سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی و محورهای مختصات

آخرین ویرایش: 27 بهمن 1402

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

فرض کنیم $P (x, y)$ نقطه‌ای در صفحه مختصات، غیر از مبدا باشد و $θ$ زاویه ای باشد که $O P$ با جهت مثبت محور $x$ در جهت مثلثاتی می‌سازد.

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

$r = O P = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

از $P$ عمود $P H$ را بر محور طول‌ها و عمود $P H^{'}$ را بر محور عرض‌ها رسم می‌کنیم.

نسبت های مثلثاتی $\tan θ, \cos θ, \sin θ$ با فرض زیر:

$r = O P = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

به‌صورت زیر قابل تعریف می‌باشند:

$\begin{array}{l} x = \bar{O H}, y = \bar{O H^{'}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{y}{r} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{\bar{O H}}{O P} \Rightarrow \cos θ = \frac{x}{r} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{P H}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{x} \end{array}$

$\cot θ = \frac{O H}{P H} \Rightarrow \cot θ = \frac{O H}{\bar{O H^{'}}} \Rightarrow \cot θ = \frac{x}{y}$

توجه شود که فاصله نقطه $P$ بر روی این نیم‌خط از نقطه $O$ در محاسبات مهم نیست.

از تعریف فوق چنین بر می‌آید که اگر $P (x, y)$ بر مبدا واقع نباشد:

همواره سینوس و کسینوس زاویه $θ$ (زاویه‌ای که بین شعاع حاصل $O P$ و جهت مثبت محور $O x$ در جهت مثلثاتی ساخته می‌شود) قابل تعریف است.

اگر $x = 0$ یعنی $P$ بر محور $y$ ها واقع باشد، تانژانت زاویه $θ$ تعریف نمی‌شود.
اگر $y = 0$ یعنی $P$ بر محور $x$ ها واقع باشد، کتانژانت زاویه $θ$ تعریف نمی‌شود.
اگر $P$ بر هیچ‌یک از محور نباشد، تانژانت و کتانژانت زاویه $θ$ وارون یک‌دیگرند.

تمرین

نسبت های مثلثاتی را برای نقاط زیر بنویسید.

$M (3, 5)$

$\begin{array}{l} r = O M = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{5}{\sqrt{34}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{3}{\sqrt{34}} \\ \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{5}{3} \\ \cot θ = \frac{3}{5} \end{array}$

$N (- 2, 3)$

$\begin{array}{l} r = O N = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 2}{\sqrt{13}} \\ t an θ = \frac{y}{x} = \frac{3}{- 2} \\ \cot θ = \frac{- 2}{3} \end{array}$

$R (5, 0)$

$\begin{array}{l} r = O R = \sqrt{25} = 5 \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{0}{5} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{5}{5} = 1 \\ \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{0}{5} = 0 \end{array}$

در نقطه $R$ نسبت مثلثاتی $c o t θ$ تعریف نمی‌شود.

$S (0, 2)$

$\begin{array}{l} r = O S = \sqrt{4} = 2 \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{2}{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{0}{2} = 0 \\ \cot θ = \frac{x}{y} = \frac{0}{2} = 0 \end{array}$

در نقطه $S$ نسبت مثلثاتی $\tan θ$ تعریف نمی‌شود.

علامت نسبت‌ های مثلثاتی در نواحی چهارگانه

اگر $P (x, y)$ نقطه‌ای در صفحه مختصات بوده و بر هیچ‌یک از محورهای مختصات واقع نباشد و $θ$ زاویه بین شعاع حاصل از نقطه $P$ و نیم خط $O x$ در جهت مثلثاتی باشد، علامت هر یک از چهار نسبت مثلثاتی را می‌توان مشخص کرد.

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه اول

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{y}{r} \overset{y > 0}{\to} s i n θ > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{\bar{O H}}{O P} \Rightarrow \cos θ = \frac{x}{r} \overset{x > 0}{\to} c o s θ > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{P H}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{x} \to_{y > 0}^{x > 0} t a n θ > 0 \end{array}$

$\cot θ = \frac{O H}{P H} \Rightarrow \cot θ = \frac{O H}{\bar{O H^{'}}} \Rightarrow \cot θ = \frac{x}{y} \to_{y > 0}^{x > 0} c o t θ > 0$

تمرین

اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در ناحيه اول باشد و داشته باشيم:

$\tan θ = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}; (a, b > 0)$

ثابت کنيد:

$\frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = \sqrt{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}}} \times (\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}})$

$\begin{array}{l} \tan θ = \sqrt[3]{\frac{b}{a}} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} \overset{a, b > 0}{\to} \{\begin{cases} y = \sqrt[3]{b} \\ x = \sqrt[3]{a} \end{cases} \end{array}$

$i f r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow r = \sqrt{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}}}$

$\begin{array}{l} \frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = \frac{a}{(\frac{x}{r})} + \frac{b}{(\frac{y}{r})} \\ \Rightarrow \frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = \frac{r a}{x} + \frac{r b}{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = r (\frac{a}{x} + \frac{b}{y}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = r (\frac{a}{\sqrt[3]{a}} + \frac{b}{\sqrt[3]{b}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = \sqrt{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}}} . (a^{1 - \frac{1}{3}} + b^{1 - \frac{1}{3}}) \end{array}$

$\Rightarrow \frac{a}{\cos θ} + \frac{b}{\sin θ} = \sqrt{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}}} . (\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}})$

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه دوم

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{y}{r} \overset{y > 0}{\to} s i n θ > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{\bar{O H}}{O P} \Rightarrow \cos θ = \frac{x}{r} \overset{x < 0}{\to} c o s θ < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{P H}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{x} \to_{y > 0}^{x < 0} t a n θ < 0 \end{array}$

$\cot θ = \frac{O H}{P H} \Rightarrow \cot θ = \frac{O H}{\bar{O H^{'}}} \Rightarrow \cot θ = \frac{x}{y} \to_{y > 0}^{x < 0} c o t θ < 0$

تمرین

نقطه $P$ در دستگاه مختصات دکارتی زیر در نظر بگیرید:

نسبت های مثلثاتی متناظر با نقطه $P$ را بنویسید.

$\begin{aligned} r^{2} & = x^{2} + y^{2} = {(- 3)}^{2} + {(4)}^{2} = 25 \end{aligned} \Rightarrow r = 5$

$\begin{matrix} \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{4}{5} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 3}{5} \\ \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{4}{- 3} \\ c o t θ = \frac{x}{y} = \frac{- 3}{4} \end{matrix}$

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه سوم

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{y}{r} \overset{y < 0}{\to} s i n θ < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{\bar{O H}}{O P} \Rightarrow \cos θ = \frac{x}{r} \overset{x < 0}{\to} c o s θ < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{P H}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{x} \to_{y < 0}^{x < 0} t a n θ > 0 \end{array}$

$\cot θ = \frac{O H}{P H} \Rightarrow \cot θ = \frac{O H}{\bar{O H^{'}}} \Rightarrow \cot θ = \frac{x}{y} \to_{y < 0}^{x < 0} c o t θ > 0$

تمرین

دستگاه مختصات دکارتی زیر را در نظر بگیرید.

مقدار $y$ را محاسبه کنید.

$\begin{matrix} \begin{aligned} r^{2} & = x^{2} + y^{2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \Rightarrow y^{2} & = r^{2} - x^{2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \Rightarrow y^{2} & = {(13)}^{2} - {(- 5)}^{2} \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{aligned} \Rightarrow y^{2} & = 169 - 25 \end{aligned} \\ \begin{aligned} \Rightarrow y^{2} & = 144 \end{aligned} \\ \begin{aligned} \Rightarrow y & = \pm 12 \end{aligned} \end{matrix}$

چون زاویه $θ$ در ربع سوم قرار دارد بنابراین $y = - 12 < 0$ قابل قبول است.

نسبت های مثلثاتی متناظر با نقطه $K$ را بنویسید.

$\begin{matrix} \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 12}{13} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 5}{13} \\ \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- 12}{13} \\ c o t θ = \frac{x}{y} = \frac{13}{- 12} \end{matrix}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\cot θ = \frac{5}{3}, r = 2 \sqrt{17}$

فرض کنیم انتهای کمان مقابل به $θ$ در ناحيه سوم باشد.

مختصات نقطه $P$ را بيابيد.

$\begin{array}{l} \cot θ = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \Rightarrow y = \frac{3}{5} x \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(2 \sqrt{17})}^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 68 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + {(\frac{3}{5} x)}^{2} = 68 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{9}{25} x^{2} = 68 \\ \Rightarrow x^{2} = 50 \\ \Rightarrow x = \pm 5 \sqrt{2} \end{array}$

نقطه $P$ در ناحيه سوم است. ( $x < 0, y < 0$ )

$i f x = - 5 \sqrt{2} \Rightarrow y = \frac{3}{5} (- 5 \sqrt{2}) \Rightarrow y = - 3 \sqrt{2}$

مختصات نقطه $P$ را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

$P (- 5 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2})$

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه چهارم

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{y}{r} \overset{y < 0}{\to} s i n θ < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{\bar{O H}}{O P} \Rightarrow \cos θ = \frac{x}{r} \overset{x > 0}{\to} c o s θ > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{P H}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{x} \to_{y < 0}^{x > 0} t a n θ < 0 \end{array}$

$\cot θ = \frac{O H}{P H} \Rightarrow \cot θ = \frac{O H}{\bar{O H^{'}}} \Rightarrow \cot θ = \frac{x}{y} \to_{y < 0}^{x > 0} c o t θ < 0$

یادآوری

خلاصه مطالب فوق، در جدول زیر آمده است:

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

استفاده از تشابه در مثلثات

برای معرفی مفهوم مثلثات، به مفهوم تشابه نیاز داریم.

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

در شکل فوق بر نیم خط $O t$ دو نقطه $P (x_{1}, y_{1})$ و $Q (x_{2}, y_{2})$ به‌غیر از مبدا اختیار شده‌اند.

اگر این خط با جهت مثبت محور $x^{'} O x$ زاویه $θ$ بسازد، خواهیم داشت:

برای نقطه $P$ داریم:

$(Ι) : \sin θ = \frac{\bar{M P}}{O P} = \frac{\bar{O R}}{O P}$

برای نقطه $Q$ داریم:

$(Ι Ι) : \sin θ = \frac{\bar{N Q}}{O Q} = \frac{\bar{O S}}{O Q}$

$Δ O P M ~ Δ O Q N \Rightarrow \frac{O P}{O Q} = \frac{\bar{M P}}{\bar{N Q}} \Rightarrow \frac{\bar{N Q}}{O Q} = \frac{\bar{M P}}{O P}$

طرف دوم تساوی‌های فوق با هم برابرند.

به‌عبارت دیگر برای یافتن $\sin θ$ اگر بر نیم خط $O t$ هر نقطه غیر از مبدا را اختیار کنیم نتیجه یک‌سان خواهد بود و این مطلب در مورد سایر نسبت‌های مثلثاتی هم صادق است.

معمولا نقطه $P$ را بر روی نیم‌خط $O t$ چنان اختیار می‌کنند که به‌ازای آن $O P = r = 1$ باشد.

تمرین

بر روی نيم خط $x + y \geq 0$ با شرط $(x \leq 0)$ نقطه‌ای دل‌خواه اختيار کنيد و نسبت‌های مثلثاتی زاويه پديد آمده بين شعاع حامل اين نقطه و نيم‌خط $o x$ در جهت مثلثاتی را محاسبه کنيد.

اين نيم‌خط به‌صورت شکل زیر است:

نسبت‌های مثلثاتی - محورهای مختصات - پیمان گردلو

نقطه $P (- 1, 1)$ را بر روی اين نيم‌خط اختيار می‌کنيم، خواهيم داشت:

$\begin{array}{l} O P = r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1)}^{2}} = \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{1}{- 1} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} = \frac{- \sqrt{2}}{2}, \cot g θ = \frac{x}{y} = \frac{- 1}{1} = - 1 \end{array}$

تمرین

نيم‌خط $3 y - 2 x = 0$ را با شرط $(x \leq 0)$ را رسم کنيد.

نسبت‌های مثلثاتی - محورهای مختصات - پیمان گردلو

با اختيار نقطه‌ای دل‌خواه بر آن نسبت‌های مثلثاتی زاويه $θ$ را مشخص کنيد.

$\begin{array}{l} 3 y - 2 x = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3} x, y \leq 0 \\ i f A (- 3, - 2), O (0, 0) : \end{array}$

$\begin{array}{l} O A = r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 2}{\sqrt{13}} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 3}{\sqrt{13}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3} \\ \cot θ = \frac{x}{y} = \frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2} \end{array}$

تمرین

نقطه $P (3, m - 1)$ در ناحيه چهارم می‌باشد.

$θ$ زاويه بين شعاع حامل نقطه $P$ و نيم‌خط $o x$ در جهت مثلثاتی است، به‌طوری‌که $\cos θ = \frac{6}{10}$ است.

مقدار $m$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \Rightarrow \frac{6}{10} = \frac{3}{r} \Rightarrow r = 5 \\ x^{2} + y^{2} = 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(3)}^{2} + {(m - 1)}^{2} = 25 \\ \Rightarrow {(m - 1)}^{2} = 16 \\ \Rightarrow m - 1 = \pm 4 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} m = 5 \\ m = - 3 \end{cases} \end{array}$

نقطه $P$ در ناحيه چهارم است.

بنابراین $m - 1 < 0$ است پس $m = - 3$ قابل قبول است.

$m = - 3; P (3, - 4)$

ساير نسبت‌ های مثلثاتی زاويه $θ$ را معلوم کنيد.

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 4}{5} \\ \tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- 4}{3} \\ \cot g θ = \frac{- 3}{4} \end{array}$

تمرین

نقطه $P (x, y)$ نقطه‌ ای در صفحه مختصات می‌باشد به‌طوری‌که واقع بر هيچ‌يک از محورهای مختصات نیست.

$θ$ زاويه بين شعاع حامل نقطه $P$ و نيم‌خط $o x$ در جهت مثلثاتی می‌باشدباشد.

ثابت کنيد:

$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$

$\begin{array}{l} P (x, y) : r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}$

$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = {(\frac{y}{r})}^{2} + {(\frac{x}{r})}^{2} = \frac{y^{2}}{r^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{y^{2} + x^{2}}{r^{2}} = \frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 1$

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

$\tan θ = \frac{y}{x} = \frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}} = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

$\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}$

$\cot θ = \frac{x}{y} = \frac{(\frac{x}{r})}{(\frac{y}{r})} = \frac{\cos θ}{\sin θ}$

$\tan θ . \cot θ = 1$

$\tan θ \times \cot θ = \frac{y}{x} \times \frac{x}{y} = 1$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی و محورهای مختصات

علامت نسبت‌ های مثلثاتی در نواحی چهارگانه

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه اول

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه دوم

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه سوم

نسبت‌ های مثلثاتی در ناحیه چهارم

استفاده از تشابه در مثلثات

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟