تركیب (بسط دوجمله‌ ای)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

قضیه

a+bn=an+nan1.b+n(n1)1×2an2b2+n(n1)(n2)1×2×3an3b3++n(n1)1×2a2bn2+nabn1+bn=n0an+n1an1.b+n2an2+b2+n3an3+b3++   nn2a2bn2+   nn1abn1+nnbn=r=0nnranr.br

اثبات

می‌خواهیم قضیه دوجمله‌ای زیر را با استفاده از استقرای ریاضی ثابت کنیم:

(a+b)n=r=0nnranr.br

p(1):n=1(a+b)1=r=01nra1r.br=n0a1b0+n1a11.b1=1a+nb=a+b1

تساوی به‌ازای n=1 برقرار است.


فرض استقرای ریاضی:

p(k):n=k(a+b)k=r=0kkrakr.br


حکم استقرای ریاضی:

p(k+1):n=k+1(a+b)k+1=r=0k+1k+1   rak+1r.br

a+bk+1=a+ba+bk=a+br=0kkrakr.br=ar=0kkrakr.br+br=0kkrakr.br

=r=0k+1krakr+1.br+r=0k+1   kr1akr+1.br=r=0k+1krakr+1.br+   kr1akr+1.br=r=0k+1   kr1+krakr+1.br=r=0k+1k+1    rakr+1.br

تمرین

با استفاده از قضيه دو جمله ای، بسط زير را انجام دهيد.

a+b6

a+b6=60a6+61a5b+62a4b2+63a3b3+64a2b4+65ab5+66b6=a6+6a5b+6×52×1a4b2+6×5×43×2×1a3b3+6×52×1+61ab5+b6    ;   64=62    ;    65=61=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

دریافت مثال

ویژگی‌های بسط دوجمله‌‌ای

بسط a+bn که به‌صورت زیر تعریف می‌شود، دارای ویژگی‌های زیر است:

a+bn=n0an+n1an1.b+n2an2b2++   nn2a2bn2                                                                 +   nn1abn1+bnnn

  1. بسط، n+1 جمله دارد.
  2. مجموع توان های a و b در هر جمله برابر n است.
  3. توان های a جمله‌به‌جمله از n به 0 کاهش می‌یابد ولی توان های b از 0 به n افزایش می‌یابد.
  4. ضریب هر جمله برابر nk است که در آن k توان a یا b است.
  5. ضریب‌های جملاتی که به‌فاصله برابر از دو سر بسط هستند، برابرند.
  6. اگر در بسط دوجمله‌ای a=b=1 باشد، آن‌گاه:

1+1n=n0+n1+n2++nnn0+n1+n2+...+nn=2ni=0nni=2n

 

دریافت مثال

ضریب‌های چندجمله‌ای

ضریب‌های چندجمله‌ای به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

a1+a2++arn=n1++nr=nnn1  ,  ...  ,  nra1n1a2n2arnr

اگر اعداد صحیح نامنفی nr  ,  ...  ,  n2  ,  n1 طوری باشند که n1+n2++nr=n آن‌گاه بسط nn1  ,  ...  ,  nr به‌صورت زیر تعریف می‌شود: 

nn1  ,  ...  ,  nr=n!n1!n2!nr!

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تركیب (بسط دوجمله‌ای)

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید