زاویه بین خط با ضریب زاویه و منحنی با ضریب زاویه در نقطه تقاطع شان، عبارت است از زاویه بین خط و خط مماس بر منحنی در آن نقطه.
برای تعیین زاویه بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل میکنیم:
1- خط را با منحنی قطع میدهیم و مختصات نقطه تقاطع را بهدست میآوریم.
2- از مشتق منحنی به ازای نقطه تقاطع، ضریب زاویه خط مماس بر منحنی در نقطه تقاطع خط و منحنی را بهدست میآوریم.
3- از فرمول زاویه بین خط و منحنی را بهدست میآوریم.
قضیه
اگر دو خط در یک نقطه همدیگر را قطع کنند، زاویه حاده بین دو خط از رابطه زیر به دست میآید.
اثبات
فرض کنید زاویه بین دو خط راست با شیب های به صورت زیر باشد:
اگر زاویه خط با قسمت مثبت محور ها و زاویه خط با قسمت مثبت محور ها باشد، آنگاه:
در شکل فوق با توجه به مثلث داریم:
توجه کنید که چون بین دو خط متقاطع که بر هم عمود نباشند، یک زاویه حاده و یک زاویه منفرجه وجود دارد.
با در نظر گرفتن قدر مطلق در فرمول زاویه بین دو خط، مستقیما زاویه حاده محاسبه میشود:
بررسی زاویه بین خط و منحنی
حالت اول
و برعکس:
پس دو خط موازی هستند بنابراین نتیجه میگیریم که دو خط با شیب های موازی اند اگر و فقط اگر
حالت دوم
دراین حالت تعریف نشده است.
و برعکس:
تعریف نشده است.
حالت سوم
حالت چهارم
یادآوری
بهطور کلی زاویه بین دو خط راست از فرمول زیر به دست میآید:
تمرین
زاويه بين خطوط و منحنیهای زیر را بهدست آوريد.
معادله خط مماس:
چون طرفين معادله را بهتوان رساندهايم، جوابهای بهدست آمده را در معادله امتحان میكنيم كه در معادله تقاطع صدق نمیكند، پس تنها نقطه تقاطع است.
معادله خط مماس:
زاويه خط و منحنی در نقطه میباشد.
زاويه خط و منحنی در نقطه میباشد.
تمرین
منحنی تابع ، محور را در تحت چه زاويهای قطع میكند؟
معادله خط محور عبارت است از .
معادله خط مماس:
شيب مماس در برابر است پس منحنی با محور ها زاويه میسازد.
در كدام نقطه از نمودار تابع خط مماس با خط زاويه میسازد؟
ضريب زاويههای مماس را مساوی با مشتق تابع قرار میدهیم تا نقاط تماس بهدست آید.
بهازای چه مقدار تابع با محور ها زاویه میسازد؟
ضریب زاویه خط مماس بر منحنی بهصورت زیر میباشد:
نقطه تلاقی مماس بر منحنی با محور ها است و مختصاتش در منحنی صدق میکند: