حد و همسایگی

$\begin{array}{l}y\left(t\right)=16-5t^2\\ \\ \Rightarrow y\left(1\right)=16-5{\left(1\right)}^2\\ \\ \Rightarrow y\left(1\right)=16-5\\ \\ \Rightarrow y\left(1\right)=11m\end{array}$

$\begin{array}{l}y\left(t\right)=16-5t^2\\ \\ \Rightarrow y\left(1+h\right)=16-5{\left(1+h\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow y\left(1+h\right)=16-5\left(1+2h+h^2\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}\Rightarrow y\left(1+h\right)=16-5-10h-5h^2\\ \\ \Rightarrow y\left(1+h\right)=-5h^2-10h+11\end{array}\end{array}$

$y\left(1+h\right)-y\left(1\right)=\left(-5h^2-10h+11\right)-11=-5h^2-10h$

این حرکت در‌ $\left(1+h\right)-1=h$ ثانیه انجام شده است.

$\overline{V}=\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}=\frac{y\left(1+h\right)-y\left(1\right)}{\left(1+h\right)-1}=\frac{-5h^2-10h}{h}=-5h-10$

$x\left(t\right)=t^2-t\Rightarrow x\left(t\right)=\left(t^2-t+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}\Rightarrow x\left(t\right)={\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$

نمودار این تابع در دامنه‌ اش $t\ge 0$ به‌صورت زیر است: 

تحلیل شکل فوق به صورت زیر است:

در $t=0$ متحرک در نقطه $x=0$ یعنی مبدا قرار دارد.

در $t=\frac{1}{2}$ متحرک به اندازه $x=-\frac{1}{4}$ در خلاف جهت حرکت کرده اما در $t=1$ مجددا به نقطه $x=0$ یعنی مبدا، می‌رسد.

$\begin{array}{l}x\left(2\right)={\left(2\right)}^2-2=2\\ \end{array}$

$x=\left(2+h\right)={\left(2+h\right)}^2-\left(2+h\right)=\left(4+4h+h^2\right)-2-h=h^2+3h+2$

$\overline{V}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x\left(2+h\right)-x\left(2\right)}{\left(2+h\right)-2}=\frac{\left(h^2+3h+2\right)-2}{h}=\frac{h^2+3h}{h}=\frac{h\left(h+3\right)}{h}=h+3$