معادلات توانی (نمایی)

آخرین ویرایش: 16 بهمن 1402
دسته‌بندی: توان در ریاضی
امتیاز:

معادله توانی، معادله ای است که در آن مجهول در توان ظاهر شده باشد، مانند: 

2x=16

برای حل چنین معادله ای باید دو طرف معادله را به دو عدد توان دار با پایه های یکسان تبدیل کنیم:

2x=24

سپس توان های دو طرف تساوی را مساوی هم قرار دهیم و جواب معادله را بدست آوریم:

x=4

تذکر

برای حل معادله های توانی باید آگاهی کافی از تعاریف و دستورها و عملیات توانی داشته باشیم.

اغلب برای حل کردن یک معادله توانی باید اعمال جبری مختلفی انجام دهیم تا به یک تساوی قابل حل برسیم.

تمرین

معادلات نمایی زیر را حل می‌کنیم:

32x3=81

32x3=342x3=42x=7x=72

53x=57x2

3x=7x2


2=4x


x=12

3z=9z+5

3z=(32)z+5


3z=32(z+5)


z=2(z+5)


z=2z+10


z=10

459x=18x2

(22)59x=1(23)x2


22(59x)=123(x2)


22(59x)=23(x2)


2(59x)=3(x2)


1018x=3x+6


4=15x


x=415

10t2t=100

10t2t=102


t2t=2


t2t2=0


(t2)(t+1)=0


t=2t=-1

xxx=22

xxx=2122


xxx=222


xxx=12 22


xxx=12 12


xxx=1212


xxx=121212


x=12

xx=22048

روش اول - 


210=1024210×2=1024×2211=2048


xx=22048    ;    211=2048


xx=2211


xx=22×210


xx=222×29


xx=223×28


xx=2828


x=28


x=256


روش دوم - 


xx=22048    ;    if  x=2n


2n2n=22048


2n×2n=22048


n×2n=2048


n=20482n


n=2112n


n=211n


n=8    ;    x=2n


x=28


x=256

xx=xx

در تساوی فوق x>0 می‌باشد:


xx=xx


x1×x12=x12x


x32=xx2


32=x2


x=3


علاوه بر جواب فوق، x=1 هم جواب معادله فوق است.

xx=x    ;    x0

xxx=1xx1=1x=1    ;    x1Rx=1    ;    x1=2kx1=0    ;    x0


جواب معادله x=1,1 می‌باشد.

5x+5x+1=6

5x+5x×5=65x×1+5=66×5x=65x=66

5x=15x=50x=0

52x+2×22x=0.0025

52x×52×22x=251000052x×52×22x=2510425×5×22x=25×104102x=104

2x=4x=42x=2

8×22x2+2=2050

23×22x2=2050222x2+3=204822x2+3=2112x2+3=11

2x2=8x2=4x=±2

1252x×5x2=5

2512x×5x2=55212x×5x2=552×2x×5x2=5

54x×5x2=554x+x2=553x2=513x2=1

3x=3x=33x=1

22x1+1=9

22x1=9122x1=822x1=232x1=3

2x=42x=22x=2

149x32×7x=74

491x32×7x=7472x32×7x=7472x+3×7x=7472x+3+x=74

7x+3=74x+3=4x=1x=1

8x+2=8×34x+4

8x+2=8×34x+18x×828=81x+1

8x×81=81x+18x+1=81x+1


در معادله اخير توان های دو طرف برابرند ولی پايه ها برابر نيستند، بنابراين معادله وقتی جواب دارد كه توان دو طرف معادله صفر شود:


x+1=0x=1

if   x=180=8101=1

32x+32x12×8x+8×23x=320

32x+32x×312×8x+8×8x=32032x+13×32x2×8x+8×8x=3201+13×32x2+8×8x=320

43×9x10×8x=320430×98x=320

98x=30×320×498x=981x=1

3x+3x+1+3x+2+3x+3=360

3x+3x×3+3x×32+3x×33=360


3x×1+3+9+27=3603x×40=3603x=36040

3x=93x=32x=2

52x+1+25x52x+2+25x+152x=5101

52x×5+25x52x×52+52x+152x=5101

52x×5+52x52x×52+52x×5252x=5101

52x5+125+251=510152x5=510152x+1=5101

2x+1=1012x=10112x=100

x=1002x=50

32x+32x12×8x+8×23x=320

32x+32x×312×8x+8×8x=32032x+13×32x2×8x+8×8x=3201+13×32x2+8×8x=320

43×9x10×8x=320430×98x=32098x=30×320×4

98x=981x=1

3x×83x×9642x1=98

3x×83x×9642x×9641=98

3x×83x×9642x×649=98

3×83x×92642x×649=98

8×9264×64x=9264×89264×8x=9264×81x=1

0.5x4×10.1254x=0.252

0.5x4×0.125x4=0.5220.5x4×0.53x4=0.540.5x4×0.53x12=0.54

0.5x4+3x12=0.540.54x16=0.544x16=4

4x=20x=204x=5

2x+126x=8

2×2x26×2x=8


دو طرف معادله را بر 2  تقسيم كرده و در 2x ضرب می‌كنيم:

2x22×2x26×2x=8×2x2


22x25=4×2x22x32=4×2x    ;    if  A=2xA232=4A

A24A32=0A+4A8=0

A+4=0A=42x=4

A8=0A=82x=82x=23x=3

2x+1+22x=6

2×2x+22×2x=6


دو طرف معادله را بر 2  تقسيم كرده و در 2x ضرب می‌كنيم:

2x2×2×2x+4×2x=2x2×6


22x+2=3×2x    ;    if   A=2xA2+2=3×AA23A+2=0A1A2=0

A1=0A=12x=12x=20x=0

A2=0A=22x=21x=1

3×9×27×81×32x32x+9=2×319

3×32×33×34×32x32x+9=2×319

3×39×32x32x+9=2×3193×32x+932x+9=2×31931×32x+9=2×319

2×32x+9=2×31932x+9=3192x+9=19

2x=1992x=10x=5

52x6=1

52x6=502x6=02x=6

x=62x=3

2x1=52x2

2x1=52x12x1=25x1


هيچ توانی از 2 با هيچ توانی از 5 برابر نيست جز توان صفر:

if  x1=0x=1

2x1=25x1211=251120=2501=1


x=1 جواب معادله است.

33x×32x43x1×2x×3x=2x

35x432x1×2x=2x35x4=32x1×2x×2x35x4=32x1×20

35x4=32x15x4=2x15x2x=1+4

3x=3x=33x=1

25x+52x19x1+32x1=152

52x+52x×5132x2+32x1=15252x+52x×5132x×32+32x×31=152


52x1+1532x19+13=15252x×6532x×49=15252x32x×6×95×4=152

52x32x×2710=15252x32x=152×102725x9x=259259x=2591x=1

33x1+1=10

33x1=10133x1=933x1=32

3x1=23x=31x=1

125x=295

215x=2952x5=295x5=95

x=95+5x=100

310×320×330×340×3x3x+99=2×39

310+20+30+40+x3x+99=2×39

3100+x3x+99=2×393×399+x3x+99=2×3931×399+x=2×39

2×399+x=2×39399+x=3999+x=9

x=999x=90

3x2×23×83x×9642x=964

3x×32×23×83x×92642x=964

3×83x×32×23×8164×64x=964

8x×19×8×8164×64x=9648x×8164×64x=9×98×64

81×864×64x=928×64928×64x=928×641x=1

72x2+149x2=6×74×492

72x2×7172x2=6×74×49272x2×772x2=6×74×72272x2×71=6×74×74

72x2×6=6×7872x2=782x2=8

x2=4x=±2

تمرین

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را حل كنيد.

32xy23xy=6536xyx+y=118

32xy23xy=6536    ;    if  32xy=t

t1t=6536t94t+49t=0    ;    t>0

t=94    ;    t=32xy32xy=94

32xy=322xy=2

xyx+y=118xy=118+xyxy=118+2xy=120

xy=2xy=120x=12  ,  y=10x=10  ,  y=12

نکته

گاهی اوقات برای حل معادلات نمایی، از مفاهیم لگاریتم استفاده می‌کنیم.

تمرین

معادلات نمایی زیر را حل کنید.

7x=9

از طرفین لگاریتم در مبنای e (نپر) می‌گیریم که به طور خلاصه با ln نمایش می‌دهیم:

ln7x=ln9


xln7=ln9


x=ln9ln7


x=ln9ln7=2.197224581.94591015=1.12915007


توجه شود که اگر از طرفین، لگاریتم در مبنای ده بگیریم، باز هم به جواب یکسانی خواهیم رسید:

log7x=log9


xlog7=log9


x=log9log7=0.9542425090.845098040=1.12915007

24y+13y=0

24y+1=3y


ln24y+1=ln3y


(4y+1)ln2=yln3


4yln2+ln2=yln3


4yln2yln3=ln2


y(4ln2ln3)=ln2


y=ln24ln2ln3

et+6=2

lnet+6=ln2


t+6lne=ln2


t+6=ln2


t=-6+ln2

5e2z+48=0

5e2z+4=8


e2z+4=85


lne2z+4=ln(85)


2z+4lne=ln(85)


2z+4=ln(85)


2z=ln(85)4


z=12(ln(85)4)

7+15e13z=10

15e13z=3


e13z=15


ln(e13z)=ln(15)


13zlne=ln(15)


13z=ln(15)


3z=1+ln(15)


z=13(1+ln(15))

xxe5x+2=0

x1-e5x+2=0


x=01-e5x+2=0


1-e5x+2=0


e5x+2=1


lne5x+2=ln1


5x+2=ln1


5x+2=0


x=25

4e1+3x9e52x=0

4e1+3x=9e52x


e1+3xe52x=94


e1+3x(52x)=94


e5x4=94


lne5x4=ln94


5x4lne=ln(94)


5x4=ln(94)


5x=4+ln(94)


x=15(4+ln(94))

35x=53x

log35x=log53x

5xlog3=3xlog5

5x3x=log5log3

53x=log5log3

log53x=loglog5log3

xlog53=loglog5loglog3

xlog5log3=loglog5loglog3


x=loglog5loglog3log5log3

3x22x+2=5x    ;    x0

3x22x+21x=5x1x


3x22x+2x=5


log33x22x+2x=log35


x22x+2xlog33=log35


x22x+2x=log35


x22x+2=log35x


x2log35+2x+2=0    ;    x>0


x=log35+2±log35+224122


x=log35+2±log352+4log3542

دریافت مثال

تذکر

1- توان دوم یک عدد را  مجذور آن عدد و توان سوم یک عدد را مكعب آن عدد می‌نامیم.

2- در تجزیه یک عدد، اگر تمام توان‌ها زوج باشند، عدد را مربع كامل و اگر تمام توان‌ها مضربی از سه باشند، عدد را مكعب كامل گویند.

تمرین

كوچک‌ترين عددی كه بايد در 1350 ضرب شود تا آن را مربع كامل كند چيست؟

1350=2×33×52


اگر توان های عدد 2 و 3 را زوج كنيم، عدد مربع كامل می‌شود.


كافی است عدد 1350 را در عدد زیر ضرب کنیم:


2×3=6


بنابراین داریم:


1350×2×3=2×2×3×33×52=22×34×52

كوچک‌ترين عددی كه بايد در عدد 3600 ضرب شود تا آن را مكعب كامل كند چيست؟

3600=24×32×52


اگر توان های عدد 2 و 3 و 5 مضربی از 3 باشند، عدد مکعب كامل می‌شود.


كافی است عدد 3600 را در عدد زیر ضرب کنیم:


22×31×51=60

كوچک‌ترين عدد طبيعی كه در 1200 بايد ضرب شود تا آن را به يک عدد مربع كامل تبديل كند چيست؟

1200=24×3×52


اگر توان عدد 3 را زوج كنيم، عدد مربع كامل می‌شود.


كافی است عدد 1200 را در عدد 3 زیر ضرب کنیم:


1200×3=24×3×3×52=24×32×52

كوچک‌ترين عدد طبیعی كه بايد در عدد 1200 ضرب شود تا آن را مكعب كامل كند چيست؟

1200=24×3×52


اگر توان های عدد 2 و 3 و 5 مضربی از 3 باشند، عدد مکعب كامل می‌شود.


كافی است عدد 1200 را در عدد زیر ضرب کنیم:


22×32×51=180

چند عدد مربع كامل سه رقمی وجود دارد؟

100x2961102x231210x31


تعداد اعداد مربع كامل سه رقمی برابر است با:


3110+1=22

كوچک‌ترين عدد طبيعی x كه به‌ازای آن 90x مكعب كامل است را بیابید.

90x=32×2×5×xx=3×22×52=300

مجذور عدد سه رقمی xxx¯ را به‌دست آورید؟ 

xxx¯2=100×x+101×x+102×x2

xxx¯2=x+10x+100x2xxx¯2=111x2

xxx¯2=1112x2xxx¯2=12321x2

دریافت مثال

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

فرض کنید 5x=10 باشد، اگر 2fx=20 باشد، ضابطه f کدام است؟

  1. 2x+1x+1
  2. x12x1
  3. 2x1x1
  4. x+12x+1
مشاهده پاسخ تست بستن

تست شماره 2

خارج قسمت تقسیم 813n5 بر 2723n برابر 81 است.

مقدار عددی 7n کدام یک از گزینه ای زیر است؟

  1. 103
  2. 107
  3. 109
  4. 2
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 3

المپیاد ریاضی

جواب های معادله نمایی زیر،  اعداد چند رقمی است؟

5x3x=16

  1. دو رقمی
  2. سه رقمی
  3. یک رقمی
  4. یک رقمی و سه رقمی
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 4

المپیاد ریاضی

معادله نمایی زیر را در نظر بگیرید:

xx+2x+8=3y

مقدار x+y کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

  1. 3
  2. 1
  3. 4
  4. 7
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 5

المپیاد ریاضی

معادله نمایی زیر را در نظر بگیرید:

212x22=y2+2

مقدار x+y کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

  1. 0
  2. -3
  3. 2
  4. 12
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 6

المپیاد ریاضی 

معادله زیر در مجموعه اعداد صحیح چند جواب دارد؟

52x+1+621×10x=100×4x

  1. چهار جواب
  2. سه جواب
  3. دو جواب
  4. یک جواب
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 7

دستگاه زیر را در نظر بگیرید:

9xy22×3xy2=3x+y=4

مقدار x-y کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 8

المپیاد ریاضی

معادله نمایی زیر چند جواب دارد؟

4x=x4

  1. یک جواب
  2. دو جواب
  3. سه جواب
  4. چهار جواب
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 9

المپیاد ریاضی

تساوی زیر برقرار است:

2a=3b=7c=42

مقدار عبارت 1a+1b+1c کدام یک از گزینه های زیر است؟

  1. 5
  2. 1
  3. 4
  4. 2
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

معادلات توانی (نمایی)

22,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید