سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

تعریف همسایگی

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

همسایگی یک نقطه، یکی از مفاهیم اساسی است که در حد و به طور کلی در حساب دیفرانسیل به کار می‌رود. این مفهوم را در زیر تعریف می‌کنیم.

تعریف همسایگی

اگر $a$ عددی حقیقی باشد، هر بازه باز شامل $a$ را یک همسایگی $a$ می‌نامیم. بنابراین اگر $a \in (c, d)$ باشد، آنگاه بازه باز $(c, d)$ یک همسایگی $a$ است.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

همسایگی متقارن

اگر $a$ عددی حقیقی و وسط بازه باز $(c, d)$ باشد، آنگاه $(c, d)$ را همسایگی متقارن می‌نامیم. عدد $a$ وسط $(c, d)$ است.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

بنابراین اگر $α > 0$ باشد، آنگاه بازه باز $(a - α, a + α)$ را یک همسایگی متقارن $a$ می‌نامیم.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

مثلا $(2, 4)$ یک همسایگی متقارن $3$ و $(- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ یک همسایگی متقارن $0$ است.

مرکز و شعاع همسایگی

در همسایگی متقارن $(a - α, a + α)$ از $a$ ، عدد $a$ را مرکز همسایگی و $α$ را شعاع همسایگی می‌نامیم و این همسایگی را با $N (a, α)$ نشان می‌دهیم.

نکته

فرض کنیم $x$ عددی حقیقی متعلق به یک همسایگی متقارن $a$ باشد، در این صورت روابط زیر معادل هستند:

$x \in N (a, α) \Leftrightarrow a - α < x < a + α \Leftrightarrow - α < x - a < α \Leftrightarrow |x - a| < α$

یعنی شرط لازم و کافی برای آن‌که $x$ متعلق به یک همسایگی متقارن به مرکز $a$ و شعاع $α$ باشد، آن است که فاصله $x$ تا $a$ کمتر از $α$ باشد، یعنی:

$(a - α, a + α) = \{x ||x - a| < α\}, x \in R$

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

تمرین

اگر $x$ متعلق به يک همسايگی $3$ و به شعاع $1$ باشد.

بازه $x$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} x \in N (3, 1) \\ \Rightarrow 3 - 1 < x < 3 + 1 \\ \Rightarrow 2 < x < 4 \end{array}$

تمرین

اگر بازه $(x - 1, 2 x + 3)$ یک همسایگی $2$ باشد، مجموعه مقادیر $x$ را به دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} x - 1 < 2 \Rightarrow x < 3 \\ 2 x + 3 > 2 \Rightarrow 2 x > - 1 \Rightarrow x > - \frac{1}{2} \end{cases}〉 \overset{\cap}{\to} - \frac{1}{2} < x < 3$

تمرین

اگر $α < x < β$ باشد:

آن‌‌را به‌صورت همسايگی متقارن عددی مانند $a$ بنويسيد.

در بازه $(α, β)$ همسايگی متقارن، نقطه وسط آن است يعنی:

$a = \frac{α + β}{2}$

سپس آن‌را به‌صورت $|x - a| < α$ نشان دهيد.

$\begin{array}{l} α < x < β \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow α - \frac{α + β}{2} < x - \frac{α + β}{2} < β - \frac{α + β}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{α - β}{2} < x - \frac{α + β}{2} < \frac{β - α}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow - \frac{β - α}{2} < x - \frac{α + β}{2} < \frac{β - α}{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |x - \frac{α + β}{2}| < \frac{β - α}{2} \end{array}$

تمرین

اگر $- 5 < x < 3$ باشد:

این فاصله، همسايگی متقارن چه عددی است؟

در بازه $(- 5, 3)$ همسايگی متقارن، نقطه وسط آن است يعنی:

$\frac{- 5 + 3}{2} = - 1$

شعاع همسايگی چقدر است؟

$\begin{array}{l} - 5 < x < 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 5 - (- 1) < x - (- 1) < 3 - (- 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 5 + 1 < x + 1 < 3 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 4 < x + 1 < 4 \\ \Rightarrow |x + 1| < 4 \\ \Rightarrow x \in N (- 1, 4) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ α = 4 \end{cases} \end{array}$

تمرین

اگر $- 3 < x < 2$ باشد:

این فاصله، همسايگی متقارن چه عددی است؟

در بازه $(- 3, 2)$ همسايگی متقارن، نقطه وسط آن است يعنی:

$\frac{- 3 + 2}{2} = \frac{- 1}{2}$

شعاع همسايگی چقدر است؟

$\begin{array}{l} - 3 < x < 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 3 - (- \frac{1}{2}) < x - (- \frac{1}{2}) < 2 - (- \frac{1}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 3 + \frac{1}{2} < x + \frac{1}{2} < 2 + \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{- 5}{2} < x + \frac{1}{2} < \frac{5}{2} \\ \Rightarrow |x + \frac{1}{2}| < \frac{5}{2} \\ \Rightarrow x \in N (- \frac{1}{2}, \frac{5}{2}) \end{array}$

تمرین

همسايگی مرکز دار به‌صورت زیر مفروض است:

$N (a, ε) = \{x |\frac{7}{5} < x < \frac{13}{5}\}$

$ε$ و $α$ را به‌دست آوريد؟

$\begin{array}{l} i f x \in N (a, ε) \\ \Rightarrow a - ε < x < a + ε \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a - ε < x < a + ε \\ \frac{7}{5} < x < \frac{13}{5} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a - ε = \frac{7}{5} \\ a + ε = \frac{13}{5} \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ ε = \frac{3}{5} \end{cases} \end{array}$

تمرین

دو همسایگی زیر را در نظر بگیرید:

$N_{1} (1, \frac{1}{2}), N_{2} (0, 1)$

اجتماع این دو همسايگی برابر چه فاصله‌ای است؟

$\begin{array}{l} i f x \in N_{1} (1, \frac{1}{2}) \Rightarrow 1 - \frac{1}{2} < x < 1 + \frac{1}{2} \Rightarrow 0.5 < x < 1.5 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x \in N_{2} (0, 1) \Rightarrow 0 - 1 < x < 0 + 1 \Rightarrow - 1 < x < 1 \end{array}$

$(0.5, 1.5) \cup (- 1, 1) = (- 1, 1.5)$

تمرین

اگر $3 - \frac{1}{3} < x < 3 + \frac{1}{3}$ باشد، آن‌گاه مقدار $ε$ در نامساوی زیر چيست؟

$|\frac{x^{2} - 3 x}{2 x - 6} - \frac{3}{2}| < ε$

$\begin{array}{l} |\frac{x^{2} - 3 x}{2 x - 6} - \frac{3}{2}| < ε \\ \Rightarrow |\frac{x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{2 (x - 3)}| < ε \\ \Rightarrow |\frac{x^{2} - 6 x + 9}{2 (x - 3)}| < ε \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} |\frac{(x - 3) (x - 3)}{x - 3}| < ε \\ \Rightarrow |x - 3| < 2 ε \\ \Rightarrow - 2 ε < x - 3 < 2 ε \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 - 2 ε < x < 3 + 2 ε \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 3 - 2 ε < x < 3 + 2 ε \\ 3 - \frac{1}{3} < x < 3 + \frac{1}{3} \end{cases}〉 2 ε = \frac{1}{3} \Rightarrow ε = \frac{1}{6}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعریف همسایگی محذوف

هرگاه $a$ متعلق به یک همسایگی $a$ نباشد، همسایگی را محذوف یا بدون مرکز می‌نامند.

بنابراین $N (a, α) - \{a\}$ یک همسایگی محذوف متقارن $a$ است و عدد $a$ را مرکز همسایگی و $α$ را شعاع همسایگی می‌نامیم و به‌صورت $N^{*} (a, α)$ نشان می‌دهند:

$\begin{array}{l} x \in N^{*} (a, α), α > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x \in N (a, α) - \{a\} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x \in (a - α, a + α) - \{a\} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a - α < x < a + α; x \neq a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - α < x - a < α \end{array}$

$\Leftrightarrow 0 < |x - a| < α; x \in R$

تمرین

در تابع با ضابطه زیر، در همسایگی محذوف $2$ مقدار $\lim_{x \to 2} f (x)$ بدست آورید.

$f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 1; x > 2 \\ x + 3; x < 2 \end{cases}$

تابع $f$ در نقطه $x = 2$ تعریف نشده است و $f (2)$ قابل محاسبه نیست.

نمودار $f$ را رسم می‌کنیم:

جدول مقادیر $f$ در همسایگی محذوف $2$ را می‌نویسیم:

با توجه به نمودار و جدول فوق، مشاهده می‌کنیم که:

$\lim_{x \to 2} f (x) = 5$

همسایگی چپ و راست

اگر $α > 0$ باشد، هر فاصله $(a - α, a]$ را یک همسایگی چپ $a$ و هر فاصله $(a - α, a)$ را یک همسایگی محذوف چپ $a$ گویند.

$L = (a - α, a]$

$x \in (a - α, a] \Leftrightarrow a - α < x \leq a \Rightarrow - α < x - a \leq 0$

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

$L - \{a\} = (a - α, a)$

$x \in (a - α, a) \Leftrightarrow a - α < x < a \Rightarrow - α < x - a < 0$

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

اگر $α > 0$ باشد، هر فاصله $[a, a + α)$ را یک همسایگی راست $a$ و هر فاصله $(a, a + α)$ را یک همسایگی محذوف راست $a$ گویند.

$R = [a, a + α)$

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

$R - \{a\} = (a, a + α)$

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ را در نظر می‌گیریم:

1- دامنه تابع را به دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} 1 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 1 \\ x \neq 0 \end{cases}$

$\begin{matrix} D_{f} = [- 1, 1] - \{0\} = [- 1, 0) \cup (0, 1] \end{matrix}$

2- دامنه تابع شامل همسایگی محذوف نقطه صفراست.

3- این تابع در همسایگی $0 / 9$ تعریف شده است زیرا $0 / 9 \in D_{f}$ .

4- تابع $f$ در همسایگی چپ $x = 1$ تعریف شده است.

5- تابع $f$ در همسایگی راست $x = 1$ تعریف نشده است. اعداد بزرگ‌تر از $1$ در دامنه تابع نیست.

تمرین

تابع با ضابطه $y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - [x]}$ را در نظر می‌گیریم:

1- دامنه تابع را به دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} 9 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} \leq 9 \Rightarrow |x| \leq 3 \Rightarrow - 3 \leq x \leq 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} x - [x] = 0 \Rightarrow x = [x] \Rightarrow x \in ℤ \end{array}$

$D_{f} = [- 3, 3] - \{x |x \in ℤ\} = (- 3, 3) - \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

2- این تابع در همسایگی نقاطی که متعلق به دامنه تابع می‌باشد، تعریف شده است:

$D_{f} = (- 3, 3) - \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

3- تابع در اطراف نقاط $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ تعریف شده اما در خود این اعداد تعریف نشده است، زیر دامنه‌ تعریف آن یک همسایگی محذوف را در این نقاط در بر دارد.

4- این تابع در همسایگی چپ نقطه $x = 3$ تعریف شده است.

5- همسایگی راست برای $x = 3$ وجود ندارد، زیرا مقادیر بیش‌تر از $3$ در دامنه موجود نیست.

6- این تابع در همسایگی راست نقطه $x = - 3$ تعریف شده است.

7- همسایگی چپ برای $x = - 3$ وجود ندارد، زیرا مقادیر کم‌تر از $- 3$ در دامنه موجود نیست.

خرید پاسخ‌ها

تعریف همسایگی

1,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (3)

لیلا نوری(مدرسه فشم)
07 فروردين 1403

من که خیلی یاد گرفتم عالی بود?
سجاد خاوری
16 بهمن 1402

من برای شروع از اینجا شروع کردم، تا الان که راضی بودم و خوبه
دژکوب نبرد
03 دی 1402

عالی هست .فکر نمیکردم همچین تارنمایی وجود داشته باشه.فقط یکم اسم آموزشگاهتون سخته .

حد و همسایگی

تعریف همسایگی

تعریف همسایگی

همسایگی متقارن

مرکز و شعاع همسایگی

تعریف همسایگی محذوف

همسایگی چپ و راست

تعداد نظرهای ثبت شده (3)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟