ترکیب (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

ترکیبrتاییnشی

انتخاب r شی از میان n شی متمایز، بدون در نظر گرفتن ترتیب قرار گرفتن آنها را ترکیب r تایی n شی نامیده می‌شود. 

ترکیب r تایی n شی متمایز، یافتن زیرمجموعه‌های r عضوی از یک مجموعه n عضوی می‌باشد، زیرا در ترکیب، تقدم و تاخر و یا ترتیب قرار گرفتن اشیا اهمیت ندارد.

تمرین

ترکیب ها و جایگشت سه عضوی از مجموعه چهار عضوی S=a,b,c,d را به موازات هم بررسی می‌کنیم تا پی به درک تفاوت این دو ببریم:  

ترکیب - پیمان گزدلو


توجه کنید که در ترکیب بر خلاف ترتیب (جایگشت) تقدم و تاخر قرار گرفتن اشیا اهمیت ندارد.

قضیه

تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که با نماد cn,r یا nr نمایش داده می‌شود، عبارت است از:

cn,r=nr=n!r!(nr)!

اثبات

ترکیب های r تایی n شی متمایز، همان زیرمجموعه‌های r تایی از مجموعه n عضوی می‌باشد.   

می‌دانیم که اعضای هر یک از زیرمجموعه‌های r تایی به r! طریق می‌توانند جابه‌جا شوند ولی چون تغییری در زیرمجموعه مذکور به وجود نمی‌آورند، لذا در ترکیب اهمیتی ندارند.

اما برای یافتن تعداد تبدیل های r تایی n شی، جابه‌جایی اعضای زیرمجموعه‌ها ضروری است یعنی:   

(تعداد تبدیل های r تایی n شی)×r!=(تعداد ترکیب های r تایی n شی)

nr×r!=p(n,r)nr×r!=n!(nr)!nr=n!r!(nr)!

تمرین

ده چراغ در یک ردیف قرار دارند ،به چند طریق می‌توانیم سه تا از آنها را روشن کنیم؟

تعداد انتخاب‌های سه چراغ از میان ده چراغ:

103=10!3!103!=10!3!7!=10×9×8×7!3×2×1×7!=120

ده چراغ در یک ردیف قرار دارند ،به چند طریق می‌توانیم هفت تا از آنها را روشن کنیم؟

تعداد انتخاب‌های هفت چراغ از میان ده چراغ:

107=10!7!107!=10!7!×3!=120

آیا 103=107 برابرند؟

بله.

103=107=120

دریافت مثال

قضیه

تساوی زیر برقرار است.

    nnr=nr

به بیان دیگر: 

if a+b=nna=nb

اثبات

nr=n!r!(nr)!    nnr=n!(nr)!n(nr)=n!r!(nr)!nr=    nnra+b=na=nbna=n!a!(na)!=n!(nb)!n(nb)=n!(nb)!   b!=nb

تمرین

107 و 103 را محاسبه کنید. 

107=10×9×8×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1=120


با توجه به قضیه مطرح شده، داریم:

   nnr=nr

10 7=   10107=10310 7=10 3


10 3=10×9×83×2×1=120

قضیه

قاعده پاسکال

n+1   r=   nr1+nr

تساوی فوق به‌قاعده پاسکال معروف است.

اثبات

روش اول-

    nr1+nr=n!(r1)!(nr+1)!+n!r!(nr)!=r×n!r(r1)!(nr+1)!+(nr+1)n!r!(nr)!   (nr+1)=r×n!r!(nr+1)!+(nr+1)n!r!(nr+1)!=r×n!+(nr+1)n!r!(nr+1)!=(n+1)n!r!(nr+1)!=(n+1)!r!(nr+1)!=n+1    r

روش دوم-

فرض کنیم n+1 شی متمایز مانند an+1  ,  an,...  ,  a2  ,  a1 موجودند.

دو نوع ترکیب r تایی برای این n شی وجود دارد:

ترکیب r تایی n+1 شی به‌طوری که فاقد شی خاصی مانند a1 می‌باشند که تعداد آنها nr است.

ترکیب r تایی n+1 شی به‌طوری که همگی شامل شی خاصی مانند a1 می‌باشند که تعداد آنها nr-1 است.

طبق اصل جمع داریم:

n+1    r=nr+   nr1

توجه کنید که قاعده فوق به‌صورت زیر هم قابل تعریف است:

nr=n1    r+n1r1

دریافت مثال

قضیه

تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که شامل k شی خاص kr می‌باشند، برابر است با: 

n-kr-k

اثبات

فرض کنیم n شی متمایز مانند an,...  ,  a2  ,  a1 موجودند.

برای محاسبه تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که هر یک مثلا شامل a1 باشد، نخست a1 را از n شی بر می‌داریم. 

چون در هر یک از ترکیب ها وجود دارد، پس از میان n-1 شی باقیمانده r-1 شی را انتخاب می‌کنیم، بنابراین:

1- تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که شامل یک شی به‌خصوص هستند n1r1 انتخاب، موجود است.

2- تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که شامل k شی به‌خصوص هستند nkrk انتخاب، موجود است. 

دریافت مثال

قضیه

تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که فاقد k شی خاص (rnk) می‌باشند، برابر است با: 

nk    r

اثبات

فرض کنیم n شی متمایز مانند an,...  ,  a2  ,  a1 موجودند.

برای تعیین تعداد ترکیب های r عضوی که فاقد یک شی به‌خصوص مثلا شامل a1 هستیم، نخست a1 را از n شی بر می‌داریم، سپس ترکیب های r تایی n-1 شی a2  ,  a3  ,  ...  ,  an را به‌دست می‌آوریم، بنابراین:   

1- تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که فاقد یک شی k=1 به‌خصوص باشند n1    r می‌باشد.

2- تعداد ترکیب های r تایی n شی متمایز که فاقد k شی به‌خصوص باشند nk    r می‌باشد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ترکیب(تعریف)

12,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید