اتحاد جمله مشترک

آخرین ویرایش: 22 بهمن 1402
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:

قضیه

x,a,bR:x+ax+b=x2+a+bx+ab

اثبات

x+ax+b

=xx+xb+ax+ab

=x2+bx+ax+ab=x2+bx+ax+ab=x2+a+bx+ab

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد جمله مشترک به‌دست آورید.

x+1x+2

=x2+1+2x+12=x2+3x+2

(x+2)(x+3)

=x2+(2+3)x+(2)(3)=x2+5x+6

(x5)(x+3)

=x2+(5+3)x+(5)(3)=x22x15

x1x+5

=x2+-1+5x+15

=x2+4x5

xaxb

=x2+a+bx+ab

=x2+abx+ab=x2a+bx+ab

2x42x+3

=2x2+-4+32x+43


=4x2+12x+12


=4x22x12

(2x7)(2x3)

=2x2+(7)+3(2x)+(7)(3)


=4x220x+2

4x+54x+3

=4x2+5+34x+53


=16x2+84x+15


=16x2+32x+15

2x-12x+4

=2x2+-1+42x+14

=4x2+6x4

5x65x+2

=5x2+6+25x+62

=25x220x12

ax+5ax+b

=ax2+5+bax+5b


=a2x2+5ax+abx+5b

x23x25

=x22+3+5x2+35

=x48x2+15

(3x27)(3x2+11)

=3x22+-7+113x2+(7)(11)


=9x4+12x277

132x13x

=132+2x+x13+2xx

=19+3x13+2x2  

=19x+2x2

(1+2a)(2a1)(4a2+3)

=(2a+1)(2a1)(4a2+3)


=(4a21)(4a2+3)


=4a22+-1+3(4a2)+(1)(3)


=16a4+8a23

2a122a+124a2+22

=(2a1)(2a+1)(4a2+2)2=(4a21)(4a2+2)2

=4a22+1+24a2+122

=16a4+4a222

=16a42+4a22+22+2(16a4)(4a2)+2(16a4)(2)+2(4a2)(2)

=256a8+16a4+4+128a664a416a2

=256a8+128a648a416a2+4

(2a5)(2a1)(4a2+12a5)

=(4a212a+5)(4a2+12a5)

=4a2(12a5)4a2+(12a5)

=4a22(12a5)2=16a4(144a2120a+25)=16a4144a2+120a25

(3x2y4)(3x2y+7)

=3x2y2+(4+7)(3x2y)+(4)(7)

=9x4y2+9x2y28

xy3y2xy+5y2

=(xy3y)(xy+5y)2

=xy2+(3y+5y)xy+(3y)(5y)2

=x2y2+2y2x15y22

=x2y22+2y2x2+15y22+2(x2y2)(2y2x)+2(x2y2)(15y2)+2(2y2x)(15y2)

=x4y4+4y4x2+225y4+4x3y430x2y460xy4

2x2+42x232

=2(x2+2)2x232=4x2+22x232=4(x2+2)(x23)2=4x4x262

=4x42+x22+62+2(x4)(x2)+2(x4)(6)+2(x2)(6)

=4(x8+x4+362x612x4+12x2)

=4x8+4x4+1448x648x4+48x2

=4x88x644x4+48x2+144

(x3+1)(x31)(x6+5)

=(x3+1)(x31)(x6+5)=(x61)(x6+5)=x12+4x65

(a2+1)(a25)(a4+4a2+5)

(a2+1)(a25)a4+4a2+5=(a44a25)(a4+4a2+5)=a4(4a2+5)a4+(4a2+5)

=a424a2+52=a8(16a4+40a2+25)=a816a440a225

ax+b+b24ac2ax+bb24ac2a

a(x+b+b24ac2a)(x+bb24ac2a)

=ax2+(b+b24ac2a+bb24ac2a)x+(b+b24ac2a)(bb24ac2a)

=ax2+bax+b2(b24ac)4a2=a(x2+bax+4ac4a2)

=a(x2+bax+ca)=ax2+bx+c

(x23x+1)(x2+5x+1)

=x2(3x1)x2+(5x+1)

=x22+3x+1+5x+1x2+(3x+1)(5x+1)

=x4+(2x+2)x2+(15x23x+5x+1)

=x4+2x3+2x215x23x+5x+1

=x4+2x313x2+2x+1

a22a2+42a4+162a2+4a+4

=(a24a+4)(a2+4a+4)a2+42a4+162

=a2(4a4)a2+(4a+4)a2+42a4+162

=a4+(44a+4a+4)a2+(44a)(4+4a)a2+42a4+162

=(a4+8a2+1616a2)a2+42a4+162

=(a48a2+16)a2+42a4+162

=a242a2+42a4+162=(a24)(a2+4)2a4+162=a4162a4+162

=(a416)(a4+16)2=a82562

=a822(a8)(256)+2562=a16512a8+65536

تمرین

ثابت كنيد:

(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x2+9x)2360=38x2+342x

(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)x2+9x2360

=(x+3)(x+6)(x+4)(x+5)x2+9x2360

=(x2+9x+18)(x2+9x+20)x2+9x2360

=(x2+9x)+18(x2+9x)+20x2+9x2360

=x2+9x2+(18+20)(x2+9x)+(18)(20)x2+9x2360

=x2+9x2+38(x2+9x)+360x2+9x2360

=38(x2+9x)=38x2+342x

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد جمله مشترک توجه کنید:

اتحاد جمله مشترک

SACEG =SABIH+SBCDI+SHIFG+SIDEF

x+ax+b= x2 + bx+ ax+ab

x+ax+b=x2+a+bx+ab

دریافت مثال

قضیه

تعمیم اتحاد جمله مشترک

x,a,b,cR:(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc

اثبات

(x+a)(x+b)(x+c)

=x2+(a+b)x+ab(x+c)

=x3+(a+b)x2+abx+x2c+c(a+b)x+abc

=x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc

تمرین

حاصل عبارات زير را به‌كمک تعميم اتحاد جمله مشترک به‌دست آوريد.

x+2x+3x4

=x3+2+34x2+2×3+2×4+3×4x+2×3×4

=x3+x214x24

2x12x32x+5

=2x3+13+52x2+13+15+352x+135

=8x3+4x234x+15

دریافت مثال

قضیه

تعمیم اتحاد جمله مشترک

  x,a,b,c,dR:

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

=x4+(a+b+c+d)x3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x2+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd

اثبات

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

=x2+(a+b)x+abx2+(c+d)x+cd

=x4+(c+d)x3+cdx2+(a+b)x3+(a+b)(c+d)x2+(a+b)cdx+abx2+ab(c+d)x+abcd

=x4+(a+b+c+d)x3+cdx2+acx2+adx2+bcx2+bdx2+acdx+bcdx+abx2+abcx+abdx+abcd

=x4+(a+b+c+d)x3+(ab+ac+ad+bd+cd+bc)x2+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd

دریافت مثال

تذکر

1- مقدار ثابت یک چند جمله‌ای را در حالت كلی می‌توان پیدا كرد و كافی است f(0) را حساب کنیم.

2- مجموع ضرایب توان‌های x برابر است با:

f(1)-f(0)

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

x+1x+2...x+100

ضریب x99 را به‌دست آورید.

با توجه به تعميم اتحاد جمله مشترک داریم:

x+1x+2x+100=x100+1+2++100x99++1×2××100


ضریب x99 عبارت است از:

1+2+...+100=10021+100=5050

عدد ثابت را به‌دست آوريد.

1×2×...×100=100!

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

x+1x+2...x+100

مجموع ضرايب را به‌دست آورید.

if   x=1    ;    f1=23...101=101!

مجموع ضرايب توان های x را به‌دست آورید.

f1f0=101!100!=101×100!100!=100!1011=100!×100

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

اتحاد جمله مشترک

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید