قاعده ادغام در سری

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402
دسته‌بندی: سری های ریاضی
امتیاز:

قضیه

قاعده ادغام در سری (قاعده تلسکوپی)

اگر f تابعی بر مجموعه اعداد طبیعی باشد، داریم:

k=1nfkfk+1=f1fn+1

اثبات

Sn=k=1nfkfk+1

Sn=f1f2+f2f3+f3f4+...+fnfn+1

Sn=f1fn+1

رابطه فوق، قاعده مهمی است که در تعیین همگرایی بعضی از سری ها به کار می‌رود.

تذکر

S=limn+Sn=limn+f1fn+1=f1limn+fn+1

تمرین

با استفاده از قاعده ادغام، همگرایی سری زیر را بررسی کنید.

k=1n14k14k+1

یادآوری می‌کنیم که:


k=1nfkfk+1=f1fn+1


بنابه قاعده ادغام با فرض زیر داریم:

fk=14k


Sn=k=1n14k14k+1

Sn=f1fn+1    ;    fk=14k

Sn=1414n+1

limn+Sn=limn+1414n+1

limn+Sn=141


limn+Sn=140limn+Sn=14S=14


اين سری به عدد 14 همگراست.

n=11n+2n+3

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

1n+2n+3=An+2+Bn+3

1n+2n+3=An+3+Bn+2n+2n+3


1n+2n+3=A+Bn+3A+2Bn+2n+3   ;A+B=03A+2B=1  A=1B=1


1n+2n+3=1n+21n+3


k=11n+2n+3=n=11n+21n+3


S=k=1+f1nf1n+1    ;    1

S=f1limn+fn+1


S=13limn+1n+3S=13


1: بنا به قاعده ادغام و با فرض زیر، داریم:

fn=1n+2


S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1


اين سری به عدد 13 همگراست. 

n=1logn2+2nn+12

logn2+2nn+12=lognn+2n+12

logn2+2nn+12=lognn+1×n+2n+1


logn2+2nn+12=lognn+1+logn+2n+1

logn2+2nn+12=lognn+1logn+1n+2


n=1+logn2+2nn+12=k=1+lognn+1logn+1n+2


S=k=1+f1nf1n+1    ;    1

S=f1limn+fn+1


S=log12limn+logn+1n+2S=log12log1S=log12


1: بنا به قاعده ادغام و با فرض fn=lognn+1 می‌توان نوشت:

S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1


اين سری به عدد log12 همگراست. 

k=11kk+2

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده ‌تر تجزيه می‌کنيم:

1kk+2=Ak+Bk+21kk+2=Ak+2+Bkkk+2


1kk+2=kA+B+2Akk+2  ;   A=12B=12


1kk+2= 12k+ 12k+2


1kk+2=121k1k+2

k=1+1kk+2=12k=1+1k1k+2


k=1+1kk+2=12k=1+1k1k+1+1k+11k+2


k=1+1kk+2=12k=1+1k1k+1+12k=1n1k+11k+2


k=1+1kk+2=12k=1+f1kf1k+1+12k=1+f2kf2k+1     ;    Ι


S=12f11limk+f1k+1+12f21limk+f2k+1


S=121limk+1k+1+1212limk+1k+2


S=1210+12120S=34


این سری به عدد فوق همگرا است.


: Ι بنا به قاعده ادغام و با فرض زیر داریم:


f1k=1k  ,  f2k=1k+1


S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1

k=1+2k+4k+6

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده ‌تر تجزيه می‌کنيم:


2k+4k+6=Ak+4+Bk+6

2k+4k+6=Ak+6+Bk+4k+4k+6


2k+4k+6=A+BK+6A+4Bk+4k+6    ;   A+B=06A+4B=2A=1B=1


2k+4k+6=1k+41k+6


k=1+2k+4k+6=k=1+1k+41k+6


k=1+2k+4k+6=k=1+1k+41k+5+1k+51k+6


k=1+2k+4k+6=k=1+1k+41k+5+k=1+1k+51k+6   ;   Ι


S=f11limk+f1k+1+f21limn+f2k+1


S=15limk+1k+5+16limk+1k+6


S=15+16S=1130


این سری به عدد فوق همگرا است.


: Ι بنا به قاعده ادغام و با فرض زیر داریم:


f1k=1k+4  ,  f2k=1k+5


S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1

k=11kk+3

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده ‌تر تجزيه می‌کنيم:


1kk+3=Ak+Bk+3

1kk+3= 13k+ 13k+3    ;    A=13B=13

1kk+3=131k1k+3


k=1+1kk+3=13k=1+1k1k+3


k=1+1kk+3=13k=1+1k1k+1+1k+11k+2+1k+21k+3


k=1+1kk+3=13k=1+1k1k+1+k=1+1k+11k+2+k=1+1k+21k+3    ;    Ι


S=13f11limk+f1k+1+13f21limn+f2k+1+13f31limn+f3k+1


S=131limk+1k+1+12limk+1k+2+13limk+1k+3


S=131+12+13S=1118


این سری به عدد فوق همگرا است.


: Ι بنا به قاعده ادغام و با فرض زیر داریم:


f1k=1k  ,  f2k=1k+1  ,  f3k=1k+2


S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1

k=1+ sin1k+1k+2 cos1k+1.cos1k+2

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده ‌تر تجزيه می‌کنيم:


1k+1k+2=1k+11k+2


sin1k+1k+2=sin1k+11k+2


sin1k+1k+2=sin1k+1.cos1k+2cos1k+1.sin1k+2


 sin1k+1k+2 cos1k+1.cos1k+2= sin1k+1.cos1k+2cos1k+1.sin1k+2 cos1k+1.cos1k+2


k=1+ sin1k+1k+2 cos1k+1.cos1k+2=k=1+ sin1k+1.cos1k+2cos1k+1.sin1k+2 cos1k+1.cos1k+2


k=1+ sin1k+1k+2 cos1k+1.cos1k+2=k=1+tan1k+1tan1k+2    ;   Ι


S=f1limk+fk+1S=tan12limk+tan1k+2


S=tan12tan0S=tan12


این سری به عدد فوق همگرا است.


: Ι بنا به قاعده ادغام و با فرض زیر داریم:


fk=1k+1


S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1


یادآوری)

sinab=sina.cosbcosa.sinb

k=1n14k21

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده ‌تر تجزيه می‌کنيم:


14k21=12k12k+1


14k21=A2k1+B2k+1    ;    A=12B=12


14k21=1212k112k+1


k=1n14k21=12k=1n12k112k+1    ;    fk=12k1


S=12f1limn+fn+1


S=121211limn+12n+11


S=1210S=12

n=11n+1+n

=n=11n+1+n×n+1nn+1n


=n=1n+1n=n=1nn+1


=f1limn+fn+1=1limn+n+1

=1+limn+n+1    ;    n+

=+

n=1Lnnn+1

=n=1+LnnLnn+1    ;    fn=Lnn


=f1limn+fn+1=Ln1limn+Lnn+1


=limn+Lnn+1=0+=


سری فوق واگرا است.

n=155n+25n+7

=n=1+15n+215n+7    ;    fn=15n+2


=f1limn+fn+1=17limn+15n+7=17

i=1n2i+1i2i+12

=i=1ni+12i2i2i+12

=i=1n1i21i+12    ;    fi=1i2


=f1fn+1=11n+12

k=12k+3k2+2kk2+4k+3

=k=1+2k+3k+121k+221


=k=1+1k+1211k+221    ;    fk=1k+121


=f1limn+fk+1=13limn+1k+221=13

12×5+15×8+18×11+...

=n=1+13n13n+2

=n=1+133n1133n+2


=13n=1+13n113n+2     ;    fn=13n1


=13f1limn+fn+1=1312limn+13n+2=16

11+2+11+2+3+...+11+2+...+n+...

=222+1+233+1+244+1+...+2nn+1+...


=n=2+2nn+1=2n=21nn+1

=2n=21n1n+1    ;    fn=1n

=2f2limn+fn+1


=212limn+1n+1=1

k=2log11k2

=k=2+logk21k2=k=2+logk1k.k+1k


=k=2+logk1k+k=2+logk+1k


=k=2+logk1logk+k=2+logk+1logk


=k=2+logk1logkk=2+logklogk+1    ;    f1k=logk1f2k=logk


=f12limk+f1k+1f22limk+f2k+1


=log1limk+logklog2limk+log2k+1


=limk+logklog2+limk+log2k+1


=log2+limk+log2k+1limk+logk


=log2+limk+logk+1k=log2+limk+log1


=log2+0=log2

n=1n1n!

n=1n1n!


=n=11n1!1n!   ;    fn=1n1!


=f1limn+fn+1=10!limn+1n!


=110=1

دریافت مثال

نکته

همگرایی سری k=11kk+m را بررسی و فرمول کلی برای یافتن عدد همگرا تعیین می‌کنیم.

1kk+m=Ak+Bk+m

1kk+m=1mk+1mk+m   ;   A=1mB=1m

1kk+m=1m1k1k+m

k=1+1kk+m=k=1+1m1k1k+m

k=1+1kk+m=1mk=1+1k1k+m

S=1mk=1+1k1k+1+1k+11k+2+...+1k+m11k+m

S=1m1limn+1k+1+12limn+1k+2+...+1mlimn+1n+m

S=1m1+12+13+...+1m

k=11kk+m=1m1+12+13+...+1m

تمرین

همگرایی سری زیر را محاسبه کنید.

k=11k2+3k

k=11k2+3k=k=11kk+3     ;    m=3

=131+12+13=136+3+26=1118

دریافت مثال

نکته

همگرایی سری k=11kk+1...k+m را بررسی و فرمول کلی برای یافتن عدد همگرا تعیین می‌کنیم.

1kk+1k+2...k+m=Akk+1...k+m1+Bk+1k+2...k+m   ;  A=1mB=1m

1kk+1k+2...k+m=1m1kk+1...k+m11k+1k+2...k+m

k=1+1kk+1k+2...k+m=1mk=1+1kk+1...k+m11k+1k+2...k+m

S=1mk=1+fkfk+1     ;    fk=1kk+1...k+m1

S=1mf1limk+fk+1

S=1m11×2×3×...×mlimk+1k+1k+2...k+m

S=1m1m!limk+1k+1k+2...k+m

S=1m1m!k=11kk+1...k+m=1m.1m!

تمرین

همگرایی سری زیر را محاسبه کنید.

k=11kk+1k+2k+3

k=11kk+1k+2k+3=13.13!    ;    m=3


=13×16=118

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

قاعده ادغام در سری

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید