سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

مثلث قائم الزاویه

آخرین ویرایش: 04 اسفند 1402
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:

نسبت‌ های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه

در مثلث قائم الزاویه ABC در شکل زیر داریم:

سینوس هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر وتر

sinB^=ACBC=ba      ;      sinC^=ABBC=ca

کسینوس هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر وتر

cosB^=ABBC=ca      ;      cosC^=ACBC=ba

تانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر ضلع مجاور

tanB^=ACAB=bc      ;      tanC^=ABAC=cb

کتانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر ضلع مقابل

cotB^=ABAC=cb      ;      cotC^=ACAB=bc

تمرین

مثلث قائم الزاويه متساوی الساقين مفروض است.

نسبت های مثلثاتی زاويه را در این مثلث به‌دست آوريد.

مثلث قائم الزاويه متساوی الساقين ABC به اضلاع زاويه قائم 1 سانتی متر را در نظر می‌گيريم.



B^=C^=45AB=AC=1BC2=AB2+AC2


BC2=12+12BC2=2BC=2


sinB^=ACBC=12=22cosB^=ABBC=12=22


tanB^=ACAB=11=1cotB^=ABAC=1

تمرین

طول قطر مستطيلی 8cm و زاويه حاده بين دو قطر آن 60°  است.

مساحت مستطيل چند سانتی متر مربع است؟

مستطيل ABCD را رسم کنيم.


فرض کنيم O محل برخورد دو قطر باشد.


از B عمود BH را بر قطر AC فرود می‌آوريم.



در مثلث قائم الزاويه OBH داريم:


sin60=BHOB32=BH4BH=23


مساحت مستطيل ABCD دو برابر مساحت مثلث ABC است:


SABCD=2×SABCSABCD=2×AC×BH2


SABCD=8×23SABCD=163

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

با اختيار OP=r=2   نسبت های مثلثاتی زاويه زیر را تعیین کنید.

210°

ابتدا مختصات نقطه P را به‌دست می‌آوریم.


در مثلث OPH داریم:


sin30=PHOP12=PH2PH=1y=1


cos30=OHOP32=OH2OH=3x=3


بنابراین نقطه P-3,-1 در ناحیه سوم مشخص شد، لذا داریم:


sin210=yr=12cos210=xr=32


tan210=yx=13=33cot210=xy=31=3

تمرین

در شکل زیر یک مثلث قائم الزاویه رسم شده است که طول اضلاع مجاور قائمه آن برابر  است.

نشان دهید که زوایای حاده این مثلث 45° است.

در مثلث متساوی‌ الساقین   داریم. (این مثلث قائم‌الزاویه هم می‌باشد)



AB=ACB^=C^B^=180°A^+C^

B^=180°90°+B^    ;    B^=C^


B^=180°90°B^B^+B^=180°90°


2B^=90°B^=45°    ;    B^=C^C^=45°

طول وتر این مثلث را محاسبه کنید.

BC2=AB2+AC2BC2=12+12


BC2=1+1BC2=2BC=2

نسبت های مثلثاتی زاویه 45° را به‌دست آورید.

sin45° برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به زاویه 45° به وتر


sin45°=12=12×22=22


cos45° برابر است با نسبت طول ضلع مجاور به زاویه 45° به وتر


cos45°=12=12×22=22


tan45° برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به زاویه 45° به طول ضلع مجاور به زاویه 45°


tan45°=11=1

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در مثلث قائم الزاویه فوق، نسبت های مثلثاتی زاویه راس A را حساب کنید.

سینوس هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر وتر


1 sinθ=BCAC


در نسبت فوق BC را نداریم، باید آن را از طریق قضیه‌ فیثاغورث پیدا کنیم:


AC2=AB2+BC2132=52+BC2169=25+BC2


BC2=16925BC2=144BC=144BC=12


1sinθ=BCAC=1213


کسینوس هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر وتر


2 cosθ=ABAC=513


تانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر ضلع مجاور


3 tanθ=BCAB=125


کتانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر ضلع مقابل


4 cotθ=ABBC=512

تمرین

در شکل زیر طول وتر یک مثلث قائم الزاویه 10 سانتی متر و سینوس یکی از زوایای آن 35 است.

محیط این مثلث را بر حسب سانتی متر به‌دست آورید.

BC=10   ,   sinθ=35


محیط مثلث به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:


P=AB+AC+BC


برای محاسبه محیط مثلث لازم است ابتدا مقادیر AC و AB را محاسبه کنیم:


sinθ=35AB10=355×AB=3×10


5AB=30AB=305AB=6


با داشتن AB و BC و با استفاده از قضیه‌ فیثاغورث AC را محاسبه می‌کنیم:


BC2=AC2+AB2102=AC2+62100=AC2+36


AC2=10036AC2=64AC=64AC=8


P=AB+AC+BC=6+8+10=24cm2

تمرین

مثلث زیر را در نظر بگیرید.

مطلوب است طول BC.

A^=60  ,  AB=7  ,  AC=12


ΔABH:cos60=AHAB12=AH7AH=72


AB2=BH2+AH2BH2=AB2AH2BH2=49494


BH=732


CH=ACAH=1272=172


ΔBCH:BC2=BH2+HC2=7322+1722=1474+2894=4364=109BC=109

تمرین

نردبانی را به دیوار تکیه داده‌ایم.

فاصله پای نردبان تا دیوار 1 متر و 25 سانتی متر باشد و زاویه نردبان با سطح زمین 36 درجه می‌باشد.

طول نردبان را به‌دست آورید.

cos36°=125BC

BC=125cos36°    ;    cos36°=0/8


BC=1250/8BC=156/25cm

ارتفاع دیوار را به‌دست آورید.

sin36°=ABBC


AB=BC×sin36°    ;    sin36°=0/58


AB=156/25×0/58AB=90/625cm

تمرین

هواپیمایی می‌خواهد از روی باند بلند شود.

ابتدا 300m متر روی باند حر کت کرده تا سرعت لازم را پیدا کند.

سپس با زاویه 45 درجه از زمین بلند می‌شود.

وقتی به بالای انتهای باند می‌رسد، 140 متر ارتفاع گرفته است.

طول کل باند را به‌دست آورید.


AB=300mB^=45°CD=140m


اگر x طول کل باند باشد:


x=AB+BC


BC را محاسبه می‌کنیم:


tan45°=DCBCBC=DCtan45°


BC=1401BC=140


x=AB+BC=300+140=440m

تمرین

فردی با قد یک متر و هفتاد سانتی متر می‌خواهد میله‌ای به طول 3m متر را طبق شکل با زاویه 60° بلند کند. 

او ابتدا یک سر میله را به دیوار تکیه می‌دهد و میله را تا قد خود بالا می‌آورد.

او آن‌قدر به سمت دیوار حرکت می‌کند تا زاویه میله تا سطح زمین 60° شود.

محاسبه کنید این شخص چقدر به‌سمت دیوار حرکت کرده است.

AB=?


در مثلث قائم ‌الزاویه‌ AA'O طول OA را با استفاده از قضیه‌ قیثاغورث محاسبه می‌کنیم:



OA'2=AA'2+OA23002=1702+OA290000=28900+OA2


OA2=9000028900OA2=61100OA=247cm


در مثلث قائم ‌الزاویه‌ BB'O طول OB را با استفاده از قضیه‌ قیثاغورث محاسبه می‌کنیم:


tan60°=BB'OB3=170OBOB=1703


OB1701/7OB100cm


AB=OAOB=247100=147cm

تمرین

هواپیمایی در ارتفاع 3 کیلومتری پرواز می‌کند و در حال نزدیک شدن به فرودگاه در محل R است:

فاصله افقی هواپیما با فرودگاه بر حسب زاویه ای که رادار طبق شکل به‌دست می‌آورد را حساب کنید.


AH=3km


sinx=AHRHcosx=RARHsinxcosx= AHRH RARHtanx=AHRARA=AHtanx

تمرین

یک موشک در ارتفاع 15 متری از سطح زمین و با زاویه 30° پرتاب می‌شود.

می‌خواهیم بدانیم پس از طی 2000 متر با همین زاویه، موشک به چه ارتفاعی از سطح زمین می‌رسد؟


با توجه به شکل فوق، ارتفاع موشک از سطح زمین برابر است با:


BC+MC=BC+15


بنابراین کافی است طول BC را پیدا کنیم.


در مثلث ABC داریم:


sin30°=12BC2000=12BC=1000


ارتفاع موشک از سطح زمین:


1000+15=1015

تمرین

در راهپیمایی بهمن، یک بالن اطلاع رسانی توسط دو طناب به زمین بسته شده است.

طول یکی از طناب ها 30 متراست.

طول طناب دوم را پیدا کنید.

ابتدا اندازه زاویه B را به‌دست می‌آوریم: 


می‌دانیم مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر 180° می‌باشد، پس داریم:


A^+B^+C^=180°


B^=180°A^+C^    ;    A=60°,C=65°


B^=18060°+65°B^=55°


سپس ارتفاع وارد بر ضلع AC را رسم می‌کنیم و آن را BH می‌نامیم.


طول BH را با استفاده ازسینوس زاویه A به‌دست می‌آوریم: 



sinA=BHABsin60°=BHAB


BH=AB×sin60°    ;    sin60°=32AB=30


BH=3032BH=153


اکنون با استفاده از سینوس زاویه 65° ، طول طناب دوم را پیدا می‌کنیم:


sin65°=BHBC


BC=BHsin65°    ;    BH=153sin65°=0/9


BC=1530/9BC=28/86

تمرین

مطابق شکل زیر، نردبانی به طول 8 متر در زیر پنجره ساختمانی قرار گرفته است.

اگر زاویه نردبان با سطح زمین θ=30°  باشد.

ارتفاع پنجره تا سطح زمین را محاسبه کنید.

sinθ=BC8sin30°=BC8


12=BC82BC=8BC=4

فاصله پای نردبان تا ساختمان چه‌قدر است؟

AB2+BC2=AC2AB2=AC2BC2


AB2=8242AB2=48AB=48

تمرین

شش ضلعی منتظم زیر را در نظر بگیرید.

مساحت این شش ضلعی را به‌دست آورید.

هر شش ضلعی منتظم از 6 مثلث متساوی ‌الاضلاع تشکیل شده است.



A^=B^=C^=60°AB=BC=AC=3cm


sinC°=AHACsin60°=AH3sin60°=32AH=3×32=323


SABC=12×AH×BC=12×323×3=2/253=3/89


با توجه به این‌که هر شش ضلعی از شش مثلث متساوی الاضلاع تشکیل شده است، داریم:


6×3/89=23/38

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

مساحت مثلث را پیدا کنید.

مثلث فوق یک مثلث متساوی ‌الساقین می‌باشد و هر مثلث متساوی‌ الساقین از دو مثلث قائم ‌الزاویه تشکیل شده است.



برای به‌دست آوردن مساحت مثلث قائم الزاویه ابتدا AH,BH را به‌دست می‌آوریم.


محاسبه BH:


sinA=BHABsin30°=BHAB


BH=AB×sin30BH=3×12=32


محاسبه AH:


cosA=AHABcos30°=AHAB


AH=AB×cos30°AH=3×32


مساحت قائم ‌الزاویه ABH برابر است با:


SABH=12×BH×AH=12×32×332=983


SABC=2SABH=2×983=3/89

نکته

1- در هر مثلث قائم الزاويه، اندازه ضلع مقابل به زاویه 30 درجه، 12 وتر است.

2- در هر مثلث قائم الزاويه، اندازه ضلع مقابل به زاویه 60 درجه، 32 وتر است.

3- در هر مثلث قائم الزاويه، اندازه ضلع مقابل به زاویه 45 درجه، 22 وتر است.

تمرین

نسبت های مثلثاتی زوايای زیر را در مثلث قائم الزاویه به‌دست آورید.

30°

sin30=12rr=12cos30=32rr=32


tan30=12r32r=13=33cotg30=32r12r=3

45°

sin45=22rr=22cos45=22rr=22


tan45=22r22r=1cotg45=22r22r=1

60°

sin60=32rr=32cos60=12rr=12


tan60=32r12r=3cot60=12r32r=13=33

زوایای متمم در مثلث قائم الزاویه

قضیه

اگر مجموع دو زاویه زیر 90° باشد:

α+θ=90°

آن‌گاه داریم:

cosα=sinθcosθ=sinα

اثبات

cosθ=ACBCcosθ=basinα=ACBCsinα=bacosθ=sinα=ba

cosα=ABBCcosα=casinθ=ABBCsinθ=cacosα=sinθ=ca

نکته

می‌دانیم در مثلث قائم الزاویه فوق، زوایای α و θ متمم هم هستند:

if   α+θ=90

sinα=sin90°-θ=cosθ

cosα=cos90°-θ=sinθ

tanα=tan90°-θ=cotθ

cotα=cot90°-θ=tanθ

تمرین

نسبت های مثلثاتی زوايای  زیر را در مثلث متساوی الاضلاع به‌دست آوريد.

30°

مثلث متساوی الاضلاع ABC به ضلع 2cm (یا هر اندازه دیگر) را در نظر می‌گيريم.


ارتفاع H را رسم می‌کنيم.



می‌دانيم در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع، نيمساز و ميانه نيز می‌باشد.


در مثلث قائم الزاويه AHB داريم:


AB=2  ,  BH=1AB2=AH2+BH2AH2=AB2BH2


AH2=41AH2=3AH=3


sin30=BHAB=12cos30=AHAB=32tan30=BHAH=13=33cot30=AHBH=31=3

60°


sin60=AHAB=32cos60=BHAB=12tan60=AHBH=31=3cot60=BHAH=13=33

چه نتیجه ای می‌گیرید؟

sin30=BHAB=12=cos60cos30=AHAB=32=sin60

tan30=BHAH=13=33=cot60cot30=AHBH=31=3=tan60

تمرین

با توجه به رابطه بين نسبت های مثلثاتی دو زاويه متمم، طرفین دوم تساوی های زیر را به‌دست آورید.

sin20

sin20=sin9070=cos70

cos32

cos32=cos9058=sin58

tan22,30'

tan22,30'=tan9067,30'=cotg67,30'

cos30°

cos30°=cos90°-60°=sin60°=32

محاسبه مساحت در مثلث قائم الزاویه

قضیه

 مثلث دل‌خواه زیر، مفروض است:

مثلث قائم الزاویه - پیمان گردلو

با معلوم بودن مقادیر طول دو ضلع و اندازه زاویه بین آنها، مساحت مثلث به صورت زیر محاسبه می‌شود:

SABC=12AB×BC×sinB

اثبات

مثلث قائم الزاویه - پیمان گردلو

SABC=12AH×BC

sinB=AHABAH=AB×sinB

SABC=12AH×BC=12AB×sinB×BC=12AB×BC×sinB

تمرین

مثلث دل‌خواه زیر، مفروض است:

مساحت مثلث را پیدا کنید.

SABC=12×BC×AH


sin50°=AHABsin50°=AH6AH=sin50°×6AH=0/76×6AH=4/56     ;    sin50°0/76


SABC=12×BC×AH=12×8×4/56=18/24

 

نکته

به‌طور کلی در مثلث زیر داریم:

مثلثات - پیمان گردلو

S=12absinCS=12acsinBS=12bcsinA

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

مثلثات - پیمان گردلو

مساحت مثلث فوق را محاسبه کنید.

S=12absinCS=12710sin25

S=35sin25    ;    sin250.4

S35×0.4S14

دریافت مثال

حالات کلاسیک حل مثلث قائم الزاویه

برای حل مثلث قائم الزاویه A^=90 چهار حالت اصلی وجود دارد که حالات متعارف یا کلاسیک برای حل مثلث قائم الزاویه نامیده می‌شوند.

این چهار حالت از قرار زیر است:

  • معلوم بودن وتر و یک زاویه حاده
  •  معلوم بودن وتر و یک ضلع       
  • معلوم بودن یک ضلع زاویه قائمه و یک زاویه حاده
  • معلوم بودن دو ضلع زاویه قائمه

تمرین

مثلث های قائم الزاويه زیر را حل کنید.

منظور از حل مثلث، يافتن جزء های مجهول آن است.


معلوم های مثلث:


C^=90  ,  B^=36  ,  AB=24


مجهول های مثلث:


A^  ,  BC=a  ,  AC=b


A^+B^+C^=180A^+36+90=180A^=54

sin36=ACABAC=AB.sin36=24×sin36

cos36=BCABBC=AB.cos36=24×sin36

معلوم های مثلث:


AB=50  ,  BC=28  ,  C^=90


مجهول های مثلث:


A^  ,  B^,AC


sinA^=BCABsinA=2850=0.56A^34

A^+B^+C^=18034+B^+90=180B^=56

sinB^=ACABAC=AB.sinB^AC=50×sin56=50×0.829=41.45

C^=90  ,  A^=52  ,  AC=42B^  ,  BC  ,  AB=?


A^+B^+C^=18052+B^+90=180B^=38


tanA^=BCACBC=ACtanA^BC=42tan52BC=42×1.28BC=53.76


cosA^=ACABAB=ACcosA^AB=42cos52AB=420.615AB=68.29

C^=90  ,  BC=18  ,  AC=7.5A^  ,B^  ,  AB=?


tanB^=ACBCtanB^=7.518tanB^=0.41B^22


sinB^=ACABAB=ACsinB^AB=7.5sin22AB7.50.38AB=19.7


A^+B^+C^=180A^+22+90=180A^68

تمرین

در شکل زیر یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 1 رسم شده است.

ارتفاع، میانه و نیمساز مربوط به هر راس برهم منطبق و یکی از آنها در یکی از راس ها  رسم شده است و دو مثلث قائم الزاویه مساوی به‌دست آمده است.

طول اضلاع و زوایای این مثلث های قائم الزاویه را حساب کنید.

در مثلث متساوی ‌الاضلاع هر سه زاویه با هم مساوی است:



A^=B^=C^=60°A1^=A2^=30°


طول اضلاع و زوایای این مثلث های قائم الزاویه را حساب می‌کنیم:


در مثلث قائم‌ الزاویه HAC:


HC=12   ,  AC=1   ,  AH=?


محاسبه‌ طول اضلاع:

AC2=AH2+HC212=AH2+1221=AH2+14

AH2=114AH2=34AH=34AH=32


محاسبه زوایا:

H^=90°   ,   C^=60°   ,   A2^=30°   


در مثلث قائم‌ الزاویه HAB:

AB=1   ,   AH=32   ,   HB=12H^=90°   ,   B^=60°  ,   A2^=30°

سینوس و کسینوس زوایای 30 و 60 درجه را به‌دست آورید.

sin30°=HBAB= 121=12cos30°=AH1= 321=32


sin60°=AHAB= 321=32cos60°=HBAB= 121=12

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مثلث قائم الزاویه

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید