معادلات قدر مطلقی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: قدرمطلق
امتیاز:
بازدید: 69 مرتبه

حل معادلات قدرمطلقی با استفاده از قوانین قدرمطلق 

از بعضی قوانین قدرمطلق در صورت امکان برای حل بعضی معادلات قدرمطلقی استفاده می‌نماییم.

یادآوری

بعضی از قوانین قدرمطلق را در زیر یادآوری می‌کنیم:

1    xR      ;      x=x2    x,yR     ;      x=yx=±y3    if  a>0      ;       x=ax=±a4   xy=x  y


5    xy=xy  ;   y06    x2=x2=x27   xn=xn8   x2n=x2n=x2n9     if    x2n=y2nx=y

تمرین

هر یک از معادلات قدر مطلقی زیر را حل کنید و مجموعه جواب آن را مشخص کنید.

2t13=0

if  a>0    ;    x=ax=±a2t13=02t1=32t1=±32t=±3+12t=4t=22t=2t=1


مجموعه جواب برابر است با:

D=2,1

y22=7

if  a>0    ;    x=ax=±ay22=7y22=±7y2=±7+2y2=9y=±3y2=5


مجموعه جواب برابر است با:

D=±3

2x1=x+3

if  x,yR    ;    x=yx=±y2x1=x+32x1=±x+32x1=x+3x=42x1=x3x=23


مجموعه جواب برابر است با:

D=23,4

دریافت مثال

حل معادلات قدرمطلقی با استفاده از تعیین علامت

در حالت کلی ریشه‌ های عبارات داخل قدرمطلق را یافته، عبارت ها را در جدولی تعیین علامت می‌کنیم، برای هر فاصله در جدول علامت قدرمطلق مشخص شده و براساس فواصل موجود معادلات را حل می‌کنیم.

تمرین

معادله زیر را را با استفاده از تعیین علامت حل کنید.

2t13=0

عبارت داخل قدرمطلق را تعیین علامت می‌کنیم:

2t1=02t=1t=12


معادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

if  t<122t13=02t+13=02t=2t=1


جواب t=-1 قابل قبول است، زیرا در نامساوی t<12 صادق است.

if  t12+2t13=02t4=0t=2


 جواب t=2 قابل قبول است، زیرا در نامساوی t12 صادق است.


بنابراین معادله دو جواب دارد.

دریافت مثال

حل معادلات قدرمطلقیfx=g(x)

برای حل معادله فوق، که در آن fx و gx توابعی از x هستند، داریم:

  • معادله fx=gx را در مجموعه x0 حل می‌کنیم.
  • معادله f-x=gx را در مجموعه x<0 حل می‌کنیم.
  • اجتماع دو مجموعه جواب، مجموعه جواب‌های معادله خواهد بود.

به زبان دیگر، معادله fx=g(x) هم‌ارز است با مجموعه دستگاه‌های زیر:

f(x)=g(x)x0      ,     f(x)=g(x)x<0

دریافت مثال

حل معادلات قدرمطلقیf(x)=g(x)

روش اول: معادله f(x)=g(x) هم‌ارز است با مجموعه دستگاه‌های زیر:

f(x)=g(x)f(x)0        ,    f(x)=g(x)f(x)<0

روش دوم: معادله f(x)=g(x) هم ارز است با مجموعه دستگاه‌های زیر:

f(x)=g(x)g(x)0       ,    f(x)=g(x)g(x)0

  • در معادله فوق اگر تابع fx ساده‌تر از تابع gx باشد، روش اول مناسب‌تر است.
  • در معادله فوق اگر تابع gx ساده‌تر از تابع fx باشد، روش دوم مناسب‌تر است.

دریافت مثال

حل معادلات قدرمطلقیhf(x)=g(x)

برای حل معادله فوق، که در آن fx و gx و hx توابعی از x هستند، از دستگاه‌های هم‌ارز آن استفاده می‌کنیم:

hf(x)=g(x)f(x)0        ,     hf(x)=g(x)f(x)<0

دریافت مثال

حل معادلات قدرمطلقی با استفاده از رسم نمودار

حالت اول: مجموعه جواب معادله fx=0 از نظر هندسی یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx محور x ها را قطع می‌کند.

معادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

fx=0x=a  ,  b  ,  c   ,   d

حالت دوم: مجموعه جواب معادله fx=k از نظر هندسی یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx خط y=k را قطع می‌کند. 

معادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

fx=kx=b  ,  c

حالت سوم: مجموعه جواب معادله fx=gx از نظر هندسی یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx نمودار gx را قطع می‌کند. 

معادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

if   fx=gxx=c

برای یافتن طول نقاط تقاطع منحنی‌ها:

  • معادلات دو منحنی را با هم قطع می‌دهیم. (y ها را حذف می‌کنیم.)
  • معادله حاصل را بر حسب x مرتب کنیم، به این معادله، معادله تقاطع می‌گوییم.
  • ریشه‌های ساده معادله تقاطع، طول‌های نقاط تقاطع دو منحنی است.

تمرین

معادلات زیر را به روش هندسی حل کنید.

x=x22x

با فرض fx=x22xgx=x نمودار این دو تابع را رسم می‌کنیم:

fx=x22x=x22x+1-1=x-12-1


معادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

با توجه به نمودار دو تابع، طول نقاط تلاقی دو نمودار عبارتند از x=3 و x=0 و هر دو جواب در معادله فوق صادق هستند.

x1=x2x1

با فرض fx=x2x-1gx=x-1 نمودار این دو تابع را رسم می‌کنیم:

fx=x2x+14114=x12254


معادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

دو نمودار در نقطه‌ای به طول x=2 با هم برخورد می‌کنند یعنی یک جواب معادله x=2 است و جواب دیگر در بازه -2,-1 قرار دارد. 

دریافت مثال

حل معادلات قدر مطلقی شامل دو مجهول

به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

جواب های دستگاه زير را با شرط x>0 و y<0 پيدا كنيد. 

x+1y+103x+y=103+y+1yx2+y2=829

if   a=x+1y  ,  b=103x+ya+b=a+b


اين برابری تنها وقتی درست است كه نابرابری های a0 و b0 برقرار باشند.

a0x+1y0x1yb0103x+y0x103+y1yx103+y


1yx103+y1y103+y    ;    y<03y2+10y+30


از طرف ديگر از نابرابری x103+y است و با توجه به مثبت بودن x می‌توان نتيجه گرفت:

x103+yx2103+y2x2+y2y2+103+y2    ;    x2+y2=829829y2+103+y23y2+10y+30


3y2+10y+303y2+10y+30   3y2+10y+3=0y=3,13


با توجه به معادله x2+y2=829 و شرط x>0 مقادیر متناظر x هم به‌دست می‌آيد:

y=3x2+32=829x2=8299x2=19x>0x=13y=13x2+132=829x2=82919x2=9x>0x=3

مثال‌ها و جواب‌ها

معادلات قدرمطلقی

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید