فاصله نقطه از خط

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

مقدمه: اگر خط d و نقطه A در خارج آن داده شده باشد، فاصله نقطه A از خط d را همان کوتاه‌ترین فاصله نقطه A از خط d تعریف می‌کنیم.

فاصله نقطه از خط - پیمان گردلو

با توجه به این‌که طول عمود از طول مایل، کوتاه‌تر است، این فاصله را عمود AH در نظر می‌گیریم.

برای به‌دست آوردن فاصله هر نقطه از خط، کافی است از آن نقطه برخط عمودی رسم کنیم و طول پاره خط عمود شده را اندازه‌گیری کنیم.

تمرین

در شکل زیر خط d به معادله 2y+x=5 و نقطه A4,3 داده شده است.

فاصله نقطه از خط - پیمان گردلو  

عمود AH را بر خط d رسم کنید.

فاصله نقطه از خط - پیمان گردلو

شیب‌های دو خط d و AH را به‌دست آورید.

2y=x+5y=12x+52   md=12


چون دو خط d و AH بر هم عمودند، شیب‌های‌شان عکس و قرینه یک‌دیگر هستند:

mAH=1mdmAH=112mAH=2

 معادله خط AH را بنویسید.

yyA=mAHxxAy3=2x4y=2x5

مختصات محل برخورد دو خط را بیابید.

دستگاه متشکل از دو خط d و AH را تشکیل می‌دهیم و مختصات محل برخورد دو خط یعنی نقطه H را به‌دست می‌آوریم.

4×y=12x+52y=2x54y=2x+10y=2x  5  5y=5y  =1

y=2x5y=11=2x51+5=2x6=2xx=3


نقطه H به مختصات H3,1 محل برخورد دو خط می‌باشد.

طول پاره خط AH را محاسبه کنید. 

A4,3H3,1AH=342+132=5

قضیه

فاصله نقطه Mx0,y0 از خط D:Ax+By+C=0 یعنی طول عمودی که از نقطه M بر این خط فرود می‌آید از رابطه زیر محاسبه می‌شود: 

فاصله نقطه از خط - پیمان گردلو

MH=d=Ax0+By0+CA2+B2

اثبات

از نقطه Mx0,y0 خط D' را به موازات D رسم کرده، معادله آن را می‌نویسیم:  

فاصله نقطه از خط - پیمان گردلو

mD'=mD=AByy0=ABxx0y=ABx+ABx0+y0


این خط محور عرض را در N قطع می‌کند که مختصات آن به‌صورت زیر است:

x=0y=ABx0+y0=Ax0+By0B    ;    N0,Ax0+By0B


طول پاره خط NH را که همان فاصله نقطه M تا خط D است، به‌طریق زیر به‌دست می‌آوریم:

P^1=P^2H^=O^=90OPQΔ~NHPΔPQPN=OQNH


PQPN=OQNHCA2+CB2Ax0+By0B+CB2=CANH                        C2A2+B2A2B2Ax0+By0+CB2=CANH


CABA2+B2Ax0+By0+CB= CANHA2+B2Ax0+By0+C=1NHNH=Ax0+By0+CA2+B2d=Ax0+By0+CA2+B2

تمرین

فاصله نقطه M2,4 از خط y=43x+4 را به‌دست آورید.

y=43x+443xy+4=04x3y+12=0d=Ax0+By0+CA2+B2=42+34+1242+32=85=85

دریافت مثال

نکته

1- محاسبه فاصله مبدا مختصات از خط Ax+By+C=0

d=Ax0+By0+CA2+B2=A0+B0+CA2+B2=CA2+B2


2- محاسبه فاصله نقطه Mx0,y0  از خط x=b:  

x=bxb=01x+0y+-b=0d=Ax0+By0+CA2+B2=1×x0+0y0+b12+02=x0b1=x0b


3- محاسبه فاصله نقطه Mx0,y0  از خط y=b:  

yb=00x+1y+b=0d=Ax0+By0+CA2+B2=0x0+1y0+b02+12=y0b1=y0b

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

فاصله نقطه از خط

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید