شیب خط (ضریب زاویه)

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

تعریف شیب یا ضریب زاویه خط

شیب یک خط عبارت است از نسبت تغییرات عرض‌های دو نقطه دل‌خواه آن به تغییرات طول‌های متناظر آنها.

این نسبت همواره مقدار ثابتی است:

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

در مثلث AMBΔ مختصات نقاط زیر مفروض است:

Mx1,y2  ,  Bx2,y2  ,  Ax1,y1

هم‌چنین در مثلث CNDΔ مختصات نقاط زیر مفروض است: 

Dx4,y4  ,  Nx3,y4  ,  Cx3,y3

داریم:

AMBΔ~CNDΔMA¯NC¯=BM¯DN¯MA¯BM¯=NC¯DN¯y1y2x1x2=y4y3x4x3=mtanα=AMBM=y1y2x1x2=m

تمرین

سه نقطه زیر را در صفحه مشخص می‌کنیم:

C=0,1,  B=2.1  ,A1,2

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

شیب خط‌هایی که اضلاع مثلث ABC می‌سازند را بیابید.

mAB=yByAxBxA=1221=13=13mAC=yCyAxCxA=1201=31=3mBC=yCyBxCxB=1102=22=1

دریافت مثال

تمرین

شیب خط را در معادلات زیر به‌دست آورید.

y=mx+d

فرض کنیم Ax1,y1 و Bx2,y2 دو نقطه دل‌خواه از خط باشد:

y1y2x1x2=mx1+dmx2+dx1x2=mx1+dmx2dx1x2=mx1x2x1x2=m

Ax+By+C=0

کافی است خط را به‌صورت y=mx+d تبدیل کنیم و در این حالت ضریب x شیب خط است.

Ax+By+C=0By=AxCy=ABxCB


بنابراین m=AB است. 

xa+yb=1

کافی است خط را به‌صورت y=mx+d تبدیل کنیم و در این حالت ضریب x شیب خط است.

xa+yb=1yb=1xay=bbxay=bax+bm=ba


بنابراین m=ba است. 

نکته

بررسی شیب خطوطی که موازی محور عرض‌ها وطول‌ها هستند:

حالت اول:

 شیب خطوطی که موازی محور عرض‌ها هستند، تعریف نشده است.

فرض کنیم Ax1,y1 و Bx1,y2 دو نقطه دل‌خواه از خط باشند، داریم:  

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

m=y1y2x1x2m=y1y2x1x1m=y1y20

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید m=y1y20 تعریف نشده است. 

در این‌صورت معادله خط x=k است و k عددی ثابت است.


حالت دوم:

شیب خطوطی که موازی محور طول ها هستند، صفر است. 

فرض کنیم Ax1,y1 و Bx2,y1 دو نقطه دل‌خواه از خط باشند، داریم:  

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

m=y1y2x1x2m=y1y1x1x2m=0x1x2m=0

در این‌صورت معادله خط y=k است و k عددی ثابت است.


حالت سوم:

شیب خط راستی که از دو نقطه Ax1,y1 و Bx2,y2 می‌گذرد، برابر است با: 

mAB=y2y1x2x1=y1y2x1x2

تمرین

خطوط زیر را در نظر بگیرید.

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

شیب خط d را به‌دست بیاورید. 

3,0d0,2dmd=0230=23=23

شیب خط d' را به‌دست بیاورید.                 

1,0d'0,1d'md'=0110=11=1

دریافت مثال

نکته

اگر معادله خط به‌صورت Ax+By+C=0 باشد، آن‌گاه:

1- AB  ,  CB  ,  CA به‌ترتیب طول از مبدا، عرض از مبدا و شیب خط می‌باشند.


2-
اگر A و B و C مخالف صفر باشند، خط در نقاطی غیر از مبدا، محورها را قطع می‌کند.


3-
اگر A0 و B0 و C=0 باشند، خط از مبدا مختصات می‌گذرد.


4- 
اگر A0 و B=0 باشند، خط موازی محور عرض یا منطبق بر آن است. 


5-
اگر A=0 و B0 باشند، خط موازی محور طول یا منطبق بر آن است. 


6-
 مساحت مثلثی که این خط با محورهای مختصات می‌سازد (بدون توجه به علامت) نصف حاصل ضرب طول از مبدا و عرض از مبدا است.

تانژانت زاویه و شیب خط

می‌خواهیم رابطه بین شیب خط با تانژانت زاویه‌ای که خط با محور طول‌ها می‌سازد را محاسبه کنیم.

به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

نمودار خط y=2x-4 در شکل زیر رسم شده است:

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

تانژانت زاویه α را در شکل فوق به‌دست بیاورید:

دو نقطه B و C را روی این خط در نظر می‌گیریم و خطی از آنها به محور x ها عمود می‌کنیم.


پای عمودها را به ترتیب E و F می‌نامیم.


 تانژانت زاویه α را به‌دست می‌آوریم:

tanα=CFAF=63=2

شیب خط را با توجه به نقاط A و B به‌دست بیاورید:  

شیب خط را با توجه به مختصات دو نقطه A=20 و B=32 به‌دست می‌آوریم:


برای محاسبه شیب خط، تفاضل عرض‌ها را بر تفاضل طول‌ها تقسیم می‌کنیم:

mAB=2032=21=2

از مقایسه جواب‌های به‌دست آمده چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

از مقایسه جواب‌های به‌دست آمده می‌توان نتیجه گرفت که شیب هر خط که محور افقی را قطع می‌کند، برابر است با تانژانت زاویه بین آن  خط و جهت مثبت محور افقی یعنی:

mAB=tanα

تعریف: شیب خط، تانژانت زاویه‌ای است که خط با جهت مثبت محور x ها تشکیل می‌دهد. اگر α زاویه خط با جهت مثبت محور x ها باشد، آن‌گاه:

m=tanα

 

نکته

شکل زیر را در نظر بگیرید:

شیب خط - ضریب زاویه - پیمان گردلو

1- اگر زاویه α حاده باشد، شیب خط مثبت است. 

2- اگر زاویه α قائمه باشد، شیب خط تعریف نشده است.

3- اگر زاویه α منفرجه باشد، شیب خط منفی است. 

4- اگر زاویه α صفر باشد، شیب خط صفر است.

دریافت مثال

نکته

شرط این‌که چند نقطه بر یک امتداد باشند

اگر نقاط D,C,B,A بر یک امتداد باشند، داریم:

mAB=mAC=mADyAyBxAxB=yAyCxAxC=yAyDxAxD

دریافت مثال

نکته

در صورتی مجموع فواصل نقطه‌ای مانند P از دو نقطه A و B مینیمم است که P روی پاره خط AB باشد، یعنی سه نقطه بر یک استقامت و امتداد باشند.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

شیب خط (ضریب زاویه)

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید