قضایای حاصل‌ ضرب دکارتی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: حاصل ضرب دکارتی
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

قضیه

×A=A×=

اثبات

فرض کنید A× (برهان خلف) بنابراین: 

xy    ;    xA    y    (x,y)A×

اما گزاره فوق درست نیست زیرا  ناممکن است، لذا فرض A× باطل است. 

به‌طریق مشابه ثابت می‌شود که:

نکته

اگر در قضیه فوق A= باشد، در این‌صورت خواهیم داشت:

×=

قضیه

if  A×B=A=    B=

اثبات

فرض کنید حکم برقرار نباشد (برهان خلف) یعنی A یا B .

بنابراین حداقل یک xA و یک xB وجود دارد، لذا با این‌ x و y زوج مرتب x,y را می‌توان ساخت به‌طوری‌که (x,y)A×B در صورتی که بنا به‌فرض A×B= و این خلاف فرض است.   

نکته

 قضیه فوق را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد:

n(A×B)=0  A=    B=  ,  n()=0

قضیه

A×B=B×AA=B=A=B

اثبات

کافی است ثابت کنیم:

A×B=B×AA=B=A=B

برای این‌کار فرض می‌کنیم حکم برقرار نباشد (برهان خلف)  یعنی AB  ,  B  ,   A.

چون AB و A و B ناتهی هستند، پس xA به‌طوری‌که xB یا xB به‌طوری‌که xA

در حالتی‌که xای در A باشد که در B نیست، زوج مرتبی از A×B را در نظر می‌گیریم که مختص اول آن همین x باشد مانند x,b که در آن bB.

این زوج مرتب در B×A نیست، زیرا مختص اول آن یعنی x در B وجود ندارد، پس زوج مرتبی در A×B یافتیم که  در B×A نیست حالتی‌که xB و xA.     

به‌ترتیب مشابه اثبات می‌شود، یعنی B×AA×B بنابراین فرض AB  ,  B  ,   A نادرست است، لذا:

A=B,  B=  ,  A=

قضیه

A  ,  A×BA×CBC

اثبات

فرض کنید yB (اگر B= باشد، چیزی برای اثبات نداریم) چون A پس A دارای عضوی مانند x است.  

حال زوج مرتب x,y که متعلق به A×B است را در نظر می‌گیریم، با توجه به مفروضات (x,y)A×B لذا xA و yC پس BC می‌باشد. 

قضیه

A×(BC)=(A×B)(A×C)

اثبات

x,yA×BCxAyBC  xAyByCxAyBxAyC(x,y)A×B(x,y)A×C(x,y)(A×B)(A×C)

قضیه

A×(BC)=(A×B)(A×C)

اثبات

x,yA×BCxAyBC  xAyByCxAyBxAyC(x,y)A×B(x,y)A×C(x,y)(A×B)(A×C)

قضیه

A×(BC)=(A×B)(A×C)

اثبات

x,yA×BCxAyBC  xAyByCxAyBxAyC(x,y)A×B(x,y)A×C(x,y)(A×B)(A×C)

به‌همین ترتیب ضرب دکارتی نسبت به عمل تفاضل‌متقارن توزیع پذیر است یعنی:

A×(BΔC)=(A×B)Δ(A×C)

قضیه

(A×C)(B×D)=(AB)×(CD)

اثبات

(x,y)(A×C)(B×D)(x,y)A×C(x,y)B×D(xAyC)(xByD)(xAxB)(yCyD)(xAB)(yCD)(x,y)(AB)×(CD)

قضیه

if  AS      BSA×B=(A×S)(S×B)

اثبات

ASAS=ABSBS=B

یادآوری می‌کنیم:

(A×C)(B×D)=(AB)×(CD)

(A×S)(S×B)=(AS)×(SB)=A×B

قضیه

(AB)×C=(A×C)(B×C)

اثبات

(x,y)(AB)×Cx(AB)yC(xAxB)yC(xAyC)(xByC)(x,y)A×C(x,y)B×C(x,y)(A×C)(B×C)

قضیه

(AB)×C=(A×C)(B×C)

اثبات

(x,y)(AB)×Cx(AB)yC(xAxB)yC(xAyC)(xByC)(x,y)A×C(x,y)B×C(x,y)(A×C)(B×C)

به‌همین ترتیب ضرب‌دکارتی نسبت به عمل تفاضل‌متقارن توزیع پذیر است یعنی:

(AΔB)×C=(A×C)Δ(B×C)

قضیه

(AB)×C=(A×C)(B×C)

اثبات

(x,y)(AB)×Cx(AB)yC(xAxB)yC(xAyC)(xByC)(x,y)A×C(x,y)(B×C)(x,y)(A×C)(B×C)

قضیه

n(A×B)(B×A)=n(AB)2

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

(A×B)(B×A)=(AB)×(BA)


n(A×B)(B×A)=n(AB)×(BA)=n(AB).n(BA)=n(AB).n(AB)=n(AB)2

تعداد عضوهای اشتراک دو مجموعه (A×B) و (B×A) با مجذور عدد اصلی اشتراک دو مجموعه A و B مساوی است. 

قضیه

n(A×B)(B×A)=2nA.nBn(AB)2

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)

n(A×B)(B×A)=n(A×B)+n(B×A)n(A×B)(B×A)=n(A×B)+n(A×B)n(A×B)(B×A)=2nA×Bn(AB)2=2nA.nBn(AB)2

تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه (A×B) و (B×A) برابر است با دو برابر تعداد عضوهای مجموعه (A×B) و (B×A)  منهای مجذور تعداد عضوهای اشتراک دو مجموعه A و B.     

قضیه

n(A×B)(B×A)=nA.nBn(AB)2

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

n(AB)=n(A)n(AB)

n(A×B)(B×A)=n(A×B)n(A×B)(B×A)=nA.nBn(AB)2

قضیه

(A×B)'=(A'×B)(A×B')(A'×B')

اثبات

(x,y)(A×B)'(x,y)(A×B)(xAyB)(xAyB)(xAyB)(xA'yB)(xAyB')(xA'yB')(x,y)(A'×B)(x,y)(A×B')(x,y)(A'×B')(x,y)(A'×B)(A×B')(A'×B')

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای حاصل‌ضرب دکارتی

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید