اتحاد اولر

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:
بازدید: 188 مرتبه

قضیه

  a,b,cR:(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)=a3+b3+c33abc

اثبات

(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)=a3+ab2+ac2a2ba2cabc+ba2+b3+bc2        ab2-abcb2c+ca2+cb2+c3abcac2bc2=a3+b3+c33abc

تمرین

حاصل عبارت زير را به كمک اتحاد اولر به‌دست آوريد.

(2x+y+1)(4x2+y2+12xy2xy)

=2x3+y3+133(2x)(y)(1)=8x3+y3+16xy=8x3+y36xy+1

دریافت مثال

نتایج حاصل از اتحاد اولر

if    a+b+c=0a3+b3+c3=3abc

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)=a3+b3+c33abc

if   a+b+c=0(0)(a2+b2+c2abacbc)=a3+b3+c33abc0=a3+b3+c33abca3+b3+c3=3abc

if   a=b=ca3+b3+c3=3abc

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)=a3+b3+c33abc

if   a=b=c(a+b+c)(a2+a2+a2a2a2a2)=a3+b3+c33abc(a+b+c)(0)=a3+b3+c33abca3+b3+c33abc=0a3+b3+c3=3abc

نکته

از اتحاد اولر در حل معادلات به‌صورت زیر می‌توان استفاده كرد:

هرگاه در معادله f(x)3+g(x)3+h(x)3=0 داشته باشیم:

iffx+gx+x=0f(x)3+g(x)3+h(x)3=3fx.gx.hx=0f(x)=0g(x)=0h(x)=0

هم‌چنین اگر در معادله (ax+b)3+(cx+d)3+(ex+f)3=0 داشته باشیم:

if ax+b+(cx+d)+(ex+f)=0(ax+b)3+(cx+d)3+(ex+f)3=3(ax+b).cx+d.ex+f=0ax+b=0x=bacx+d=0x=dcex+f=0x=fe

دریافت مثال

صورت دیگر اتحاد اولر

قضیه

12(a+b+c)(ab)2+(bc)2+(ac)2=a3+b3+c33abc

اثبات

12(a+b+c)(ab)2+(bc)2+(ac)2=12(a+b+c)a22ab+b2+b22bc+c2+a22ac+c2=12(a+b+c)(2a2+2b2+2c22ab2bc2ac)=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcac)=a3+b3+c33abc

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اتحاد اولر

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید