سرفصل‌های این مبحث

هندسه دکارتی

طول و عرض از مبدا

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

شکل زیر را در نظر بگیرید:

طول و عرض از مبدا - پیمان گردلو

تعریف طول از مبدا

طول نقطه برخورد خط با محور $x^{'} o x$ را طول از مبدا خط می‌نامند.

در شکل فوق فاصله مبدا مختصات از نقطه $A$ همان طول از مبدا است.

اگر در معادله خط به‌جای $y = 0$ قرار دهیم، $x$ به‌دست آمده را طول از مبدا خط گوییم.

تعریف عرض از مبدا

عرض نقطه برخورد خط با محور $y^{'} o y$ را عرض از مبدا خط می‌نامند.

در شکل فوق فاصله مبدا مختصات از نقطه $B$ همان عرض از مبدا است.

اگر در معادله خط به‌جای $x = 0$ قرار دهیم، $y$ به‌دست آمده را عرض از مبدا خط گوییم.

تمرین

طول از مبدا و عرض از مبدا معادلات خطوط زیر را محاسبه کنید.

$3 x + 2 y = 6$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 6 \\ y = 0 \end{array}〉 3 x + 2 (0) = 6 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2; A (2, 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 6 \\ x = 0 \end{array}〉 3 (0) + 2 y = 6 \Rightarrow 2 y = 6 \Rightarrow y = 3; B (0, 3) \end{array}$

طول و عرض از مبدا - پیمان گردلو

$x = 2$ طول از مبدا و $y = 3$ عرض از مبدا است.

$y = m x + d$

محاسبه طول از مبدا:

$i f y = 0 \Rightarrow 0 = m x + d \Rightarrow m x = - d \Rightarrow x = \frac{- d}{m}; A (\frac{- d}{m}, 0)$

محاسبه عرض از مبدا:

$i f x = 0 \Rightarrow y = d; B (0, d)$

با داشتن این دو نقطه می‌توان خط فوق را رسم کرد.

معادله خط $y = m x + d$ معادله خطوطی است که محورهای مختصات را در نقطه ای غیر از مبدا قطع می‌کند.

$A x + B y + C = 0$

محاسبه طول از مبدا:

$i f y = 0 \Rightarrow A x + C = 0 \Rightarrow A x = - C \Rightarrow x = - \frac{C}{A}$

محاسبه عرض از مبدا:

$i f x = 0 \Rightarrow B y + C = 0 \Rightarrow B y = - C \Rightarrow y = - \frac{C}{B}$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

محاسبه طول از مبدا:

$i f y = 0 \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{0}{b} = 1 \Rightarrow \frac{x}{a} = 1 \Rightarrow x = a; A (a, 0)$

محاسبه عرض از مبدا:

$i f x = 0 \Rightarrow \frac{0}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow y = b; B (0, b)$

طول و عرض از مبدا - پیمان گردلو

نکته

اگر عرض از مبدا چند خط باهم برابر باشند، آن خطوط یک‌دیگر را در نقطه‌ای واقع بر محور عرض‌ها قطع می‌کنند.

تمرین

آیا عرض از مبدا در خطوط به‌معادلات زیر همگی با‌هم برابر هستند؟

$\begin{matrix} y = 3 x + 2 \\ y = 2 x + 2 \\ y = x + 2 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} y = 3 x + 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = 3 (0) + 2 \Rightarrow y = 2 \\ x = 1 \Rightarrow y = 3 (1) + 2 \Rightarrow y = 5 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 2 x + 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = 2 (0) + 2 \Rightarrow y = 2 \\ x = 1 \Rightarrow y = 2 (1) + 2 \Rightarrow y = 4 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = x + 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = (0) + 2 \Rightarrow y = 2 \\ x = 1 \Rightarrow y = (1) + 2 \Rightarrow y = 3 \end{cases} \end{array}$

طول و عرض از مبدا - پیمان گردلو

نکته

اگر طول از مبدا چند خط برابر باشند، آن خطوط یک‌دیگر را در نقطه‌ای واقع بر محور طول‌ها قطع می‌کنند.

تمرین

آیا طول از مبدا در خطوط به‌معادلات زیر همگی با هم برابر هستند؟

$\begin{matrix} y = x + 1 \\ y = 2 x + 2 \\ y = 3 x + 3 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} y = x + 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow y = (- 1) + 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = - 2 \Rightarrow y = (- 2) + 1 \Rightarrow y = - 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 2 x + 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow y = 2 (- 1) + 2 \Rightarrow y = 0 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 2 (- 2) + 2 \Rightarrow y = - 2 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 3 x + 3 \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow y = 3 (- 1) + 3 \Rightarrow y = 0 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 3 (- 2) + 3 \Rightarrow y = - 3 \end{cases} \end{array}$

طول و عرض از مبدا - پیمان گردلو

تمرین

مقادیر $a$ را چنان تعيين كنيد كه طول از مبدا خط به معادله زیر، سه برابر عرض از مبدا آن باشد.

$L : (a - 1) x + a y + a - 2 = 0$

محاسبه عرض از مبدا:

$\begin{array}{l} i f x = 0 \\ \Rightarrow a y + a - 2 = 0 \\ \Rightarrow a y = - (a - 2) \\ \Rightarrow y = \frac{2 - a}{a} \end{array}$

محاسبه طول از مبدا:

$\begin{array}{l} i f y = 0 \\ \Rightarrow (a - 1) x + a - 2 = 0 \\ \Rightarrow x = \frac{2 - a}{a - 1} \end{array}$

اگر طول از مبدا خط، سه برابر عرض از مبدا باشد، داریم:

$\begin{array}{l} \frac{2 - a}{a - 1} = 3 (\frac{2 - a}{a}) \\ \Rightarrow a (2 - a) = 3 (a - 1) (2 - a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (2 - a) - (3 a - 3) (2 - a) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 - a) (a - 3 a + 3) = 0 \\ \Rightarrow (2 - a) (- 2 a + 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 - a = 0 \Rightarrow a = 2 \\ - 2 a + 3 = 0 \Rightarrow - 2 a = - 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2} \end{cases} \end{array}$

تمرین

آيا خطوط زیر بر هم منطبق هستند؟

$\begin{array}{l} L : x - y = 3 \\ L^{'} : 2 x - 2 y = 6 \\ L^{''} : \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} L : x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} L^{'} : 2 x - 2 y = 6 \Rightarrow 2 y = 2 x - 6 \Rightarrow y = x - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} L^{''} : \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2 (x - y) = 6 \Rightarrow x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3 \end{array}$

هر سه خط فوق پس از مرتب شدن به‌صورت $y = x - 3$ در می‌آيند که شيب و عرض از مبدا آنها برابر است.

بنابراين هر سه خط فوق برهم منطبق هستند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

طول و عرض از مبدا

1,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه دکارتی

طول و عرض از مبدا

تعریف طول از مبدا

تعریف عرض از مبدا

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟