکل زیر دارند:

مربع کامل - پیمان گردلو

با توجه به این‌که قطعه جدا شده شامل $9$ قسمت می‌باشد، بنابراین ما عدد $9$ را در سمت چپ معادله قرار می‌دهیم و جذر آن یعنی عدد $3$ را در جای خالی و در سمت راست می‌نویسیم.

برای این‌که دو جمله‌ای $x^{2} + 6 x$ به شکل مربع کامل نوشته شود، کافی است ضریب $x$ را نصف کرده و حاصل را به توان $2$ برسانیم و آن را به دو جمله‌ای اضافه نماییم.

دو جمله‌ای $x^{2} + a x$ را در نظر می‌گیریم. $(a \in R)$

چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به‌شکل مربع کامل نوشته شود؟

در تساوی زیر جاهای خالی را با اعداد مناسبی پر می‌کنیم تا حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود:

$x^{2} + a x + \dots = {(x + \dots)}^{2} \Rightarrow x^{2} + a x + \frac{a^{2}}{4} = {(x + \frac{a}{2})}^{2}$

اعدادی که در جاهای خالی نوشته‌ایم، ارتباطی با شکل زیر دارند:

مربع کامل - پیمان گردلو

با توجه به این که قطعه جدا شده شامل $\frac{a^{2}}{4}$ قسمت می‌باشد، بنابراین ما عدد $\frac{a^{2}}{4}$ را در سمت چپ معادله قرار می‌دهیم و جذر آن یعنی عدد $\frac{a}{2}$ را در جای خالی و در سمت راست می‌نویسیم.

برای این‌که دو جمله‌ای $x^{2} + a x$ به شکل مربع کامل نوشته شود، کافی است ضریب $x$ را نصف کرده و حاصل را به‌توان $2$ برسانیم و آن را به دو جمله‌ای اضافه نماییم.

تمرین

هر یک از عبارات زیر را به مربع کامل تبدیل کنید.

$x^{2} - 16 x$

${(\frac{- 16}{2})}^{2} = {(- 8)}^{2} = 64$

$x^{2} - 16 x + 64 = {(x - 8)}^{2}$

$y^{2} + 7 y$

${(\frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{4}$

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = {(y + \frac{7}{2})}^{2}$

$x^{2} + 8 x$

${(\frac{8}{2})}^{2} = {(4)}^{2} = 16$

$x^{2} + 8 x + 16 = {(x + 4)}^{2}$

تعریف

معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ مفروض است، برای حل این معادله به روش مربع كامل به‌صورت زیر عمل می‌كنیم:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \end{cases}$

برای آن‌كه طرف چپ تساوی، مربع كامل گردد، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

ضریب $x$ یعنی $\frac{b}{a}$ را بر دو تقسیم كرده:

$\begin{matrix} \frac{b}{a} \div 2 = \frac{b}{a} \times \frac{1}{2} = \frac{b}{2 a} \end{matrix}$

حاصل را به توان دو می‌رسانیم: (مربع نصف ضریب $x$ )

${(\frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$

عدد به‌دست آمده را به طرفین تساوی اضافه می‌كنیم:

$\begin{matrix} x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} \end{matrix}$

$\Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}; (Ι)$

در این حالت، طرف چپ تساوی $(Ι)$ همواره اتحاد اول یا اتحاد دوم است.(در این تساوی، اتحاد اول است)

$\begin{array}{l} x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2}} = \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

تمرین

مربع کامل را در عبارات زیر، تولید کنید.

$x^{2} + 6 x + 7$

مربع کامل - پیمان گردلو

$2 z^{2} - 12 z$

$\begin{matrix} 2 z^{2} - 12 z = 2 (z^{2} - 6 z); {(\frac{6}{2})}^{2} = {(3)}^{2} = 9 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 2 z^{2} - 12 z = 2 (z^{2} - 6 z + 9 - 9) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 2 z^{2} - 12 z = 2 [(z^{2} - 6 z + 9) - 9] \end{matrix}$

$\Rightarrow 2 z^{2} - 12 z = 2 [{(z - 3)}^{2} - 9]$

$x^{2} + 4 x - 1$

$\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 1 = x^{2} + 4 x - 1; {(\frac{4}{2})}^{2} = 4 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x^{2} + 4 x - 1 = x^{2} + 4 x - 1 + 4 - 4 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x^{2} + 4 x - 1 = (x^{2} + 4 x + 4) - 5 \end{matrix}$

$\Rightarrow x^{2} + 4 x - 1 = {(x + 2)}^{2} - 5$

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از روش مربع کامل حل کنید.

$2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

$\begin{matrix} \Rightarrow 2 (x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 2 \neq 0 \\ x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} = 0 \end{cases} \end{matrix}$

در معادله فوق، عدد $\frac{1}{2}$ (عدد آزاد) را به سمت راست تساوی منتقل می‌کنیم:

$\Rightarrow x^{2} + \frac{3}{2} x = - \frac{1}{2}$

ضریب $x$ یعنی $\frac{3}{2}$ را بر دو تقسیم کرده، حاصل را به توان دو می‌رسانیم:

$\begin{matrix} (\frac{3}{2}) \div 2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \\ {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16} \end{matrix}$

عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:

$\Rightarrow x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$

طرف چپ تساوی، همواره اتحاد اول یا اتحاد دوم است.(در این تساوی، اتحاد اول است)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{1}{2} + \frac{9}{16} \\ \Rightarrow {(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 8 + 9}{16} \\ \Rightarrow {(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} \\ \Rightarrow \sqrt{{(x + \frac{3}{4})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} \\ \Rightarrow x + \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + \frac{3}{4} = + \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} \\ x + \frac{3}{4} = - \frac{1}{4} \Rightarrow x = - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1 \end{cases} \end{array}$

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

$\Rightarrow x^{2} - 6 x = - 1$

${(\frac{- 6}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2} = 9$

عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:

$\begin{aligned} \Rightarrow x^{2} - 6 x + 9 & = - 1 + 9 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} {(x - 3)}^{2} & = 8 \end{aligned}$

$\Rightarrow x - 3 = \pm \sqrt{8}$

$\Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{8}$

$v^{2} + 8 v - 9 = 0$

$\Rightarrow v^{2} + 8 v = 9$

${(\frac{8}{2})}^{2} = {(4)}^{2} = 16$

عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:

$\Rightarrow \begin{aligned} v^{2} + 8 v + 16 & = 9 + 16 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow {(v + 4)}^{2} & = 25 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow v + 4 & = \pm \sqrt{25} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow v + 4 & = \pm 5 \end{aligned}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} v + 4 = 5 \Rightarrow v = 1 \\ v + 4 = - 5 \Rightarrow v = - 9 \end{cases}$

$x^{2} + 6 x - 187 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 6 x = 187 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 6 x + 9 = 187 + 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + 3)}^{2} = 196 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + 3 = \pm 14 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + 3 = 14 \Rightarrow x = 11 \\ x + 3 = - 14 \Rightarrow x = - 17 \end{cases}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - x - 2 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 (x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 3 \neq 0 \\ x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{3} x = \frac{2}{3} \end{array}$

$(- \frac{1}{3}) \div 2 = (- \frac{1}{3}) \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{6} \Rightarrow {(- \frac{1}{6})}^{2} = \frac{1}{36}$

حاصل را به هر دو طرف تساوی اضافه می‌كنيم:

$\begin{array}{l} x^{2} - \frac{1}{3} x + \frac{1}{36} = \frac{2}{3} + \frac{1}{36} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{25}{36} \\ \Rightarrow x - \frac{1}{6} = \pm \sqrt{\frac{25}{36}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - \frac{1}{6} = \pm \frac{5}{6} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{6} \pm \frac{5}{6} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} \Rightarrow x = 1 \\ x = \frac{1}{6} - \frac{5}{6} = \frac{- 4}{6} \Rightarrow x = - \frac{2}{3} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} - 3 x - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 (x^{2} - 3 x - 4) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 1 \neq 0 \\ x^{2} - 3 x - 4 = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 3 x = 4 \end{array}$

$(- 3) \div 2 = (- 3) \times \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \Rightarrow {(- \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

حاصل را به هر دو طرف تساوی اضافه می‌كنيم:

$\begin{array}{l} x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4} \\ \Rightarrow {(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{4} \\ \Rightarrow x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - \frac{3}{2} = \pm \frac{5}{2} \\ \Rightarrow x = \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \Rightarrow x = 4 \\ x = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 \Rightarrow x = - 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + 6 x - 187 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 6 x = 187 \\ \Rightarrow x^{2} + 6 x + 9 = 187 + 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + 3)}^{2} = 196 \\ \Rightarrow x + 3 = \pm 14 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 3 = 14 \Rightarrow x = 11 \\ x + 3 = - 14 \Rightarrow x = - 17 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} + 4 x - 15 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 (x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{15}{3}) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 3 \neq 0 \\ x^{2} + \frac{4}{3} x - 5 = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{4}{3} x - 5 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + \frac{4}{3} x = 5 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = 5 + \frac{4}{9} \\ \Rightarrow {(x + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{49}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{2}{3} = \pm \frac{7}{3} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \Rightarrow x = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{3} \\ x + \frac{2}{3} = - \frac{7}{3} \Rightarrow x = - \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{9}{3} = - 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - \frac{x}{6} = \frac{7}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - \frac{x}{6} + \frac{1}{144} = \frac{7}{6} + \frac{1}{144} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{12})}^{2} = \frac{169}{144} \\ \Rightarrow x - \frac{1}{12} = \pm \frac{13}{12} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - \frac{1}{12} = \frac{13}{12} \Rightarrow x = \frac{13}{12} + \frac{1}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \Rightarrow x = \frac{7}{6} \\ x - \frac{1}{2} = - \frac{13}{12} \Rightarrow x = - \frac{13}{12} + \frac{1}{12} = \frac{- 12}{12} = - 1 \Rightarrow x = - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - 12 x + 35 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 12 x = - 35 \\ \Rightarrow x^{2} - 12 x + 36 = - 35 + 36 \\ \Rightarrow {(x - 6)}^{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x - 6 = \pm 1 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 6 = 1 \Rightarrow x = 7 \\ x - 6 = - 1 \Rightarrow x = 5 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 5 x - 12 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x - 6) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{5}{2} x - 6 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{5}{2} x = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} = 6 + \frac{25}{16} \\ \Rightarrow {(x - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{96 + 25}{16} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{121}{16} \\ \Rightarrow x - \frac{5}{4} = \pm \frac{11}{4} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - \frac{5}{4} = \frac{11}{4} \Rightarrow x = \frac{11}{4} + \frac{5}{4} = \frac{16}{4} \Rightarrow x = 4 \\ x - \frac{5}{4} = - \frac{11}{4} \Rightarrow x = - \frac{11}{4} + \frac{5}{4} = \frac{- 6}{4} \Rightarrow x = - \frac{3}{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} 5 x^{2} + 6 x - 8 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 (x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{8}{5}) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{8}{5} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{6}{5} x = \frac{8}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{36}{100} = \frac{8}{5} + \frac{36}{100} \\ \Rightarrow {(x + \frac{6}{10})}^{2} = \frac{160 + 36}{100} \\ \Rightarrow {(x + \frac{6}{10})}^{2} = \frac{196}{100} \\ \Rightarrow x + \frac{6}{10} = \pm \frac{14}{10} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + \frac{6}{10} = \frac{14}{10} \Rightarrow x = \frac{14}{10} - \frac{6}{10} = \frac{8}{10} \Rightarrow x = \frac{4}{5} \\ x + \frac{6}{10} = - \frac{14}{10} \Rightarrow x = - \frac{14}{10} - \frac{6}{10} = \frac{- 20}{10} \Rightarrow x = - 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 9 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 6 x = - 9 \\ \Rightarrow x^{2} - 6 x + 9 = - 9 + 9 \\ \Rightarrow {(x - 3)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2}} = \sqrt{0} \\ \Rightarrow x - 3 = 0 \\ \Rightarrow x = 3 \end{array}$

$x = 3$ ريشه مضاعف است.

$\begin{array}{l} x^{2} + 3 x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 3 x + (\frac{9}{4}) = 0 + (\frac{9}{4}) \\ \Rightarrow {(x + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x + \frac{3}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \\ \Rightarrow x + \frac{3}{2} = \pm \frac{3}{2} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 0 \\ x + \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} \Rightarrow x = - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = - \frac{6}{2} = - 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - 20 x + 30 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 20 x = - 30 \\ \Rightarrow x^{2} - 20 x + 100 = - 30 + 100 \\ \Rightarrow {(x - 10)}^{2} = 70 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x - 10)}^{2} =} \pm \sqrt{70} \\ \Rightarrow x - 10 = \pm \sqrt{70} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - 10 = \sqrt{70} \Rightarrow x = 10 + \sqrt{70} \\ x - 10 = - \sqrt{70} \Rightarrow x = 10 - \sqrt{70} \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - \frac{x}{5} = \frac{6}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{5} x = \frac{6}{5} \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{5} x + \frac{1}{100} = \frac{6}{5} + \frac{1}{100} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{6}{5} + \frac{1}{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{120 + 1}{100} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{121}{100} \\ \Rightarrow \sqrt{{(x - \frac{1}{10})}^{2}} = \sqrt{\frac{121}{100}} \\ \Rightarrow x - \frac{1}{10} = \pm \frac{11}{10} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - \frac{1}{10} = + \frac{11}{10} \Rightarrow x = \frac{11}{10} + \frac{1}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \\ x - \frac{1}{10} = - \frac{11}{10} \Rightarrow x = - \frac{11}{10} + \frac{1}{10} = \frac{- 10}{10} = - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{2} - 2 b x + 15 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 2 b x = - 15 \\ \Rightarrow x^{2} - 2 b x + b^{2} = b^{2} - 15 \\ \Rightarrow {(x - b)}^{2} = b^{2} - 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x - b)}^{2}} = \pm \sqrt{b^{2} - 15} \\ \Rightarrow x - b = \pm \sqrt{b^{2} - 15} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - b = \sqrt{b^{2} - 15} \Rightarrow x = b + \sqrt{b^{2} - 15} \\ x - b = - \sqrt{b^{2} - 15} \Rightarrow x = b - \sqrt{b^{2} - 15} \end{cases}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 2 x + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 (x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{c}{3}) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 3 \neq 0 \\ x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{c}{3} = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{c}{3} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - \frac{2}{3} x = - \frac{c}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = - \frac{c}{3} + \frac{1}{9} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1 - 3 c}{9} \\ \Rightarrow \sqrt{{(x - \frac{1}{3})}^{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - 3 c}{9}} \\ \Rightarrow x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{1 - 3 c}}{3} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{1 - 3 c}}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{1 - 3 c}}{3} \\ x - \frac{1}{3} = - \frac{\sqrt{1 - 3 c}}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{1 - 3 c}}{3} \end{cases}$

تمرین

معادله درجه دوم زیر را با استفاده از مربع کامل و شکل‌های هندسی حل کنید:

$x^{2} + b x = a$

مربع کامل - پیمان گردلو

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های روش مربع کامل

تست شماره 1

در حل معادله درجه دوم:

$2 x^{2} + 12 x - 21 = 0$

به روش مربع کامل، به معادله زیر رسیده‌ایم:

$a {(x - \frac{b}{2})}^{2} = 4 c$

مقدار $a + b + c$ کدام است؟

$\begin{array}{l} \frac{23}{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{23}{4} \end{array}$
$\frac{22}{3}$
$- \frac{22}{3}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

معادله درجه دوم زیر مفروض است:

$5 x^{2} + m x + 10 = 0$

اگر سمت چپ تساوی فوق به‌صورت توان دوم مجموع دو جمله باشد، $m$ کدام است؟

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{5} \end{array}$
$\begin{array}{l} 2 \sqrt{10} \end{array}$
$10 \sqrt{2}$
$- 2 \sqrt{5}$