نامعادلات قدر مطلقی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: قدرمطلق
امتیاز:
بازدید: 57 مرتبه

حل نامعادلات قدرمطلقی با استفاده از قوانین قدرمطلق

از بعضی قوانین قدرمطلق در صورت امکان برای حل بعضی نامعادلات قدرمطلقی استفاده می‌نماییم.

یادآوری

بعضی از قوانین قدرمطلق را در زیر یادآوری می‌کنیم:

1    if  a>0     ;     xaaxa2    if   a>0     ;    xaxaxa3    x   xx4    x+yx+y

5    xyxy6     x+yxy7    x,y,zR   ;   xyxz+zy8    xyxy

تمرین

نامعادلات قدرمطلقی زیر را با استفاده از قوانین قدرمطلق به‌دست آورید.

2x17

یادآوری می‌کنیم که:

ifa>0  ;   xaaxa


2x1772x1762x83x4D=3,4                        

x2>5

یادآوری می‌کنیم که:

if   a>0  ;   xaxaxa


x2>5x2>5x>7x2<5x<3  D=,37,+

x2x

x22x2x22x2x24x+4x24x+404x4x1D=1,+

23x>5

روش اول: استفاده از قوانین قدرمطلق

23x>523x>53x>3x<123x<53x<7x>73D=,173,+


روش دوم: استفاده از روش جبری

23x>523x2>5223x2>25412x+9x2>259x212x21>0


به حل نامعادله 9x212x21>0 می‌پردازیم:

9x212x21=0  ,  Δ=900  ,  x=12±3018


نامعادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

D=,173,+

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقی با استفاده از تعیین علامت

  • عبارت درون هر قدرمطلق را در جدولی تعیین علامت می‌کنیم، به‌طوری‌که این جدول مجموعه اعداد حقیقی را به فواصلی تقسیم ‌کند که مرز آنها ریشه‌های عبارات داخل قدرمطلق است، در واقع در هر کدام از این فواصل، عبارت داخل هر قدرمطلق دارای علامت مثبت یا منفی است، بنابراین می‌توان نامعادله را در هر فاصله از جدول بدون علامت قدرمطلق نوشت.
  • در هر فاصله به‌دست آمده از جدول، نامعادله را حل می‌کنیم.
  • در هر حالت، مجموعه جواب به‌دست آمده اشتراک بین جواب نامعادله و شرط مفروض می‌باشد.

تمرین

نامعادلات قدرمطلقی زیر را با استفاده از تعیین علامت به‌دست آورید.

23x>5

23x=02=3xx=32


نامعادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

if  x<32+23x>53x>3x<1D1=,1,32=,1if  x3223x>53x2>53x>7x>73D2=73,+32,+=73,+D=D1D2=,173,+

x+1<x

if  x0x+1<+x1<0xD1=0,+=if x<0x+1<x2x+1<02x<1x<12D2=,0,12=,12D=D1D2=,12=,12

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقیf(x)g(x)f(x)<g(x)f(x)g(x)f(x)>g(x)

برای حل این‌گونه نامعادلات از دستورهای کلی زیر استفاده می‌کنیم:

f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)<g(x)g(x)<f(x)<g(x)

f(x)gxf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)>gxf(x)>g(x)f(x)<g(x)

تذکر

1- اگر gx عدد حقیقی منفی باشد، مجموعه جواب‌های نامعادلات |f(x)|<g(x)|f(x)|g(x) تهی است.


2-
اگر gx عدد حقیقی منفی باشد، مجموعه جواب‌های نامعادلات f(x)g(x)|f(x)|>g(x) مجموعه اعداد حقیقی یعنی R=(,+) است. 

تمرین

مجموعه جواب نامعادله زیر را مشخص کنید.

23x>5

یادآوری می‌کنیم که:

if  f(x)>gxf(x)>g(x)f(x)<g(x)

23x>523x>53x>3x<123x<53x<7x>73D=,173,+

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقیf(x)g(x)f(x)<g(x)f(x)g(x)f(x)>g(x)

برای حل این‌گونه نامعادلات از دستورهای کلی زیر استفاده می‌کنیم:

f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)<g(x)g(x)<f(x)<g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)<g(x)

تذکر

در برخی از نامعادلات f(x)g(x) بهتر است از هم‌ارز آن f2(x)g2(x) نامعادله را حل کرد.

تمرین

نامعادله زیر را به روش جبری حل کنید.

x21x+1

x21x+1x212x2+12x212x+12x212x+120x21x+1x21+x+10x21x1x2+x0x2x2x2+x0x2x+1xx+10xx+12x20


xx+12x2=0x=0x+12=0x=1x2=0x=2


نامعادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

D=0,2

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقیfx<gx

نامعادله فوق هم‌ارز با مجموعه دستگاه‌های زیر است:

fx<gxfx<gxx0fx<gxx<0

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقیfx<gx

به دو روش زیر می‌توان نامعادله فوق را حل کرد.

روش اول: نامعادله فوق هم‌ارز با مجموعه دستگاه‌های زیر است: 

fx<gxfx<gxx0fx<gxx<0

روش دوم: نامعادله فوق هم‌ارز با مجموعه دستگاه‌های زیر است: 

fx<gxfx<gxfx>gx

تذکر

انتخاب راه حل، بستگی به نوع نامعادله و پیچیدگی توابع f و g دارد. 

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقیfx>gx

به دو روش زیر می‌توان نامعادله فوق را حل کرد.

روش اول: نامعادله فوق هم‌ارز با مجموعه دستگاه‌های زیر است: 

fx>gxfx>gxx0fx>gxx<0

روش دوم: نامعادله فوق هم‌ارز با مجموعه دستگاه‌های زیر است: 

fx>gxfx>gxfx<gx

تذکر

انتخاب راه حل، بستگی به نوع نامعادله و پیچیدگی توابع f و g دارد. 

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقیhx,fx<gx

نامعادله فوق هم‌ارز با مجموعه دستگاه‌های زیر است:

hx,fx<gxhx,fx<gxfx0hx,fx<gxfx<0

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقی با دو مجهول

حل نامعادله با دو مجهول x و y یعنی پیدا کردن همه زوج های مرتب x,y به نحوی که با قرار دادن هر یک از آنها در نامعادله به نامعادله عددی درستی برسیم.

دریافت مثال

حل نامعادلات قدرمطلقی با استفاده از رسم نمودار

حالت اول: 

نامعادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله fx0 از نظر نمودار یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx بالای محور x ها یا روی آن واقع می‌شود. 

fx0x,ab,cd,+

مجموعه جواب نامعادله fx0 از نظر نمودار یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx پایین محور x ها یا روی آن واقع می‌شود. 

fx0xa,bc,d

حالت دوم: 

نامعادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله fxk از نظر نمودار یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx بالای خطy=k ها یا روی آن واقع می‌شود. 

fxkxa,bc,+

مجموعه جواب نامعادله fxk از نظر نمودار یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx پایین خط y=k ها یا روی آن واقع می‌شود. 

fxkx,ab,c

حالت سوم: 

نامعادلات قدرمطلقی - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله fxgx از نظر نمودار یعنی x هایی که به‌ازای آنها نمودار fx بالای نمودار gx یا روی آن واقع می‌شود. 

if   fxgxxc,+if   fx>gxxc,+

مجموعه جواب نامعادله fxgx از نظر نمودار یعنی x هایی که ب‌ازای آنها نمودار fx پایین نمودار gx یا روی آن واقع می‌شود. 

if   fxgxxa,cif   fx<gxxa,c

برای یافتن طول نقاط تقاطع منحنی‌ها:

  • معادلات دو منحنی را با هم قطع می‌دهیم. (y ها را حذف می‌کنیم.)
  • معادله حاصل را بر حسب x مرتب کنیم، به این معادله، معادله تقاطع می‌گوییم.
  • ریشه‌های ساده معادله تقاطع، طول‌های نقاط تقاطع دو منحنی است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نامعادلات قدرمطلقی

27,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید