مجانب مایل

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجانب
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

تعریف مجانب مایل

خط y=mx+h را مجانب مایل منحنی تابع y=fx گوئیم، هرگاه:

limxfxmx+h=0

شرط لازم برای وجود مجانب مایل آن است که limxfx= یعنی تواما xy. این یک شرط لازم است  نه کافی.

مجانب مایل - پیمان گردلو

نکته

1- مشاهده می‌کنیم در معادله خط y=mx+h وقتی m=0 باشد، آنگاه y=h مجانب افقی است، به همین دلیل آن را مجانب غیر عمودی y=mx+h می‌نامیم و می‌تواند مایل یا افقی باشد.   

2- مجانب افقی حالت خاصی از مجانب مایل است. 

روش‌های تعیین معادله مجانب مایل

روش حد و حالات ویژه آن     

 فرض کنیم خط y=mx+h را مجانب مایل منحنی تابع y=fx باشد.

مقدار m و h را از روابط زیر به‌دست می‌آوریم: 

m=limxfxxh=limxfxmx

تمرین

مجانب های مايل منحنی زیر را به روش حدی تعيين كنيد.

y=x2x21

m=limxfxxm=limx x2x21xm=limxxx21m=limxxxm=1    ;    x+1    ;    x

h=limxfxmxh=limx+x2x211×x=limx+x2xx=0limxx2x211×x=limxx2x+x=0if   x+   y=mx+hy=xif   x    y=mx+hy=x


خطوط y=x و y=-x مجانب های مايل هستند.


مجانب مایل - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

اگر خط y=mx+h را مجانب مایل منحنی تابع y=fx باشد، در این‌صورت حالات ویژه زیر ممکن است اتفاق بیافتد: 


1-
 اگر m=0 باشد و h عدد متناهی باشد، می‌گوئیم خط مجانب مایل به خط مجانب افقی تبدیل شده است. 


2-
اگر m عدد متناهی و h بی‌نهایت شود، می‌گوئیم منحنی دارای شاخه سهمی شکل در امتداد خط  به ضریب زاویه m است.   


3-
اگر m عدد متناهی و h نامعین باشد، منحنی در راستای y=mx به بی‌نهایت می‌رود، ولی شاخه سهمی شکل ندارد.  


4-
اگر m بی‌نهایت شود، منحنی شاخه سهمی شکل در امتداد محور y ها دارد. 


5-
اگر m نامعین باشد، منحنی امتداد مجانب ندارد. 

تمرین

شاخه بی نهايت منحنی زير را مشخص كنيد.

fx=x+x1

m=limxfxx=limxx+x1x=limxxx=1h=limxfxmx=limxx+x11×x=

منحنی دارای شاخه سهمی در امتداد خط y=x است.

دریافت مثال

تذکر

در حالت‌های زیر منحنی y=fx مجانب مایل ندارد:

حالت اول: دامنه تابع به‌گونه‌ای باشد که x+x معنی نداشته باشد.


حالت دوم:
 وقتی‌که x به‌سمت  میل می‌کند تابع، حد بی‌نهایت نداشته باشد.


حالت سوم:
 هر یک از a=limxfxx یا b=limxfxax وجود نداشته باشد یا متناهی نباشد.

دریافت مثال

روش تقاطع      

فرض کنیم خط y=mx+h را مجانب مایل منحنی تابع y=fx باشد:

  • معادله این خط را با منحنی تابع قطع می‌دهیم (y ها را حذف می‌کنیم.)
  • معادله تقاطع را بر حسب x مرتب کرده، چون مجانب در بی‌نهایت بر منحنی مماس است بایستی معادله تقاطع دارای ریشه مضاعف  باشد.
  • ضرایب دو جمله بزرگ‌ترین درجه معادله تقاطع را مساوی صفر قرار می‌دهیم و m و h را به‌دست می‌آوریم.

تذکر

در صورتی‌که fx تابعی اصم با فرجه زوج باشد، برای تعیین معادله تقاطع بایستی طرفین معادله را به‌توان زوج رسانده و احتمال این است که m و h به‌دست آمده ریشه خارجی باشند. 


جهت کنترل بایستی بی‌نهایت‌های تابع و مجانب هماهنگی داشته باشند، یعنی اگر در تابع به ازای x+ تابع - شود، در مجانب هم به‌همین ترتیب باشند.  

تمرین

معادله مجانب مايل منحنی زیر را به روش تقاطع به‌دست آوريد.

y=xx2x+2

y=xx2x+2y=mx+h

معادله تقاطع به‌صورت زیر است:

mx+h=xx2x+2m21x3+2m2+2mh+2x2+4mh+h2x+2h2=0m21=0m=1m=12m2+2mh+2=0m=1h=2y=x2m=1h=2y=x+2


خط y=x-2 را می‌تواند به‌عنوان مجانب مايل در نظر گرفت.


اگر x+ میل کند، منحنی و مجانب هر دو به‌سمت + میل می‌کند. 

دریافت مثال

روش تقسیم

اگر در توابع کسری درجه صورت یک واحد بزرگ‌تر از درجه مخرج باشد، منحنی تابع دارای مجانب مایل است.

برای تعیین معادله مجانب مایل، صورت کسر را بر مخرج تقسیم می‌کنیم و خط حاصل از خارج قسمت را مجانب مایل می‌نامیم.

در این حالت تابع دارای مجانب افقی نیست.

تمرین

مجانب مايل را در تابع كسری زير بررسی كنيد.

y=x3x12

     x3  x12            x+2      3x2¯


خط y=x+2 مجانب مايل است. 

دریافت مثال

تذکر

اگر در تابع زیر اگر limxpxqx=0 باشد، خط y=mx+h مجانب مایل منحنی است.  

y=mx+h+pxqx


لازم به توضیح است برای تعیین وضعیت این خط و منحنی باید معادله px=0 را حل کنیم: 

اگر این معادله دارای جواب باشد، منحنی مجانب مایل خود را قطع می‌کند، در غیر این‌صورت منحنی، مجانب مایل خود را قطع نمی‌کند.

اگر limxpxqx=L باشد، خط y=mx+h+L را به عنوان مجانب مایل معرفی می‌کنیم.  

دریافت مثال

نکته

اگر در توابع کسری، درجه صورت بیش از یک درجه از درجه مخرج بزرگ‌تر باشد در این‌صورت مجانب مایل منحنی تابع y به منحنی تبدیل می‌شود. (منحنی مجانب ممکن است وجود داشته باشد) 


گاهی ممکن است درجه صورت فقط یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد ولی خارج قسمت صورت بر مخرج به فرم mx+h نباشد در این‌صورت مجانب مایل به منحنی تبدیل شده است.

دریافت مثال

هم ارزی رایکالی 

به کمک هم ارزی های رادیکالی، مجانب های افقی و مایل بسیاری از توابع به دست می‌آیند.

مجانب مایل توابع y=mx+h±axn+bxn+...+dn به‌صورت زیر است:

y=mx+h±anx+bn×a

  • اگر n زوج باشد، برای هر دو تابع دو مجانب با علامت مثبت و منفی وجود دارد.
  • اگر n فرد باشد، برای هر تابع یک مجانب با علامت نظیر وجود دارد.

در تعیین مجانب مایل، ممکن است مجانب افقی به‌دست آید.

تذکر

به‌طور کلی در توابع اصم برای یافتن معادلات مجانب های یک تابع، می‌توان به جای رادیکال ها از معادل آنها در بی‌نهایت استفاده کرد.

تمرین

مجانب مايل تابع زير را به‌دست آوريد.

y=x+2+4x24x+7

limxx+2+4x24x+7=limxx+2+2x42×4=if  x+y=x+2+2x12=x+2+2x1=3x+1if   xy=x+22x12y=x+22x+1=x+3


خطوط y=3x+1y=x+3 مجانب های مايل تابع می‌باشند.

دریافت مثال

نکته

مجانب های هذلولی به معادله y=mx+h±ax2+bx+c با شرط a>0 به‌صورت زیر می‌باشد:

y=mx+h±ax+b2a


لازم به توضیح است که اگر در این هذلولی:

الف) اگر m2=a باشد، هذلولی دارای یک مجانب افقی و یک مجانب مایل است.

ب) اگر m2a باشد، ‌هذلولی دارای دو مجانب مایل است. 

دریافت مثال

روش ترکیبی تقسیم و هم ارزی رادیکالی

به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

مجانب های منحنی تابع y=x31x2 را پیدا می‌کنیم:

مجانب قائم:

y+x=2


مجانب مایل:

x+y+


x31         x2                   x2+2x+4   ¯ 7

limx±x31x2=limx±x2+2x+4+7x2~x+22=±x+1


خطوط y=±x+1 را به عنوان مجانب های مایل منحنی معرفی می‌کنیم.

نکته

1- در هذلولی به معادله زیر، معادلات مجانب های مایل به‌صورت xαa±yβb=0 می‌باشد. 

xα2a2yβ2b2=1


2- در هذلولی به معادله زیر، هر یک از خطوط به معادلات ax+by+c=0a'x+b'y+c'=0 مجانب می‌باشند. 

ax+by+ca'x+b'y+c'=k0


3- توابع متناوب مجانب افقی و مایل ندارند.

4- در مقاطع مخروطی به معادله کلی زیر که در آن a,b,c0,0,0 هست، داریم:

Fx,y=ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0

الف) اگر b2ac>0 باشد، آنگاه منحنی دارای دو راستای مجانب متمایز می‌باشد که در این‌صورت آن را هذلولی گوئیم به شرط آن‌که معادله منحنی به دو خط متقاطع تجزیه نشود.


ب) اگر b2ac=0 باشد، دارای یک راستای مجانب دوگانه است. 

دو راستای مجانب بر یکدیگر منطبق هستند، در این‌صورت منحنی سهمی است.

در صورتی که معادله به دو خط هم راستا تجزیه نشود، در این حالت منحنی مجانب ندارد، بلکه راستای مجانبی خواهد داشت.


ج) اگر b2ac<0 نمایش منحنی دارای شاخه بی‌نهایت نخواهند بود و در این‌صورت آن را بیضی گوئیم و منحنی مجانب ندارد، به‌شرطی که مجموعه نقاطی که در منحنی صدق می‌کنند، تهی نباشند. 

در این حالت اگر a=cb=0 باشد مقطع مخروطی دایره است، به شرطی که مجموع نقاطی که در رابطه صدق می‌کنند، تهی نباشد. 

راستاهای مجانب با توجه به مطالب بالا در این مقاطع مخروطی از برابر صفر قرار دادن مجموعه جمله‌های درجه دوم به‌دست می‌آیند.

مثال‌ها و جواب‌ها

مجانب مایل

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید