انتگرال معین (قضیه فشردگی و مقدار میانگین)

آخرین ویرایش: 05 اسفند 1402
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:

قضیه فشردگی در انتگرال

قضیه

فرض کنیم f و g و h توابع کرانداری روی بازه a,b باشند و به ازای هر x از این بازه:

gxfxhx

اگر g و h بر a,b انتگرال پذیر و داشته باشیم: 

abgx  dx=abhx  dx=A

آن‌گاه f روی بازه a,b انتگرال پذیر و abfx  dx=A می‌باشد.

اثبات

abgxdxabfxdxabhxdx

AabfxdxA

abfxdx=A

 قضیه مقدار میانگین در انتگرال

این قضیه در اثبات بسیاری از قضایای مهم به‌کار می‌رود که یکی از برجسته‌ترین آنها قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

قبل از بیان قضیه میانگین برای انتگرال ها، نمونه‌ای را که تعبیر هندسی این قضیه می‌باشد، ارائه می‌دهیم.

فرض کنید برای تمام مقادیر x در a,b تابع fx0 باشد، پس abfx  dx0 اندازه مساحت ناحیه محدود به منحنی y=fx و محور xها و خطوط x=a و x=b را می‌دهد.    
شکل زیر را ببینید:

قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ها می‌گوید که عددی مانند Xa,b وجود دارد به‌طوری‌که:

مساحت AEFB به ارتفاع fX واحد و قاعده b-a واحد، مساوی با مساحت ناحیه ADCB می‌باشد:

abfx  dx=fXba

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، آن‌گاه عددی مانند X در a,b وجود دارد به‌طوری‌که:   

abfx  dx=fXba

اثبات

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، با توجه به قضیه اکسترمم، تابع f روی a,b دارای مقدار min مطلق و مقدار max مطلق می‌باشد.    

فرض کنیم m مقدار min مطلق در x=xm باشد:  

fxm=m    ;    axmb

فرض کنیم M مقدار max مطلق در x=xM باشد:  

fxM=M    ;    xMb

بنابراین می‌توان نتیجه گرفت:

xa,bmfxM

abm  dxabfx  dxabMdx

mbaabfx  dxMba

چون b>a می‌باشد و b-a>0 است، طرفین نامساوی مفروض را بر b-a تقسیم می‌کنیم:

mbabaabfxdxbaMbaba

mabfxdxbaM

fxmabfxdxbafxM

توجه شود که عددی مانند X در بازه بسته شامل xm و xM وجود دارد به‌قسمی که:  

fX=abfxdxbaabfx  dx=fXba    ;    aXb

نکته

1- مقدار X لزوما یکتا نیست.

این قضیه روشی برای یافتن X ارائه نمی‌دهد، اما می‌گوید که مقداری از X موجود است و از این مطلب برای اثبات قضایای دیگری استفاده می‌شود.  

2- مقدار fX را مقدار متوسط یا مقدار میانگین می‌نامند که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

fX=abfxdxba


3- تعبیری از abfxdxba  

فرض کنیم fx1,fx2,...,fxn مجموعه‌ای از n عدد باشد، میانگین این n عدد برابر است با: 

x¯=fx1+fx2+...+fxnn=i=1nfxin

فرض کنیم M مقدار این میانگین باشد:

M=1ni=1nfxiM=i=1nfxi1nM=1bai=1nfxiban

M=1bai=1nfxiΔxM=1baabfxdx

 لذا به طور تقریب M میانگین n عدد فوق با 1baabfxdx برابر است:

M1baabfx  dx

4- در قضیه مقدار میانگین، اگر f پیوسته باشد، آن‌گاه مقدار متوسط، موجود و 1baabfxdx موجود است. 

اما توجه داشته باشیم که تعریف مقدار متوسط به پیوستگی بستگی ندارد، یعنی ممکن است تابعی ناپیوسته و مقدار متوسط موجود باشد اما هیچ X موجود نباشد که fX برابر مقدار متوسط باشد. 

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید: 

fx=1    ;   1x<22   ;  2x<3

مقدار متوسط را به‌دست آورید:

13fx  dx=3


1ba×13fx  dx=131×3=32

مقدار X را بیابید. 


هیچ Xی وجود ندارد که fX=32 شود.

تمرین

با استفاده از قضيه مقدار ميانگين برای انتگرال ها، نامساوی زير را ثابت کنيد.

0πsinxdxπ

یادآوری)


abfxdx=fXba

fx=sinxfX=sinX0πsinxdx=sinXπ0


x0,πsinx1πsinxπ


πsinXπ    ;    0πsinxdx=πsinX


0πsinxdxπ

   331x2+6dx1

abfxdx=fXba


fx=1x2+6fX=1X2+6331x2+6  dx=1X2+63+3=6X2+6


1x2+616    ;    x3,36×1x2+66×166x2+61


6X2+61    ;    331x2+6dx=6X2+6


331x2+6dx1

   021x2+4dx12

abfxdx=fXba


fx=1x2+4fX=1X2+4021x2+4dx=1X2+420=2X2+4


1x2+414    ;    x0,22×1x2+42×142x2+412


2X2+412    ;    021x2+4dx=2X2+4


021x2+4dx12

تمرین

نامساوی های زير را با استفاده از قضیه مقدر میانگین ثابت کنید. 

   0  2  51x3+1dx13

طبق قضيه مقدار ميانگين:


  a  bfxdx=fXba  2  51x3+1dx=1X3+1×3    ;    Ι


x2,5:


1x3+1133x3+1133X3+113Ι  2  51x3+1dx13


x2,51x3+10  2  51x3+1dx  2  50dx251x3+1dx0


0  2  51x3+113

     0  0  2sinπ2xdx2

طبق قضيه مقدار ميانگين:


  a  bfxdx=fXba  0  2sinπ2xdx=2.sinπ2X    ;    Ι


x0,2:


sinπ2x12sinπ2x22sinπ2X2Ι  0  2sinπ2xdx2


x0,2  0  2sinπ2x0  0  2sinπ2xdx  0  20dx  0  2sinπ2xdx0


0  0  2sinπ2xdx2

تمرین

فرض کنيد تابع f بر -4,7 انتگرال پذير است.

اگر مقدار متوسط f بر بازه فوق برابر 174 باشد، انتگرال زیر را محاسبه کنید.

  4  7fx  dx

fX=  a  bfxdxbafX=  4  7fxdx11


11×fX=  4  7fxdx    ;    fX=174


  4  7fxdx=11×174

دریافت مثال

قضیه

اگر توابع f و g بر بازه بسته a,b پیوسته باشد:

برای تمام مقادیر x در بازه a,b داشته باشیم gx>0 ، آن‌گاه عددی مانند X در a,b وجود دارد به‌طوری‌که:   

  a  bfx.gx  dx=fX  a  bgx  dx

اثبات

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، تابع f روی a,b دارای max و min مطلق است:   

اگر min مطلق را با m و max مطلق را M نشان دهیم:  

fxm=m      ,  axmbfxM=M   ,   axMb

xa,b     ;    mfxM

چون به ازای هر  x در بازه a,b داریم gx>0 پس: 

if   mfxMmgxfx.gxM.gx

m  a  bgx  dx  a  bfx.gx  dxMabgx  dx

m  a  bfx.gx  dx  a  bgx  dxM

فرض کنیم:

k=  a  bfx.gx  dx  a  bgx  dx    ;    mkM

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، پس عددی مانند X روی a,b وجود دارد به قسمی‌که fX=k.  

if   fX=kfX=  a  bfx.gx  dx  a  bgx  dx

  a  bfx.gx  dx=fX.  a  bgx  dx

تمرین

با استفاده از قضيه بيان شده، نامساوی های زير را ثابت کنيد.

  0  4xx3+2dx<  0  4xdx

  a  bfx.gxdx=fX  a  bgxdx


if  fx=1x3+2gx=xfx.gx=1x3+2×x=xx3+2


  0  4xx3+2dx=  0  41x3+2×xdx=1X3+2  0  4xdx


X0,41X3+2<1XX3+2<X


  0  4XX3+2dX<  0  4XdX  0  4xx3+2dx<  0  4xdx

     1  1x2x2+4dx<  1  1x2  dx

if  fx=1x2+4gx=x2fx.gx=1x2+4.x2


  a  bfx.gxdx=fX  a  bgxdx


  1  11x2+4.x2  dx=1X2+4  1  1x2  dx


X1,1:1X2+4<1X2×1X2+4<X2


  1  1X2X2+4dX<  1  1X2dX  1  1x2x2+4dx<  1  1x2dx

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

انتگرال معین (قضیه فشردگی و مقدار میانگین)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید