معادله خط

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

مقدمه‌ای بر معادله خط

برای ورود به بحث، به تمرینات زیر توجه کنید:

تمرین

دوچرخه سواری با سرعت ثابت دو متر در ثانیه در حال حرکت است، یعنی در هر ثانیه دو متر را طی می‌کند.

خط - پیمان گردلو

جدول زیر مسافت‌های طی شده توسط این متحرک در زمان‌های مختلف را نشان می‌دهد:

معادله خط - پیمان گردلو

بین زمان و مسافت طی شده چه رابطه‌ای وجود دارد؟

مسافت دو برابر زمان است.

پس از 100 ثانیه متحرک چه مسافتی را طی می‌کند؟

2×100=200

اگر x ثانیه بگذرد، متحرک چه مسافتی را طی می‌کند؟

متحرک مسافتی به طول 2×x متر طی می‌کند. 

زوج عددهایی را که در جدول فوق به‌دست آورده‌ایم را به‌صورت xy نشان می‌دهیم و نمایش هر نقطه را روی نمودار مشخص کنید.

00   ,  12  ,  1/53   ,  24  ,  36  ,  3/5  7  ,  48  ,  510

از به‌هم وصل کردن این نقاط، یک خط راست تشکیل می‌شود.


معادله خط - پیمان گردلو

ویژگی مشترک این نقاط چیست؟

ویژگی مشترکی همه این نقاط آن است که عرض هر نقطه دو برابر طول آن می‌باشد، یعنی:

y=2x

تعریف معادله خط

معادله خط، رابطه‌ای است که بین طول و عرض نقاط تشکیل دهنده خط برقرار است.

بر اساس قضیه‌ای که بیان خواهد شد، رابطه فوق رابطه‌ای خطی از درجه اول بر حسب x و y است.

تمرین

رابطه بین طول ضلع یک مربع و محیط آن را بنویسید.

اگر طول ضلع یک مربع را با x و محیط آن را با y نشان دهیم، داریم:

  x   y       14,28  ,312   ,416,100400,x4x       ;     y=4x


همان‌طور که مشاهده می‌کنیم y=4x رابطه‌ای خطی از درجه اول بر حسب x و y است.

رابطه بین طول ضلع یک مربع و مساحت آن را بنویسید.

اگر طول ضلع یک مربع را با x و مساحت آن را با y نشان دهیم، داریم:

  x   y       00,0/50/25  ,11   ,1/52/25,24,2/56/25  ,39  ;      y=x2


همان‌طور که مشاهده می‌کنیم y=x2 رابطه‌ای خطی از درجه اول بر حسب x و y نیست.


معادله خط - پیمان گردلو 

تمرین

معادله y=10x را در نظر می‌گیریم، متغیرهای مجهول را در زیر بیابید.

x=1y=?    ;    x=2y=?    ;    x=?y=3    ;    x=?y=4     ;    x=?y=0

y=10x    ;    x=1y=101y=9       ;    x=1y=9x=2y=102y=8      ;    x=2y=8y=33=10xx=7       ;    x=7y=3y=44=10xx=6       ;    x=6y=4y=00=10xx=10     ;    x=10y=0

دریافت مثال

حالات مختلف معادله خط

قضیه

نمودار هندسی هر معادله درجه اول یک یا دو مجهولی بر حسب x و y یک خط راست است و هر خط راست که در صفحه مختصات واقع باشد، معادله‌اش از درجه اول است. 

صورت کلی معادله درجه اول بر حسب x و y به فرم Ax+By+C=0  است که در آن A و B و C اعداد حقیقی هستند، به‌طوری‌که A و B تواما صفر نیستند.  

اکنون چهار حالت زیر را در نظر می‌گیریم و در هر حالت قضیه را ثابت می‌کنیم:

اثبات

حالت اول: فرض کنیم B=0,A0

Ax+By+C=0A0,B=0Ax+C=0x=CAx=h

معادله خط - پیمان گردلو

x=h همه نقاطی است که طول آنها مقدار ثابت h است و عرض‌شان هر عددی مانند Hh,yH است.  

برعکس هر نقطه که روی خط راست  واقع باشد، طول آن h است.  

 خطی است موازی محور عرض‌ها.

x=0 معادله خط محور عرض‌ها است.

تمرین

خط L به معادله x=2 را رسم کنید. 

معادله خط - پیمان گردلو


x=2 همه نقاطی است که طول آنها مقدار ثابت 2 است و عرض آن هر عددی می‌تواند باشد.

اثبات

حالت دوم: فرض کنیم B0,A=0

Ax+By+C=0A=0  ,  B0By+C=0y=CBy=d

معادله خط - پیمان گردلو

y=d همه نقاطی است که عرض آنها مقدار ثابت d است و طول آن هر عددی مانند MxM,d است.  

 خطی است موازی محور طول‌ها.

y=0 معادله خط محور عرض‌ها است.

تمرین

خط  به معادله y=2 را رسم کنید. 

معادله خط - پیمان گردلو


y=2 همه نقاطی است که عرض آنها مقدار ثابت 2 است و طول آن هر عددی می‌تواند باشد.

اثبات

حالت سوم: فرض کنیم C=0,B0,A0

Ax+By+C=0A0  ,   B0​​​​​   ,   C=0Ax+By=0By=Axy=ABxy=mx

معادله خط - پیمان گردلو

مختصات نقطه O0,0 در این معادله صدق می‌کند، لذا می‌توان گفت که مبدا مختصات روی نمودار y=mx قرار می‌گیرد. 

اکنون نقطه M1,m را نیز که مختصات آن در معادله فوق صدق می‌کند در نظر گرفته، خط راست OM را رسم می‌کنیم و آن را  می‌نامیم سپس نقطه دل‌خواه N را روی خط  که از مبدا مختصات می‌گذرد اختیار می‌کنیم.  

xN=Op¯yN=OQ¯=PN¯OMCΔ~OPNΔPN¯CM¯=OP¯OC¯yNm=xN1yN=mxN


بنابراین هر نقطه که روی خط راست  قرار گیرد مختصاتش در معادله y=mx که از مبدا می‌گذرد، صدق می‌کند. 

حال فرض می‌کنیم نقطه N0x0,y0 در معادله y=mx صدق می کند و نشان می‌دهیم این نقطه بر خط راست  قرار می‌گیرد.   

معادله خط - پیمان گردلو

فرض کنیم نقطه N0x0,y0 روی خط  قرار نداشته باشد و از N0 عمودی بر محور طول‌ها رسم می‌کنیم که  را در N1x0,y1 قطع کند، بنابراین خواهیم داشت:    

y1=mx0y0=mx0y1=y0

لذا می‌توان گفت دو نقطه N1,N0 روی هم و بر خط  منطبق است. 

اثبات

حالت چهارم: فرض کنیم C0,B0,A0

Ax+By+C=0C0  ,  B0,  A0By=AxCy=ABxCBy=mx+d

معادله خط - پیمان گردلو

اگر در معادله y=mx+d به‌جای x صفر قرار دهیم y=d حاصل می‌شود، پس نقطه H0,d روی نمودار هندسی به معادله y=mx+d قرار می‌گیرید. 

از نقطه H0,d خط  را به موازات آن رسم می‌کنیم و ثابت می‌کنیم که خط  نمودار معادله y=mx+d است.  

نقطه Mx1,y1 را روی خط راست  اختیار می‌کنیم، داریم: 

Op¯=x1PM¯=y1

پاره خط PM خط y=mx را در نقطه N قطع می‌کند به‌طوری‌که PN¯=mx1 

چون چهار ضلعی OHMN متوازای الاضلاع است پس: 

NM¯=OH¯=d

اما با توجه به رابطه شال داریم:

PM¯=PN¯+NM¯y1=mx1+d

بنابراین مختصات نقطه M در معادله y=mx+d صدق می‌کند، حال فرض کنیم نقطه M0(x0,y0) مختصاتش در معادله y=mx+d صدق کند و نشان می‌دهیم نقطه M0 روی خط راست  قرار می‌گیرد.   

معادله خط - پیمان گردلو

خط P0M0 خط y=mx را در نقطه N0 قطع می‌کند به‌طوری‌که P0N0¯=mx0¯ اما با توجه به رابطه شال داریم:

P0M0¯=P0N0¯+N0M0¯mx0+b=mx0+N0M0¯N0M0¯=b=OH¯

بنابراین چهار ضلعی OHM0N0 متوازی الاضلاع است، پس HM0 با خط y=mx موازی است، بنابراین نقطه M0 روی خط  قرار دارد. 

نکته

معادله خط در حالات زیر،  مشاهده می‌شود:

L:y=mx+dL:Ax+By+C=0L:xa+yb=1L:yy1=mxx1

y=x

نیمساز ربع اول و سوم

y=-x

نیمساز ربع دوم و چهارم

y=mx

معادله خطی که از مبدا می‌گذرد.

x=h

معادله خط قائم موازی محور y ها.

x=0

معادله محور y ها

y=d

معادله خط افقی موازی محور x ها

y=0

معادله محور x ها

دریافت مثال

تذکر

برای این‌که نقطه‌ای بر خط d واقع شود، باید مختصات آن نقطه در معادله خط d صدق کند.     

تمرین

معادله خط y=3x+4 مفروض است. کدام‌یک از نقاط 21  ,  04  ,  17  ,  13 در معادله خط صادق است؟ 

d:y=3x+43=31+43713d7=31+47=717d4=30+44=404d1=32+411021d

دریافت مثال

رسم خطی که معادله آن معلوم است

برای ترسیم یک خط که معادله آن معلوم است، کافی است مختصات دو نقطه از خط را به صورت زیر پیدا کنیم:

برای این منظور به x یک عدد حقیقی دل‌خواه می‌دهیم و y متناظر آن را از معادله خط به‌دست می‌آوریم و آنها را در دستگاه مختصات مشخص و به‌هم وصل می‌کنیم.

تمرین

معادله خط y=2x+1 را رسم کنید.

if  x=0y=20+1y=1                ;      A=01if  x=1y=21+1y=1      ;       B=11


معادله خط - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

معادله خط

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید