جزءصحیح (براکت)

1- رسم تابع $\left\{\begin{array}{l}f:ℝ\to \mathbb{Z}\\ f\left(x\right)=⌊x⌋+⌈x⌉\end{array}\right.$

تابع فوق را در یک بازه مثلا $\left[0,2\right)$ رسم کرده و نظر کلی را در مورد این تابع بیان می‌کنیم:   

$\begin{array}{l}x=0\Rightarrow ⌊x⌋=⌈x⌉=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\\ \\ 0<x<1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}⌊x⌋=0\\ ⌈x⌉=1\end{array}\right.〉f\left(x\right)=1\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}x=1\Rightarrow ⌊x⌋=⌈x⌉=1\Rightarrow f\left(x\right)=2\\ \\ 1<x<2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}⌊x⌋=1\\ ⌈x⌉=2\end{array}\right.〉f\left(x\right)=3\end{array}$

در هر نقطه صحیح $x=n$ داریم:

$⌊x⌋=⌈x⌉=n$

به‌طور کلی داریم:

$f\left(x\right)=⌊x⌋+⌈x⌉=\left\{\begin{array}{l}2n;x=n\\ 2n+1;n<x<n+1\end{array}\right.〉f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2n;x\in \mathbb{Z}\\ 2n+1;x\notin \mathbb{Z}\end{array}\right.$

2- رسم تابع $\left\{\begin{array}{l}f:ℝ\to \mathbb{Z}\\ f\left(x\right)=⌈x⌉-⌊x⌋\end{array}\right.$  

تابع فوق را در یک بازه مثلا $\left[0,2\right]$ رسم کرده و نظر کلی را در مورد این تابع بیان می‌کنیم:   

$\begin{array}{l}x=0\Rightarrow ⌊x⌋=⌈x⌉=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\\ \\ 0<x<1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}⌈x⌉=1\\ ⌊x⌋=0\end{array}\right.〉f\left(x\right)=1\\ \\ x=1\Rightarrow ⌊x⌋=1,⌈x⌉=1\Rightarrow f\left(x\right)=0\\ \\ 1<x<2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}⌈x⌉=2\\ ⌊x⌋=1\end{array}\right.〉f\left(x\right)=1\\ \\ x=2\Rightarrow ⌊x⌋=⌈x⌉=2\Rightarrow f\left(x\right)=0\end{array}$

به‌طور کلی داریم:

$f\left(x\right)=⌈x⌉-⌊x⌋=\left\{\begin{array}{l}0;x=n\\ 1;n<x<n+1\end{array}\right.〉f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0;x\in \mathbb{Z}\\ 1;x\notin \mathbb{Z}\end{array}\right.$

3- رسم تابع $\left\{\begin{array}{l}f:ℝ\to \mathbb{Z}\\ f\left(x\right)=⌊x⌋-⌈x⌉\end{array}\right.$ 

$\begin{array}{l}iff\left(x\right)=⌊x⌋-⌈x⌉=\left\{\begin{array}{l}0;n\in \mathbb{Z}\\ -1;n\notin \mathbb{Z}\end{array}\right.〉f\left(x\right)=⌊x⌋+⌊-x⌋\end{array}$

$⌊x⌋-⌈x⌉=⌊x⌋+⌊-x⌋\Rightarrow ⌈x⌉=-⌊-x⌋$