اتحاد مکعب مجموع و تفاضل دو جمله

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:
بازدید: 80 مرتبه

اتحاد مکعب مجموع دو جمله

قضیه

   a,bR:a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

اثبات

a+b3=a+b2a+b=a2+2ab+b2a+b=a2a+a2b+2aba+2abb+b2a+b2b=a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3=a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

تمرین

حاصل عبارات زیر را به كمک اتحاد مكعب مجموع دو جمله به‌دست می‌آوریم:

x+53

=x3+3x25+3x52+53=x3+15x2+75x+125

x+13

=x3+3x21+3x12+13=x3+3x2+3x+1

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید: (خطوط زرد رنگ طول ضلع a و خطوط آبی رنگ طول ضلع b می‌باشد)


اتحاد مکعب مجموع دو جمله - پیمان گردلو

اتحاد مکعب مجموع دو جمله - پیمان گردلو


S=S1+S2+S3+S4a+ba+ba+b=a2a+b+b2a+b+aba+b+aba+ba+b3=a3+a2b+b2a+b3+a2b+ab2+a2b+ab2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

دریافت مثال

قضیه

تعمیم اتحاد مكعب مجموع دو جمله 

a,b,cR:  (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a+ba+cb+c

اثبات

a+b+c2=(a+b)+c3=(a+b)3+3(a+b)2.c+3(a+b).c2+c3=a3+3a2b+3ab2+b3+3ca2+2ab+b2+3c2a+b+c3=a3+3a2b+3ab2+b3+3a2c+3b2c+6abc+3ac2+3bc2+c3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

دریافت مثال

اتحاد مکعب تفاضل دو جمله

قضیه

  a,bR:(ab)3=a33a2b+3ab2b3

اثبات

a-b3=a-ba-b2=(ab)(a22ab+b2)=a32a2b+ab2ba2+2ab2b3=a33a2b+3ab2b3

تمرین

حاصل عبارت زیر را به کمک اتحاد مكعب تفاضل دو جمله به‌دست می‌آوریم:

a23

=a33a22+3a2223=a36a2+12a8

ax13

=ax33ax21+3ax1213=a3x33a2x2+3ax1

دریافت مثال

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید:

اتحاد مکعب تفضل دو جمله - پیمان گردلو

اتحاد مکعب تفضل دو جمله - پیمان گردلو

S=S1+S2+S3+S4      a2ab=ab2ab+b2ab+babab+babab  a3a2b=ab3+ab2b3+2babab  a3a2b=ab3+ab2b3+2ba22ab+b2  a3a2b=ab3+ab2b3+2a2b4ab2+2b3  ab3=a33a2b+3ab2b3

اتحاد‌های فرعی حاصل از اتحادهای مکعب مجموع و تفاضل دو جمله

a3+b3=(a+b)33aba+b

اثبات

a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a+b3=a3+b3+3aba+ba3+b3=a+b33aba+b

a3-b3=(a-b)3+3aba-b

اثبات

a-b3=a33a2b+3ab2b3a-b3=a3b33aba-ba3b3=a-b3+3aba-b

(a+b)3+(ab)3=2a3+6ab2

اثبات

a+b3+a-b3=(a3+3a2b+3ab2+b3)+(a33a2b+3ab2b3)=2a3+6ab2

(a+b)3(ab)3=2b3+6a2b

اثبات

a+b3-a-b3=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a33a2b+3ab2b3)=a3+3a2b+3ab2+b3a3+3a2b3ab2+b3=6a2b+2b3

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اتحاد مکعب مجموع و تفاضل دو جمله

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید