اعمال روی چند جمله‌ ای‌ ها

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات جبری
امتیاز:
بازدید: 112 مرتبه

جمع چند جمله‌ای‌ها

برای به‌دست آوردن حاصل جمع چند جمله‌ای، فقط جملات متشابه را با هم جمع می‌کنیم و جملات غیر متشابه را همان‌طور می‌نویسیم.

به تساوی‌های زیر توجه کنید:

x+y+2x+3y=x+2x+y+3y=3x+4y2x2+xy+3x2+yx=2x2+3x2+xy+yx=5x2+2xy    

دریافت مثال

ضرب یک عدد در یک چند جمله‌ای

بنابر خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع و تفریق برای این‌که یک عدد را در یک چند جمله‌ای ضرب کنیم، کافی است عدد را در تک‌تک جملات چند جمله‌ای ضرب کنیم.

خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع و تفریق:

A×B+C=A×B+A×CA×BC=A×BA×C

به تساوی‌های زیر توجه کنید:

52x3y1  =5×2x+5×3y+5×1=10x15y5236x23x9=23×6x2+23×3x+23×9=4x22x6

قرینه یک چند جمله‌ای

اگر چند جمله‌ای A را در عدد -1 ضرب کنیم چند جمله‌ای حاصل، قرینه چند جمله‌ای A نامیده می‌شود که آن را با -A نشان می‌دهیم.

به تساوی‌های زیر توجه کنید:

    A=2x23x+5A=12x23x+5A=2x2+3x5

تفریق چند جمله ای‌ها

اگر A و B دو چند جمله‌ای باشند، آن‌گاه:  

AB=A+B

تمرین

حاصل عبارات زیر را به‌دست می‌آوریم:  

2x2+5yx2+y2

=2x2+5yx2y2=2x2x2+5y+y2=x2+5yy2

10k23kt+4k23k2+5kt

=10k23kt+4k23k25kt=10k2+4k23k2+3kt5kt=11k2+8kt=11k28kt

دریافت مثال

تمرین

درستی تساوی‌های زیر را با جای‌گذاری اعداد مناسب، بررسی می‌کنیم:

a4=a+4

فرض کنیم a=3 باشد، آنگاه داریم:

a=3a4=34=1=1a+4=3+4=1a4=a+4

تساوی فوق درست است.

x2+z=x2z

فرض کنیم x=0 و z=1 باشند، آنگاه داریم:

x=0  ,   z=1x2+z=02+1=3x2z=021=21=3x2+z=x2z

تساوی فوق درست است.

xy+z=xyz

فرض کنیم x=1 و y=2 و z=0 باشند، آنگاه داریم:

x=1  ,   y=2   ,   z=0xy+z=12+0=12=1xyz=120=1xy+z=xyz

تساوی فوق درست است.

ضرب چند جمله‌ای‌ها

با توجه به خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع (تفریق) می‌توان نتیجه گرفت برای ضرب دو چند جمله‌ای A و B کافی است هر یک از جملات A را در هر یک از جملات B ضرب کرده و حاصل‌ضرب‌ها را ساده کنیم. 

به تساوی‌های زیر توجه کنید: 

4x2y3=4x2y+4x3=8xy12xx4a+b2=x4a+x4b2=14ax+14b2x     

دریافت مثال

تقسیم چند جمله‌ای بر یک جمله‌ای

برای تقسیم یک چند جمله‌ای بر یک جمله‌ای می‌توانیم هر یک از جملات چند جمله‌ای را بر یک جمله‌ای تقسیم کنیم.

به تساوی‌های زیر توجه کنید:

2xy24x2yz10xy=2xy210xy4x2yz10xy=y52xz515a3b530a2b425a3b325a2b3=15a3b525a2b330a2b425a2b325a3b325a2b3=3ab256b5a

دریافت مثال

نکته

چند جمله‌ای A بر یک جمله‌ای B بخش‌پذیر است درصورتی که هر یک از جملات چند جمله‌ای A بر یک جمله‌ای B بخش‌پذیر باشد، به‌عبارت دیگر حاصل تقسیم خود یک چند جمله‌ای باشد.

تقسیم چند جمله‌ای بر چند جمله‌ای

دو چند جمله‌ای fx و gx0 را در نظر بگیرید:

درصورتی که درجه fx بزرگ‌تر یا مساوی با درجه gx باشد، دو چند جمله‌ای Rx  ,  qx وجود دارند به‌طوری‌که:

fxgx             qx    Rx¯

که در آن qx خارج قسمت و Rx باقیمانده است و داریم: 

fx=gxqx+Rx

اگر  Rx=0 باشد، آن‌گاه گوییم fx بر gx بخش پذیر است. 

نکته

 رابطه بین درجات این چند جمله‌ای‌ها به‌صورت اندیس به‌شکل زیر نمایش داده می‌شود:

fnx=gmxqnmx+Rm1x

تذکر

برای تقسیم چند جمله‌ای fx بر چند جمله‌ای gx مراحل زیر را طی می‌کنیم:

1- هر دو چند جمله‌ای را بر قوای نزولی x مرتب می‌کنیم.

2- اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم کرده، خارج قسمت را مشخص می‌کنیم.

3- خارج قسمت را در مقسوم‌علیه ضرب کرده، از مقسوم کم می‌کنیم تا باقیمانده بدست آید. 

4- این باقیمانده را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم می‌کنیم و در خارج‌قسمت می‌نویسیم، سپس آن را در مقسوم‌علیه ضرب کرده، حاصل‌ضرب را از مقسوم کم می‌کنیم.  

5- اعمال فوق را آن‌قدر ادامه می‌دهیم تا درجه باقیمانده از درجه مقسوم‌علیه کم‌تر شود.

تمرین

تقسیم‌های زیر را انجام می‌دهیم:

2x2+4x+7÷x2

عبارات جبری - پیمان گردلو


درستی عمل تقسیم را بررسی می‌کنیم:

عبارات جبری - پیمان گردلو

x32x2+x÷x2x


عبارات جبری - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اعمال روی چند جمله‌ای‌ها

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید