فصل مشترک دو خط

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 60 مرتبه

دو خط راست در صفحه نسبت به‌هم سه حالت دارند:

حالت اول: دو خط متقاطع هستند.

  • دو خط متقاطع در یک نقطه مشترک هستند که مختصات این نقطه در معادله هر دو خط صدق می‌کند.
  • این نقطه جواب دستگاه دو معادله دو مجهولی Ax+By+C=0A'x+B'y+C'=0  است.
  • اگر دو خط متقاطع باشند، آن‌گاه AA'BB' است. 

حالت دوم: دو خط موازی هستند.

  • دو خط موازی، هیچ نقطه مشترکی ندارند.
  • اگر دو خط موازی باشند، آن‌گاه AA'=BB'CC' است. 

حالت سوم: دو خط منطبق هستند.

  • دو خط منطبق بر هم، بی‌شمار نقطه مشترک دارند.
  • اگر دو خط منطبق بر هم باشند، آن‌گاه AA'=BB'=CC' است. 

تمرین

نقطه برخورد دو خط زیر را به‌دست آورید.

x2y=53x+y=1

2×x2y=53x+y=1  x2y=56x+2y=2  7x=7x=1y=2


بنابراين A1,2 نقطه برخورد دو خط است.

دریافت مثال

زاویه بین دو خط متقاطع

قضیه

اگر دو خط در یک نقطه هم‌دیگر را قطع کنند، زاویه حاده بین دو خط D',D از رابطه زیر به‌دست می‌آید: 

D,D'^=γtanγ=m1m21+m1m2

اثبات

فرض کنید γ زاویه بین دو خط راست D و D' با شیب‌های m1 و m2 به‌صورت زیر باشد: 

فصل مشترک دو خط - پیمان گردلو

m1=tanαm2=tanβ

در شکل زیر با توجه به مثلث ABC داریم: 

γ+α+180°β=180°γ=βα

if  γ=βαtanγ=tanβαtanγ=tanβtanα1+tanβ.tanαtanγ=m2m11+m2m1


حالت اول:

  if   γ=0DD'tanγ=0  m2m11+m2m1=0m2m1=0m1=m2

برعکس:

if  m1=m2tanγ=0γ=0


دو خط موازی هستند بنابراین نتیجه می‌گیریم که دو خط با شیب‌های  m1 و m2 موازی‌اند اگر و فقط اگر m1=m2.  


حالت دوم:

  if  γ=90°DD'tanγ=?

tanγ تعریف نشده است.

m2m11+m2m1=1+m2m1=0m2m1=1

بر عکس:

if  m1m2=1m1m2+1=0tanγ=m2m11+m1m2

چون tanγ تعریف نشده است پس γ=90 است.

به‌طور کلی زاویه بین دو خط راست از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

if   tanγ=m2m11+m2m1γ=Arctanm2m11+m2m1


if1+m1m2>00<γ<π2m2>mif1+m1m2>0π2<γ<πm1>m2


توجه کنید که چون بین دو خط متقاطع که بر هم عمود نباشند، یک زاویه حاده و یک زاویه منفرجه وجود دارد.


فصل مشترک دو خط - پیمان گردلو

با در نظر گرفتن قدر‌مطلق در فرمول زاویه بین دو خط، مستقیما زاویه حاده محاسبه می‌شود:

tanγ=m1m21+m1m2

تمرین

زاویه‌ای که خط y=-x-1 با جهت مثبت محورها می‌سازد را به‌دست آورید. 

فصل مشترک دو خط - پیمان گردلو


d:y=x1md=1md=tanθtanθ=1


tanθ=1tanθ=tan45°tanθ=tan45°tanθ=tan180°45°tanθ=tan135°θ=135°

دریافت مثال

نکته

اگر چند خط در یک نقطه متقارب باشند، بایستی مختصات نقطه تقاطع دو خط از این چند خط در سایر خطوط نیز صدق کند.

تمرین

مقدار a را طوری تعیین کنید که نقطه a,1 محل تقاطع و برخورد دو خط زیر باشد:

x2y=52x+y=5

اگر نقطه a,1 محل تقاطع دو خط فوق باشند، مختصات نقطه a,1 باید در هر دو معادله صادق باشند:

x2y=5a21=5a+2=5a=32x+y=52a+1=52a1=52a=6a=3


نقطه 3,1 محل برخورد دو خط فوق است.‌ 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

فصل مشترک دو خط

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید