فاصله دو خط موازی

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 42 مرتبه

محاسبه فاصله دو خط موازی                   

قضیه

فاصله دو خط موازی D1:Ax+By+C=0D2:Ax+By+C'=0 از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

d=CC'A2+B2

اثبات

برای تعیین فاصله دو خط موازی فوق، کافی است فاصله یک نقطه از یک خط را تا خط دیگر به‌دست آوریم.


فاصله دو خط موازی - پیمان گردلو


برای این منظور معادله دو خط موازی را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

D1:Ax+By+C=0D2:Ax+By+C'=0

نقطه Ax0,y0 را روی خط D2 اختیار می‌کنیم.

فاصله این نقطه تا خط D1 از رابطه زیر به‌دست می‌آید: 

AH=Ax0+By0+CA2+B2    ;    Ι

مختصات نقطه Ax0,y0 باید در معادله خط D2 صدق کند:  

Ax+By+C'=0Ax0+By0+C'=0Ax0+By0=C'    ;     ΙΙ

Ι  ,ΙΙAH=C'+CA2+B2=CC'A2+B2

تمرین

فاصله دو خط موازی L:6x+8y+2=0L':6x+8y8=0 را به‌دست آورید.

d=CC'A2+B2=2862+82=10100=1010=1

نکته

چنان‌چه ضرایب x و y دو خط، مساوی نباشند با ضرب یا تقسیم طرفین معادله یکی از دو خط بر عدد مناسب ضرایب را مساوی می‌کنیم و سپس از فرمول فاصله دو خط موازی استفاده می‌کنیم.

تمرین

فاصله دو خط موازی 3x+4y5=06x+8y+3=0 را به‌دست آورید.

2×3x+4y5=06x+8y+3=06x+8y10=06x+8y+3=0d=CC'A2+B2=10362+82=1310=1310=1.3

معادله خط واسط دو خط موازی 

قضیه

معادله خطی که به یک فاصله از دو خطAx+By+C=0Ax+By+C'=0قرار دارد، عبارت است از:

Ax+By+C+C'2=0

اثبات

فاصله دو خط موازی - پیمان گردلو

Ax+By+C=0Ax+By+C'=0Ax+By+C+Ax+By+C'=02Ax+2By+C+C'=0Ax+By+C+C'2=0

تمرین

معادله خطی را بنویسید که از دو خط موازی زیر به یک فاصله باشد.

2x+3y=14x+6y=5

2x+3y1=04x+6y5=04x+6y2=04x+6y5=0L:4x+6y+2+52=08x+12y7=0

معادله قرینه یک خط نسبت به خط موازی خود 

قضیه

قرینه خط Ax+By+C=0 نسبت به خط Ax+Bx+C'=0 خطی به معادله زیر است:

Ax+By+2C'C=0

اثبات

فاصله دو خط موازی - پیمان گردلو

فرض کنیم قرینه خط Ax+By+C=0 نسبت به خط Ax+Bx+C'=0 خط Ax+By+C''=0 باشد، در این‌صورت:  

if    C'=C+C''22C'=C+C''C''=2C'CL:Ax+By+C''=0L:Ax+By+2C'C=0

تمرین

قرینه خط 2x3y+5=0 را نسبت به خط 2x3y+3=0 به‌دست آورید. 

2x3y+5=02x3y+3=0L:2x3y+235=02x3y+1=0

قرینه خط 2y=x+1 را نسبت به خط 2x4y+3=0 به‌دست آورید. 

2y=x+12x4y+3=0x2y+1=02x4y+3=02x4y+2=02x4y+3=0L:2x4y+232=02x4y+4=0

برای ارسال نظر وارد سایت شوید