ناپیوستگی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: پیوستگی
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

ناپیوستگی یا انفصال رفع شدنی

به نمودار تابع y=fx توجه کنید:

ناپیوستگی - پیمان گردلو

تابع y=fx در نقطه x=a ناپیوسته است.

اگر limxafx در نقطه ناپیوسته x=a از تابع y=fx وجود داشته باشد، می‌توانیم مقدار تابع را چنان تعریف کنیم که تابع در x=a پیوسته باشد، به این نوع ناپیوستگی، ناپیوستگی رفع شدنی می‌گویند.  

تمرین

در تابع با ضابطه زیر، مقدار a را طوری تعریف کنید که تابع، پیوسته شود. 

fx=xsin1x    ;    x0    a                 ;    x=0

limx0fx=limx0xsin1x=0


حد تابع موجود است، اگر مقدار تابع را a=0 تعریف کنیم، تابع پیوسته می‌شود.

        

ناپیوستگی یا انفصال رفع نشدنی

به نمودار تابع y=fx توجه کنید:

ناپیوستگی - پیمان گردلو

تابع y=fx در نقطه x=a ناپیوسته است.

اگر limxafx در نقطه ناپیوسته x=a از تابع y=fx وجود نداشته باشد، نمی‌توانیم مقدار تابع را چنان تعریف کنیم که تابع در x=a پیوسته باشد، به این نوع ناپیوستگی، ناپیوستگی رفع نشدنی می‌گویند.   

تمرین

در تابع با ضابطه زیر، مقدار a را طوری تعریف کنید که تابع، پیوسته شود. 

fx=cos1x    ;    x0a             ;    x=0

limx0fx=limx0cos1x


حد تابع وجود ندارد، پس به ازای هیچ مقدار a تابع پیوسته نمی‌باشد و ناپیوستگی رفع نشدنی است.

تذکر

در ناپیوستگی یا انفصال رفع نشدنی، limxafx به سه دلیل متفاوت زیر می‌تواند موجود نباشد:  

  • انفصال جهشی
  • ‌انفصال عادی یا مضاعف
  • انفصال نوسانی

انفصال جهشی

تابع y=fx در نقطه x=a انفصال جهشی (ناپیوستگی یا گسسته‌گی جهشی) دارد، هرگاه حدهای چپ و راست در x=a موجود و متناهی است اما نابرابر می‌باشند.

تمرین

تابع زیر چنین شرایطی را دارد:

limxnzx

limxn+x=nlimxnx=n1


ناپیوستگی - پیمان گردلو

مقدار تابع در x=n هر چه باشد، تابع ناپیوسته است و ناپیوستگی قابل رفع نخواهد بود.

‌انفصال عادی یا مضاعف 

تابع y=fx در نقطه x=a انفصال عادی یا مضاعف دارد، هرگاه حداقل یکی از حدهای چپ و راست در x=a نامتناهی باشد، در واقع تابع در یک همسایگی x=a بی‌کران است.

1- اگر حد چپ و راست مختلف العلامه نامتناهی باشند، ‌انفصال عادی است.

 ناپیوستگی - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ، داریم:

limxa+fx=+limxafx=

در شکل سمت راست، داریم:

limxa+fx=limxafx=+

2- اگر حد چپ و راست متحد العلامه نامتناهی باشند، انفصال مضاعف است.

ناپیوستگی - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ، داریم:

limxa+fx=+limxafx=+

در شکل سمت راست، داریم:

limxa+fx=limxafx=

تمرین

پیوستگی توابع زیر را در نقاط داده شده، بررسی کنید.

fx=1x3    ;    x=3

1- محاسبه مقدار تابع در نقطه x=3:

f3=133=10


مقدار تابع در نقطه x=3 تعریف نشده است، پس می‌توان گفت که تابع در آن نقطه پیوسته نیست.

برای گفتن نکته خاصی حل مسئله را ادامه می‌دهیم:


2- محاسبه حد تابع در نقطه x=3:

limx3fx=?L1=limx3+fx=13+3=10+=+L2=limx3fx=133=10=


تابع f در نقطه x=3 دارای حد چپ و راست نامتناهی مختلف العلامه می‌باشد، در این حالت نقطه x=3 را نقطه انفصال عادی می‌نامیم.


ناپیوستگی - پیمان گردلو 

fx=1x32    ;    x=3

1- محاسبه مقدار تابع در نقطه x=3:

f3=1332=10


مقدار تابع در نقطه x=3 تعریف نشده است، پس می‌توان گفت که تابع در آن نقطه پیوسته نیست.


برای گفتن نکته خاصی حل مسئله را ادامه می‌دهیم:


2- محاسبه حد تابع در نقطه x=3:

limx3fx=?L1=limx3+fx=13+32=10+=+L2=limx3fx=1332=102=10+=+


تابع f در نقطه x=3 دارای حد چپ و راست نامتناهی متحد العلامه می‌باشد، در این حالت نقطه x=3 را نقطه انفصال مضاعف می‌نامیم.

کلمه مضاعف به این خاطر به کار می‌رود که در مخرج تابع، ریشه مضاعف x=3 موجود است.


ناپیوستگی - پیمان گردلو   

fx=2x2    ;    x01       ;    x=0

1- محاسبه مقدار تابع در نقطه x=0:

f0=1

مقدار تابع موجود و متناهی است.


2- محاسبه حد تابع در نقطه x=0:

limx0fx=?L1=limx0+fx=20+2=L2=limx0fx=202=20+=


تابع f در نقطه x=0 دارای حد چپ و راست نامتناهی متحد العلامه می‌باشد، در این حالت نقطه x=0 را نقطه انفصال مضاعف می‌نامیم.


ناپیوستگی - پیمان گردلو

انفصال نوسانی

تابع y=fx در نقطه x=a انفصال نوسانی دارد، هرگاه حداقل یکی از حدهای چپ و راست چه متناهی و چه نامتناهی هیچ‌گاه وجود ندارد مانند حالتی که در همسایگی یک نقطه تابع به طور نامتناهی نوسان دارد.

تمرین

تابع زیر را در همسایگی x=0 در نظر بگیرید. 

fx=sin1x    ;    x00             ;    x=0

1- f0=0 مقدار تابع موجود ومتناهی است.


2- حد تابع را در نقطه x=0 بررسی می‌کنیم:

limx0fx=limx0sin1x=sin


حد فوق موجود و متناهی نمی‌باشد پس شرط دوم پیوستگی برقرار نیست، تابع پیوسته نیست.

sin یک عددی است نامشخص که در فاصله -1,1 در حال نوسان است.

در هر همسایگی x=0 به طور نامتناهی نوسان دارد. (انفصال نوسانی)


ناپیوستگی - پیمان گردلو

نکته

با رسم نمودار توابع، می‌توانیم به بررسی نقاط ناپیوسته توابع بپردازیم.

تمرین

با رسم توابع زیر، نقاط ناپیوسته آنها را بررسی می‌کنیم:

y=x1+2    ;    Df=


ناپیوستگی - پیمان گردلو

تابع در دامنه‌ خودش همواره پیوسته است.

y=x+x    ;    Df=

قسمتی از تابع‌ فوق را در بازه 1,1 رسم کرده‌ایم:

1x<0x=1y=x+1y=x10x<1x=0y=xx=1x=1y=x+1y=x+1


ناپیوستگی - پیمان گردلو

تابع در تمام نقاط صحیح متعلق به دامنه همواره ناپیوسته است.

y=xx1    ;    x1x+2        ;    x>1

y=xx1=x2x=x2x+1414=x12214


ناپیوستگی - پیمان گردلو

تابع در نقطه x=1 ناپیوسته است.

دریافت مثال

یادآوری

تابع در نقاط منفرد حد ندارد، پس پیوسته نیز نخواهد بود.

توجه شود که مفهوم حد در یک نقطه با همسایگی های آن نقطه سرو کار دارد، بنابراین یک نقطه منفرد مانند x=a فقط یک نقطه را روی محور نشان می دهد و دارای همسایگی روی محور نیست، بنابراین تابع در نقاط منفرد دارای حد نمی‌باشد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ناپیوستگی

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید