نمودار ون یکی از روشهای حل مسائل مربوط به جبر مجموعهها است و برای اولین بار توسط یک منطقدان انگلیسی به نام جان وِن این شیوه مطرح گردید.
در نمودار وِن، مجموعه مرجع را درون یک مستطیل نشان میدهند، درحالیکه زیر مجموعه های با درون دوایر یا خمهای بسته دیگر، نمایش داده میشود.
تمرین
مجموعه را با استفاده از نمودار ون نشان دهید.
تمرین
دو مجموعه و بهصورت نمودار ون رسم شده است:
مجموعههای و را با عضوهایشان مشخص کنید.
تمرین
دو مجموعه و را در نظر میگیریم.
از دانش آموزان یک کلاس خواسته شده است که با توجه به این دو مجموعه، مجموعههای و را با نمودار ون نمایش دهند.
پاسخ چهار دانش آموز این کلاس را در زیر میبینید:
درباره درستی یا نادرستی پاسخ این دانشآموزان بحث کنید و برای درستی یا نادرستی آنها دلیل بیاورید.
پاسخ حمیده:
حمیده مجموعهها را بهصورت زیر انتخاب کرده و با توجه به خواسته مساله پاسخ او درست است.
پاسخ حنانه:
حنانه مجموعهها را بهصورت زیر انتخاب کرده و با توجه به خواسته مساله پاسخ او درست است.
پاسخ زهرا:
زهرا مجموعهها را بهصورت زیر انتخاب کرده و با توجه به خواسته مساله پاسخ او نادرست است زیرا اشتراک دو مجموعه اشتباه میباشد.
پاسخ ریحانه:
ریحانه مجموعهها را بهصورت زیر انتخاب کرده و با توجه به خواسته مساله پاسخ او درست است.
نکته
شکل زیر یک نمودار وِن است که عبارات زیر را میتوان از آن استخراج کرد:
ممکن است این سوال مطرح شود که نمودار وِن در حل چه مسائلی کاربرد دارد؟
در جواب این سوال اینطور بیان میکنیم که کلا در جبر مجموعه ها دو نوع سوال بیشتر از بقیه مطرح میشود:
1- در مواردی که یک طرف تساوی داده شده باشد و طرف دوم آن از ما خواسته شود، خیلی بهتر است که با استفاده از فرمولها و روابطی که وجود دارند، طرف اول را تا حد امکان ساده کنیم و طرف دوم، آخرین حد ساده شده طرف اول خواهد بود.
2- در مواردی دو طرف تساوی داده شده است و اکثر مواقع از ما شرط برقراری تساوی مزبور خواسته میشود، نمودار ون راه حل اینگونه مسائل را بسیار ساده میکند.
تمرین
مرحله اول المپیاد ریاضی 1401
مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
به چند طریق میتوان زیر مجموعه های را از مجموعه فوق انتخاب کرد بهطوری که داشته باشیم:
نمودار ون مربوط به طرفین تساوی فوق را جداگانه رسم میکنیم:
عبارت دوم نسبت به عبارت اول دو تیکه اضافه دارد.
اگر بخواهیم این دو عبارت برابر باشند، نباید در این دو ناحیه عضوی قرار دهیم.
عضوهای مجموعه را طوری در ساختار زیر میچینیم که در دو ناحیه قرار نگیرند.
هر یک از عضوهای مجموعه، میتوانند در در شش ناحیه فوق به شش حالت قرار بگیرند:
تمرین
مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
به چند طریق میتوان زیر مجموعه های را از مجموعه فوق انتخاب کرد بهطوری که داشته باشیم:
نمودار ون مربوط به مجموعه های را که در رابطه فوق صدق میکنند، در زیر مشاهده میکنید:
در شکل فوق پنج ناحیه مختلف بهصورت زیر داریم:
هر یک از عضوهای مجموعه، در هر یک از نواحی به پنج حالت میتواند چیده شود:
مثلا عضو به پنج طریق در یکی از ناحیه ها میتواند قرار گیرد و به همین ترتیب داریم:
تمرین
با افزودن تعدادی عضو به مجموعه به تعداد اعضای مجموعه های و بهترتیب و واحد اضافه میشود.
در اینصورت تعداد اعضای مجموعه چند واحد افزایش مییابد.
فرض کنیم اعضای مجموعه های بهصورت زیر باشد:
حالا میخواهیم به مجموعه تعدادی اعضا اضافه کنیم و توجه کنید که به مجموعه نمیخواهیم اضافه کنیم.
پس از مجموعه دو عضو را به قسمت منتقل میکنیم.
حال به مجموعه بایستی عضو اضافه شود.
دو عضو از منتقل کردیم به و بایستی عضو دیگر به قسمت اضافه کنیم.
به قسمت به تعداد عضو، اضافه میشود.
تمرین
مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
به چند طریق میتوان زیر مجموعه های را از مجموعه فوق انتخاب کرد بهطوری که داشته باشیم:
نمودار ون مربوط به مجموعه های را که در رابطه فوق صدق میکنند، در زیر مشاهده میکنید:
در شکل فوق شش ناحیه مختلف بهصورت زیر داریم:
هر یک از عضوهای مجموعه، در هر یک از نواحی فوق به شش حالت میتواند چیده شود، بنابراین طبق اصل ضرب داریم:
تمرین
مرحله اول المپیاد ریاضی
فرض کنید یک مجموعه عضوی و زیر مجموعه ای ناتهی از باشد.
تعداد زیر مجموعه هایی مانند از مجموعه را بیابید، بهطوریکه:
به تعداد فردی عضو داشته باشد.
نمودار ون را در حالت کلی بهصورت زیر در نظر میگیریم:
فرض کنیم:
مجموعه متمم مجموعه نسبت به مجموعه در نظر گرفته شده است و داریم:
مجموعه به تعداد عضو دارد، بنابراین زیر مجموعه دارد.
از این تعداد زیر مجموعه، نصفشان فرد میباشد، تعداد زیر مجموعه های فرد، برابر است با:
عضوهای مجموعه هر کدام از این زیر مجموعه های فرد، میتواند باشد.
پس برای به تعداد حالت انتخاب داریم.
مجموعه بخشی از است و زیر مجموعه دلخواهی از ، پس حالت داریم:
برای یافتن تعداد زیر مجموعه های مجموعه داریم:
دریافت مثال