تابع

$\begin{array}{c}\left(x_1,y_1\right)\in f\wedge \left(x_1,y_2\right)\in f\\ \\ \Rightarrow \left(x_1^2=y_1\right)\wedge \left(x_1^2=y_2\right)\\ \\ \Rightarrow y_1=y_2 \end{array}$

رابطه $f$ تابع است.

$\begin{array}{l}\left(x_1,y_1\right)\in f\wedge \left(x_1,y_2\right)\in f\\ \\ \Rightarrow \left(x_1=y_1^2\right)\wedge \left(x_1=y_2^2\right)\\ \\ \Rightarrow y_1^2=y_2^2\\ \\ \Rightarrow y_1=\pm y_2\end{array}$

رابطه فوق تابع نیست زیرا فقط به $y_1=y_2$ نرسیدیم بلكه عامل اضافه‌ای به صورت $y_1=-y_2$ هم ظاهر شده است.

این بدان معنی است كه به‌ازای هر $x$ دو تا $y$ ظاهر شده است. 

$\left\{\begin{array}{l}if\left(x_1,y_1\right)\in f\Rightarrow f\left(x_1\right)=y_1\Rightarrow 2x_1^3+1=y_1\\ if\left(x_1,y_2\right)\in f\Rightarrow f\left(x_1\right)=y_2\Rightarrow 2x_1^3+1=y_2\end{array}\right.$

$y_1=y_2$ و رابطه $f$ تابع است.

$\left\{\begin{array}{l}{y_1}^3+2y_1-x^2=0\\ {y_2}^3+2y_2-x^2=0\end{array}\right.〉\left({y_1}^3+2y_1-x^2\right)-\left({y_2}^3+2y_2-x^2\right)=0$

$\begin{array}{l}\left({y_1}^3-{y_2}^3\right)+2\left(y_1-y_2\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left(y_1-y_2\right)\left({y_1}^2+y_1{y}_2+{y_2}^2\right)+2\left(y_1-y_2\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left(y_1-y_2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+y_1{y}_2+2\right)=0\end{array}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_1-y_2=0\Rightarrow y_1=y_2\\ {y_1}^2+{y_2}^2+y_1{y}_2+2\ne 0\end{array}\right.$